Exp-Gleichung, Basis "kürzen" < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:23 So 11.01.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | $\ [mm] (a^{x-2})^{x+2} [/mm] = [mm] (a^{x+3})^{x-4} [/mm] $ |
Hallo,
ich konnte diese Aufgabe zwar auf anhieb lösen, doch eine Sache hat mich neugierig gemacht.
in meiner Rechnung kam ich nämlich zu diesem Schritt:
$\ [mm] a^{x^2-4} [/mm] = [mm] a^{x^2-x-12} [/mm] $
Ich hab dann einfach auf beiden Seiten die Basis $\ a $ gestrichen, was ich schon immer ohne Groß drüber nachzudenken gemacht hab.
Jetzt hab ich mich aber gefragt, was ich da eigentlich wirklich mache, wenn ich jeweils die Basis "kürze".
Ich weiss, dass die Umkehrfunktion einer Exponentialgleichung der Logarithmus ist, bzw, dass sich Exponentialgleichungen i.d.R. durch Logarithmieren lösen lassen.
Hab ich bei diesem Schritt Logarithmiert ohne es wirklich ausführlich notiert zu haben?
Würde mich freuen, wenn jemand Licht ins Dunkel bringt.
Grüße
ChopSuey
|
|
| |
|
Hallo ChopSuey,
bei solchen Aufgaben geht man immer darüber die Basis gleich zu machen, das hast du ja scheinbar schon verstanden.
Nun muss aber, wenn zwei Basen gleich sind, auch schon die Exponenten gleich sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:48 So 11.01.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> ..., was ich schon immer ohne Groß drüber
> nachzudenken gemacht hab.
In diesem Fall war es sogar gut, ohne groß Nachdenken zu handeln: Worin unterscheidet sich der Ausdruck links des Gleichheitszeichens vom Ausdruck rechts des Gleichheitszeichens? => nur im Eponenten
Also kannst du die Exponenten gleichsetzen.
Versuche nun mal folgende Gleichung zu lösen:
[mm] sin(1+\wurzel[5]{2*x}) [/mm] = [mm] sin(1+\wurzel[5]{6-x}) [/mm]
Das "richtig auseinanderzufieseln" wäre wohl viel zu kompliziert. Aber ein "richtiger Blick" könnte das Problem lösen.
|
|
|
| |
|
> [mm]\ a^{x^2-4} = a^{x^2-x-12}[/mm]
>
> Ich hab dann einfach auf beiden Seiten die Basis [mm]\ a[/mm]
> gestrichen, was ich schon immer ohne Groß drüber
> nachzudenken gemacht hab.
>
> Jetzt hab ich mich aber gefragt, was ich da eigentlich
> wirklich mache, wenn ich jeweils die Basis "kürze".
>
> Ich weiss, dass die Umkehrfunktion einer
> Exponentialgleichung der Logarithmus ist, bzw, dass sich
> Exponentialgleichungen i.d.R. durch Logarithmieren lösen
> lassen.
>
> Hab ich bei diesem Schritt Logarithmiert ohne es wirklich
> ausführlich notiert zu haben?
Hallo,
Du hast bei diesem Schritt stillschweigend verwendet, daß die Funktion [mm] f_a:\IR \to \IR [/mm] mit [mm] f_a(x):=a^x [/mm] injektiv ist,
daß es also nicht zwei verschiedene Stellen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] gibt, an denen sie denselben Funktionswert hat, an denen also [mm] f_a(x_1)=f_a(x_2) [/mm] ist.
Diese Eigenschaft der Funktion ist eine Voraussetzung dafür, daß man sie umkehren kann. Hätte die Funktion diese Eigenschaft nicht, gäbe es die Umkehrfunktion [mm] log_a [/mm] gar nicht.
> Hab ich bei diesem Schritt Logarithmiert ohne es wirklich
> ausführlich notiert zu haben?
Ja, so kann man das sehen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 So 11.01.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo new_franky, rabilein und angela!
Vielen Dank für Eure 3 verschiedenen und hilfreichen Antworten.
Das ist klasse, das von 3 verschiedenen perspektiven gezeigt zu bekommen.
Ich hab mir die Gleichung angesehen und vermute, was mir gezeigt werden soll @rabilein. Danke.
Vielen Dank auch für die ausführliche Erklärung @angela.
Schönen Abend noch.
Viele Grüße,
ChopSuey
|
|
|
|
