Existenz von Medianen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:56 Di 23.11.2010 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | Es sei X eine reellwertige Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, E, P ). Eine
reelle Zahl m heißt Median von X, wenn die Ungleichungen P ({X ≥ m}) ≥ 1/2 und P ({X ≤
m}) ≥ 1/2 gelten.
Man kann beweisen, dass ein Median stets existiert . Sie sollen das fü̈r den Fall zeigen, dass
P durch eine stetige Dichte f definiert ist und X stetig ist. |
Hallo zusammen,
Ich kann dies beweisen, wenn ich annehme, dass [mm] P_{x} [/mm] ist eine Dichte h hat.
Dies muss aber nicht unbedingt der Fall sein.
Wir haben nun aber folgenden Hinweis bekommen:
"Bezüglich der Stetigkeit von WK-Maßen dürfen wir annehmen, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung einer Folge von aufsteigenden Ereignissen [mm] (E_{n}) [/mm] gleich dem Limes der Folge [mm] (P(E_{n})) [/mm] ist."
Wie gehe ich hierbei am besten vor?
Ich bin für jeden Tipp dankbar.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Di 23.11.2010 | | Autor: | Vilietha |
Ich habe nun folgenden Ansatz.
Eine stetige Zufallsvariable bedeutet, dass die Verteilungsfuntkion von X, [mm] F_{x} [/mm] stetig ist.
Da [mm] F_{x} [/mm] stetig ist, muss es also einen Wert m geben, so dass [mm] F_{m}=1/2. [/mm] Dies folgt aus dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.
Aus der Defintion von F folgt:
[mm] F_{x}(m) [/mm] = P(X [mm] \le [/mm] m) = 1/2
woraus folgt, dass [mm] P(X\ge [/mm] m) = 1/2 (da [mm] P_{x}(\{m\}) [/mm] = 0 für stetige Zufallsvariable)
Was denkt Ihr darüber?
Viele Grüße,
Vilietha
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Hallo Vilietha,
deine Argumentation mit der Stetigkeit stimmt soweit, allerdings verwundert es mich, dass du die Existenz einer stetigen Dichte nicht verwendest.
Wobei ich glaube, dass die Schlussfolgerung "X stetig [mm] \Rightarrow F_x [/mm] stetig" eben nur bei W-Maßen mit stetiger Dichte funktioniert. Und dann brauchst du sie doch wieder.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Di 23.11.2010 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Gono,
Vielen Dank für Deine Antwort! 
Die Frage ist ja, was genau ist eine stetige Zufallsvariable?
Ist es eine stetige Funktion? (eine konstante Funktion ist auch stetig, und so würde dann ein diskreter Raum entstehen). Oder eine Zufallsvariable, welche einen überabzählbaren Raum (also einen stetigen Raum) induziert?
In einem Buch (von Ash) habe ich gefunden, dass eine Zufallsvariable stetig gennant wird, wenn [mm] F_{X} [/mm] stetig ist. Ash erwähnt dabei auch, dass der von X induzierte Raum nicht unbedingt eine Dichte haben muss. Es gibt wohl pathologische Verteilungsfunktionen, so dass diese nicht ableitbar sind. Auf Anhieb fällt mir die wundersame Funktion von Cantor ein, welche sich es ja erlaubt, im Intervall von [0,1] von 0 auf 1 anzusteigen, dabei aber an fast jedem Punkt die Steigung 0 zu haben, und auch noch stetig zu sein.
Wie ich die Dichte des Urbildraumes bei dieser Aufgabe nützlich verwenden kann, ist mir ein Rätsel.
Auch ist es mir ein Rätsel, wie mir der Tipp mit der aufsteigenden Folge von Ereignissen, welchen wir bekommen haben (siehe erster Post), helfen kann.
Ich freue mich auf weitere Antworten.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Di 23.11.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Vilietha,
das würde mich auch mal interessieren, insbesondere die Musterlösung dazu.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Di 23.11.2010 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Gono,
Ich werde die Musterlösung hier posten, nachdem wir die Aufgaben besprochen haben.
(Dies wird allerdings noch ein paar Tage dauern...)
Falls aber noch jemand anderes ein wertvollen Hinweis hat, so ist dieser natürlich jederzeit willkommen.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Do 25.11.2010 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Gono,
Wir haben die Aufgabe heute besprochen.
Nun ja, das Ergebnis ist ein wenig entäuschend.
Es gibt wohl mehrere Definition, was eine "stetige Zufallsvariable" X ist.
Und zwar
1: X ist eine stetige Funktion
2: der von X induzierte Raum hat eine stetige Verteilungsfunktion
3: der von X induzierte Raum hat eine Dichtefunktion
Die zweite Defintion ist natürlich am sinnvollsten, da sie auch allgemeiner ist als 3. Defintion 1 wird in Fachkreisen kaum verwendet. Aber unser Professor hatte an 1 gedacht. Er dachte wahrscheinlich daran (auch die Tutoren sind sich da nicht ganz sicher), dass wir mit der Info dass der Urbildraum eine Dichte hat, und X stetig ist, dann auch der induzierte Raum stetig ist. Und wir dann einfach über die Verteilungsfunktion gehen, und den Zwischenwertsatz verwenden. Der Prof hat auf jeden Fall zugegeben, dass die Aufgabe ziemlich unglücklich formuliert war...
Viele Grüße,
Vilietha
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