Existiert eine DGL zu f(x) < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Existiert eine homogene DGL mit konstanten Koeffizienten, welche die Funktion
1. f(x) = [mm] A*e^{\wurzel \frac{2*pi}{3}*x}+B*x^2
[/mm]
2. [mm] A*e^x [/mm] - B*sinh(x)+C*cosh(x) |
Hi,
finde zu dieser Art der Aufgabenstellung weder etwas in meinem Skript , noch etwas im Internet.
All unsere DGLs haben wir mit dem Ansatz y= [mm] e^{\alpha*x} [/mm] gelöst.
Bin etwas ratlos wie ich einen Ansatz finden soll, vorallem da ich keine gelöste Beispielaufgabe habe :(
|
|
| |
|
Hallo,
> Existiert eine homogene DGL mit konstanten Koeffizienten,
> welche die Funktion
>
> 1. f(x) = [mm]A*e^{\wurzel \frac{2*pi}{3}*x}+B*x^2[/mm]
>
> 2. [mm]A*e^x[/mm] - B*sinh(x)+C*cosh(x)
> Hi,
>
> finde zu dieser Art der Aufgabenstellung weder etwas in
> meinem Skript , noch etwas im Internet.
>
> All unsere DGLs haben wir mit dem Ansatz y= [mm]e^{\alpha*x}[/mm]
> gelöst.
das kann nicht sein, da muss dir einiges durch die Lappen gegangen sein!
Wenn du dir einmal die Funktion in 1) ansiehst und betrachtest nur den ersten Summanden, was wäre dann? Würde das mit Hinzunahme des zweiten Summanden immer noch funktionieren oder nicht?
Oder einfacher: wie sehen denn die Lösungen einer gewöhnlichen homogenen DGL mit konstanten Koeffizienten generell aus, passt die Funktion aus 1) irgendwie in dieses Schema?
Bei der 2): ist dir klar, was mit den Funktionen sinh(x) bzw. cosh(x) gemeint ist, also
[mm] sinh(x)=\bruch{e^x-e^{-x}}{2}
[/mm]
[mm] cosh(x)=\bruch{e^x+e^{-x}}{2}
[/mm]
Damit sollte dir die Antwort bei 2) eigentlich auch unmittelbar klarwerden.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Wenn ich bei 1. nur den ersten Summanden betrachte dann komme ich mit
[mm] y=e^{\alpha*x} [/mm] ja nur auf den Vorfaktor wenn er Lösung des charakteristischen Polynoms ist.
Und ich verstehe nicht wie er die einzige Lösung dieses Polynoms sein kann :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Mo 19.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Dgl y'+ay=0 hat doch immer nur eine Lösung?
hier ist [mm] \alpha [/mm] offensichtlich.
aber du willst ja eine homogene dgl für die ganze dgl. die gibt es nicht! nur eine inhomogene.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo,
Entschuldigung aber ich versteh es wirklich 0, bin wohl bescheuert aber geb noch nicht auf.
Woher möchte ich wissen das es eine DGL 1 Ordnung ist ?
Gibt es irgendwo ein durchgerechnet Bsp. mit der Überlegung dahinter für so einen Aufgabentyp ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Mo 19.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
es geht um
[mm] f(x)=A\cdot{}e^{\wurzel \frac{2\cdot{}pi}{3}\cdot{}x}
[/mm]
1. hast du selbst gesagt, du brauchst nur eine Lösg des ansatzes [mm] f=e^{\lamba*x} [/mm] also kannst du nur eine lineare Gl haben!
wenn du höhere Abl. hast hast du immer soviel Nullstellen wie die höchst Ableitung.
2. die Lösung hat nur eine freie Konstante A, also kannst du nur f(0) vorgeben, allgemeine Lösungen von Dgl höherer ordnung haben so viele freie Konstanten wie die Ordnung
3. man kann es einfach ausprobieren, dass [mm] f'=\wurzel \frac{2\cdot{}pi}{3} [/mm] diese Lösung hat.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Vielen dank schon mal. Hab jetzt verstanden das der Grad meiner Lösung gleich der Anzahl der Lösungen sein muss.
Was meinst du allerdings mit "die Lösung hat nur eine freie Konstante A, also kannst du nur f(0) vorgeben"
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo Traumfabrik,
> Vielen dank schon mal. Hab jetzt verstanden das der Grad
> meiner Lösung gleich der Anzahl der Lösungen sein muss.
> Was meinst du allerdings mit "die Lösung hat nur eine
> freie Konstante A, also kannst du nur f(0) vorgeben"
das Problem ist (und bitte nimm es als sachliche Anregung an), dass dir offensichtlich wichtige Grundlagen in Sachen Hauptsatz der Analysis fehlen. Genau so, wie man etwa eine (Quadrat-)Wurzelgleichung durch Quadrieren lösen muss, genau so löäst man Differenzialgleichungen in jedem Fall durch Integrieren. Wie sonst möchtest du die Ableitungen aus der Gleichung herausbekommen? Es sollte auch klar sein, dass durch die Ordnung der DGL die Anzahl notwendiger Integrationen festgelegt ist. Nun handelt es sich dabei um unbestimmte Integrale, denn in den vorkommenden Ableitungen der DGL können Informationen, die in der Funktion noch enthalten sind, verlorengegangen sein. Ein unbestimmtes Integral hat stets die Form
[mm]\integral{f(x) dx}=F(x)+c[/mm]
wobei F(x) eine Stammfunktion und c eine Konstante ist. Dies meinte leduart in ihrem Tipp: bei jeder Integration kommt eine Konstante insSpiel. Wenn umgekehrt eine Funkzion eine soleche Konstante in Form eines Parameters enthält, dann muss jede DGL, die diese Funktion als Lösung hat, erster Ordnung sein!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hi, ich habe keine Probleme mit Kritik :)
Mein Problem ist, ich kann diese DGL ob homogen oder nicht ohne weiteres lösen.
Womit ich aber Probleme habe ist die Systematik wie ich es umgekehrt mache, wie es in der Aufgabenstellung formuliert ist.
Finde das einfach nirgends bzw. steh wohl auf dem Schlauch.
|
|
|
| |
|
Hallo Traumfabrik,
> Hi, ich habe keine Probleme mit Kritik :)
>
> Mein Problem ist, ich kann diese DGL ob homogen oder nicht
> ohne weiteres lösen.
> Womit ich aber Probleme habe ist die Systematik wie ich es
> umgekehrt mache, wie es in der Aufgabenstellung formuliert
> ist.
> Finde das einfach nirgends bzw. steh wohl auf dem
> Schlauch.
Die gängige Art ist hier die gegebene Lösungsfunktion,
so oft zu differenzieren, bis alle vorhandenen Parameter
eliminiert werden können.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Nach dem 3. Ableiten verschwindet ja der Parameter B, allerdings durch die e- Funktion bleibt mir doch A immer erhalten ?
|
|
|
| |
|
Hallo,
das ist aber doch nicht dein eigentliches Problem. Die Aufgabe fragt danach, ob man die Funktion als Lösung einer homogenen DGL mit konstanten Koeffizienten darstellen kann. Mit deiner obigen Erekenntnis kann man diese Frage umformulieren:
Gibt es eine nichttriviale Linearkombination der Funktion f sowie der Ableitungsfunktionen f', f'' und f''', deren Summe Null ergibt?
Die Antwort auf diese Frage bringt dir die Lösung deiner Aufgabe.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Ok, das hilft mir weiter :) ( hab noch 8 wochen diesen aufgabentyp zu verstehen, noch geb ich nicht auf )
Da ich als f'(x) hinten B*2x bekomme und damit unmöglich das [mm] x^2 [/mm] zu 0 werden lassen kann, würde ich sagen es ist durch eine homogene DGL nicht darstellbar ?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ok, das hilft mir weiter :) ( hab noch 8 wochen diesen
> aufgabentyp zu verstehen, noch geb ich nicht auf )
>
> Da ich als f'(x) hinten B*2x bekomme und damit unmöglich
> das [mm]x^2[/mm] zu 0 werden lassen kann, würde ich sagen es ist
> durch eine homogene DGL nicht darstellbar ?
so ist es: man würde in jedem Fall eine Störfunktion benötigen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Ok.
Bei der 2. Aufgabe habe ich cosh und sinh wie vorgeschlagen durch die e-Funktions Terme ersetzt und abgeleitet. Durch das negative Vorzeichen im Exponent ändert sich dann in der Ableitung bei 2 Termen das Vorzeichen.
Da es sich ja in der 2. Ableitung wieder ändert, wäre mein Lösungsvorschlag
y''-y= 0
|
|
|
| |
|
Hallo Traumfabrik,
> Bei der 2. Aufgabe habe ich cosh und sinh wie
> vorgeschlagen durch die e-Funktions Terme ersetzt und
> abgeleitet. Durch das negative Vorzeichen im Exponent
> ändert sich dann in der Ableitung bei 2 Termen das
> Vorzeichen.
> Da es sich ja in der 2. Ableitung wieder ändert, wäre
> mein Lösungsvorschlag
> y''-y= 0
Ja, das ist ok.
Grüße
reverend
|
|
|
|
