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| Aufgabe | Gegeben sei die DG
x'= x²sint:
a)Lösen sie das Anfangswertproblem x(0) = b, b [mm] \in [/mm] IR.
b)Untersuchen Sie in Abhängigkeit von b [mm] \in [/mm] IR fur welche [mm] t\ge0 [/mm] die
Lösung existiert.
c) Ist die Losung x(t) = 0, t 0 stabil bzw. asymptotisch stabil? |
Also ich die DG mittels Seperation der Variablen gelöst (auch mittels der Bernouli Transformation um meine Lösung zu überprüfen)
und ich habe herausbekommen
x(t) = [mm] \bruch{1}{cos(t)+c}
[/mm]
Das c habe ich mittels der Anfangswertbedingung bestimmt
[mm] c=\bruch{1-b}{b}
[/mm]
und wenn ich jetzt untersuchen will für welche t>0 die Lösung existiert, heißt das, dass der Nenner nicht 0 sein darf?
Ich habe mir das so überlegt
[mm] \bruch{1-b}{b} \not= [/mm] -cos(t)
-t [mm] \not= arccos(\bruch{1-b}{b})
[/mm]
stimmt das so halbwegs bisjetzt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Mi 21.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die DG
> x'= x²sint:
> a)Lösen sie das Anfangswertproblem x(0) = b, b [mm]\in[/mm] IR.
> b)Untersuchen Sie in Abhängigkeit von b [mm]\in[/mm] IR fur
> welche [mm]t\ge0[/mm] die
> Lösung existiert.
> c) Ist die Losung x(t) = 0, t 0 stabil bzw.
> asymptotisch stabil?
>
>
> Also ich die DG mittels Seperation der Variablen gelöst
> (auch mittels der Bernouli Transformation um meine Lösung
> zu überprüfen)
> und ich habe herausbekommen
> x(t) = [mm]\bruch{1}{cos(t)+c}[/mm]
>
> Das c habe ich mittels der Anfangswertbedingung bestimmt
> [mm]c=\bruch{1-b}{b}[/mm]
>
> und wenn ich jetzt untersuchen will für welche t>0 die
> Lösung existiert, heißt das, dass der Nenner nicht 0 sein
> darf?
>
> Ich habe mir das so überlegt
> [mm]\bruch{1-b}{b} \not=[/mm] -cos(t)
Oder cos(t) [mm] \ne \bruch{b-1}{b}
[/mm]
Da cos jeden Wert zwischen -1 und 1 annimmt, muß also [mm] \bruch{|b-1|}{|b|} [/mm] >1 sein.
Welche b sind das ?
FRED
> -t [mm]\not= arccos(\bruch{1-b}{b})[/mm]
>
>
> stimmt das so halbwegs bisjetzt?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Mi 21.11.2012 | | Autor: | abakus |
> > Gegeben sei die DG
> > x'= x²sint:
> > a)Lösen sie das Anfangswertproblem x(0) = b, b [mm]\in[/mm]
> IR.
> > b)Untersuchen Sie in Abhängigkeit von b [mm]\in[/mm] IR fur
> > welche [mm]t\ge0[/mm] die
> > Lösung existiert.
> > c) Ist die Losung x(t) = 0, t 0 stabil bzw.
> > asymptotisch stabil?
> >
> >
> > Also ich die DG mittels Seperation der Variablen gelöst
> > (auch mittels der Bernouli Transformation um meine Lösung
> > zu überprüfen)
> > und ich habe herausbekommen
> > x(t) = [mm]\bruch{1}{cos(t)+c}[/mm]
> >
> > Das c habe ich mittels der Anfangswertbedingung bestimmt
> > [mm]c=\bruch{1-b}{b}[/mm]
> >
> > und wenn ich jetzt untersuchen will für welche t>0 die
> > Lösung existiert, heißt das, dass der Nenner nicht 0 sein
> > darf?
> >
> > Ich habe mir das so überlegt
> > [mm]\bruch{1-b}{b} \not=[/mm] -cos(t)
>
> Oder cos(t) [mm]\ne \bruch{b-1}{b}[/mm]
... bzw. [mm]\red{1-\frac1b}[/mm] ...
Gruß Abakus
>
>
> Da cos jeden Wert zwischen -1 und 1 annimmt, muß also
> [mm]\bruch{|b-1|}{|b|}[/mm] >1 sein.
>
> Welche b sind das ?
>
> FRED
> > -t [mm]\not= arccos(\bruch{1-b}{b})[/mm]
> >
> >
> > stimmt das so halbwegs bisjetzt?
> >
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Inocencia |
(, Post gelöscht, falsche Verzweigung)
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b muss [mm] \in \IR [/mm] minus sein, oder?
Bzgl Punkt c)(es soll heißen: Ist die Lösung x(t) = 0, [mm] t\ge [/mm] 0 stabil bzw. asymptotisch stabil?, kann das oben nicht mehr editieren)
ich weiß nicht wie ich die Stabilität von x(t)=0 untersuchen soll.
Wir haben nur im Skriptum einen Satz gehabt, dass falls x0 Ruhelage einer skaleren Dg x'=f(x) ist, dann ist falls f'(x0)<0 diese Ruhelage asymptotisch stabil, und bei f'(x0)>0 instabil , kann ich den Satz hier anwenden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Mi 21.11.2012 | | Autor: | abakus |
> b muss [mm]\in \IR[/mm] minus sein, oder?
Ausgerechnet das nun gerade NICHT!
Außerdem darf b auch nur in einer bestimmten Teilmenge von [mm]\IR_+[/mm] liegen...
Gruß Abakus
>
>
> Bzgl Punkt c)(es soll heißen: Ist die Lösung x(t) = 0,
> [mm]t\ge[/mm] 0 stabil bzw. asymptotisch stabil?, kann das oben
> nicht mehr editieren)
>
> ich weiß nicht wie ich die Stabilität von x(t)=0
> untersuchen soll.
> Wir haben nur im Skriptum einen Satz gehabt, dass falls x0
> Ruhelage einer skaleren Dg x'=f(x) ist, dann ist falls
> f'(x0)<0 diese Ruhelage asymptotisch stabil, und bei
> f'(x0)>0 instabil , kann ich den Satz hier anwenden?
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@abakus: deinen Post habe ich vorher irgendwie übersehen.
also natürlich muss b [mm] \not= [/mm] 0 sein, aber laut der Umformung die fred97 gemacht hat [mm] ($\bruch{|b-1|}{|b|}$ [/mm] > 1) muss ja b negativ sein, dass der Bruch >1 wird,... oder übersehe ich gerade etwas Essentielles ? ?
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Hallo Inocencia,
> @abakus: deinen Post habe ich vorher irgendwie übersehen.
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> also natürlich muss b [mm]\not=[/mm] 0 sein, aber laut der
> Umformung die fred97 gemacht hat ([mm]\bruch{|b-1|}{|b|}[/mm] > 1)
> muss ja b negativ sein, dass der Bruch >1 wird,... oder
> übersehe ich gerade etwas Essentielles ? ?
Ja, es gibt auch positive Lösungen für $b$, die die Ungleichung erfüllen.
Lösen doch mal systematisch die Betragsungleichung auf, bzw. äquivlent dazu $|b-1|>|b|$
Wahlweise kannst du das zeichnerisch machen ...
Gruß
schachuzipus
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also ich habe hier die beiden Graphen geplottet
http://image-upload.de/image/X9MNpB/0a8ac83cc3.jpg
und hier kann ich erkennen, dass diese Betragsungleichung für [mm] (-\infty,0.5] [/mm] erfüllt ist (habe ich auch rechnerisch herausbekommen), passt das jetzt so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Mi 21.11.2012 | | Autor: | abakus |
> also ich habe hier die beiden Graphen geplottet
> http://image-upload.de/image/X9MNpB/0a8ac83cc3.jpg
>
> und hier kann ich erkennen, dass diese Betragsungleichung
> für [mm](-\infty,0.5][/mm] erfüllt ist (habe ich auch rechnerisch
> herausbekommen), passt das jetzt so?
Ja.
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Vielen Dank für die bisherige Hilfe!! :)
Nur kann mir bitte jemand bei Punkt c) helfen? den habe ich in einem späteren Post neu formuliert, im Anfangspost kann ich irgendwie nichts mehr editieren
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Fr 23.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Nochmal zu Punkt c)(es soll heißen: Ist die Lösung x(t) = 0, 0 stabil bzw. asymptotisch stabil?, kann das oben nicht mehr editieren)
ich weiß nicht wie ich die Stabilität von x(t)=0 untersuchen soll.
Wir haben nur im Skriptum einen Satz gehabt, dass falls x0 Ruhelage einer skaleren Dg x'=f(x) ist, dann ist falls f'(x0)<0 diese Ruhelage asymptotisch stabil, und bei f'(x0)>0 instabil , kann ich den Satz hier anwenden?
also x(t)=0, x'(t)=0, x²(t)=0, t>0
=> 0=-sin(t)*x² = -sint*0 = 0,
da 0 herauskommt ist es zwar stabil, aber nicht asymptotisch stabil, wäre die Argumentation richtig, oder ist sie total falsch?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Sa 24.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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