Existiert ML-Schätzer immer? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Hugo20 |
| Aufgabe | Sei [mm] (X_{1},..., X_{n}) [/mm] eine Stichprobe aus der Verteilung mit Dichte
[mm] f_{\beta}(x) [/mm] = [mm] e^{\beta-x} 1_{x\ge\beta} [/mm] , [mm] \beta\in\IR
[/mm]
Finde Maximum-Likelihood-Schätzer für Beta. |
Hallo,
ich habe einfach mal die Maximum-Likelihood-Methode angewandt, so wie ich sie gelernt habe, und komme dann zu dem Punkt, dass ich kein Maximum für die Likelihood-Funktion berechnen kann. Entweder gibt es wirklich kein Maximum, oder ich habe etwas falsch gemacht. Hier mein Ansatz:
Die Likelihood-Funktion ist ja immer das Produkt der einzelnen Dichten, sie sieht in dem Fall also so aus:
[mm] \produkt_{i=1}^{n} f_{\beta}(x_{i}) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} e^{\beta-x_{i}} 1_{x_{i}\ge\beta} [/mm] = [mm] e^{\summe_{i=1}^{n} (\beta-x_{i})} 1_{x_{i}\ge\beta \forall i} [/mm] = [mm] e^{n\beta-\summe_{i=1}^{n}x_{i}} \produkt_{i=1}^{n} 1_{x_{i}\ge\beta}
[/mm]
Stimmt das bis hierhin?
Meine Ableitung davon sieht jetzt so aus:
n [mm] e^{n\beta-\summe_{i=1}^{n}x_{i}} \produkt_{i=1}^{n} 1_{x_{i}\ge\beta}
[/mm]
Wie kann diese Ableitung jetzt jemals Null werden? Das n ist doch immer positiv und die e-Funktion wird doch auch niemals Null!
Der ganze Ausdruck kann doch wenn dann nur Null werden, wenn das Produkt der Indikatorfunktionen Null wird, und Null wird er genau dann, wenn mindestens ein [mm] x_{i} [/mm] kleiner als Beta ist. D.h. die einzige Aussage, die ich über Beta machen kann wäre, dass wenn Beta größer als das Minimum der [mm] x_{i} [/mm] 's ist, dann die Ableitung gleich Null ist. Aber das kommt mir irgendwie komisch vor.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Hugo20 |
Ich glaube, jetzt weiß ich doch, wie es geht!!!
Man muss hier nichts ableiten, sondern man überlegt sich einfach, wie der Graph der Likelihood-Funktion verläuft, und zwar in Abhängigkeit von [mm] \beta.
[/mm]
Dann sieht man, dass der Graph bis zum Wert [mm] \beta= X_{(1)} [/mm] , also bis zum Minimum aller [mm] X_{i}'s [/mm] ansteigt, und nach [mm] X_{(1)} [/mm] nur noch gleich Null bleibt. Somit ist bei [mm] X_{(1)} [/mm] das Maximum erreicht!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Fry |
Hey !
Gibt es nen Grund, warum die Log-Likelihood-Funktion nicht gebildet hast und davon die Ableitung genommen hast? Damit müsstest du doch dein Maximum hier finden oder seh ich das falsch?
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Mo 25.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Fry,
Hugo hat ja schon beschrieben, wie's geht. Das Problem ist hier, dass die Likelihoodfunktion ein Randmaximum hat und sie dort nicht diffbar ist.
vg Luis
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