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Forum "Stochastic Theory" - Exp-Verteilg u. Transformation
Exp-Verteilg u. Transformation < Stochastic Theory < University < Maths <
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Exp-Verteilg u. Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 17:36 Di 09/10/2018
Author: hase-hh

Aufgabe
X sei eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit [mm] \lambda [/mm] = 1. Bestimmen Sie die Dichte- und die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen

a) [mm] X^2 [/mm]

b) 4X - 1

Moin Moin,

auch hier weiss ich nicht weiter.

Die Dichtefunktion einer Exponentialverteilung ergibt sich zu:

[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{ } x \mbox{ < 0} \\ \lambda*e^{-\lambda*x}, & \mbox{} x \mbox{ >= 0} \end{cases} [/mm]

bzw.

[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{ } x \mbox{ < 0} \\ e^{-x}, & \mbox{} x \mbox{ >= 0} \end{cases} [/mm]


Aber wie soll ich jetzt die Transformation ausführen?

[mm] e^{-2x} [/mm] ist es doch nicht, oder???


Die Verteilungsfunktion einer Exponentialverteilung ergibt sich zu:

F(x) = [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \begin{cases} 1 - e^{-\lambda*x}, & \mbox{für } x \mbox{ >= 0} \\ 0, & \mbox{ } x \mbox{ < 0} \end{cases} [/mm]


bzw.

F(x) = [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \begin{cases} 1 - e^{-x}, & \mbox{für } x \mbox{ >= 0} \\ 0, & \mbox{ } x \mbox{ < 0} \end{cases} [/mm]


Aber wie muss ich die Transformation angehen?


Danke und Gruß!


        
Bezug
Exp-Verteilg u. Transformation: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 17:40 Di 09/10/2018
Author: luis52


>  
> Die Dichtefunktion einer Exponentialverteilung ergibt sich
> zu:
>  
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{ } x \mbox{ < 0} \\ \lambda*e^{-\lambda*x}, & \mbox{} x \mbox{ >= 0} \end{cases}[/mm]
>  
> bzw.
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{ } x \mbox{ < 0} \\ e^{-x}, & \mbox{} x \mbox{ >= 0} \end{cases}[/mm]
>  
>
> Aber wie soll ich jetzt die Transformation ausführen?
>  
> [mm]e^{-2x}[/mm] ist es doch nicht, oder???

Um Himmels willen, nein.  Es gilt

[mm] $P(X^2\le y)=P(X\le \sqrt{y})$ [/mm] fuer [mm] $y\ge0$ [/mm] ...





Bezug
                
Bezug
Exp-Verteilg u. Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:35 Di 09/10/2018
Author: hase-hh


> > bzw.
> >
> > [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{ } x \mbox{ < 0} \\ e^{-x}, & \mbox{} x \mbox{ >= 0} \end{cases}[/mm]
>  
> >  

> >
> > Aber wie soll ich jetzt die Transformation ausführen?
>  >  
> > [mm]e^{-2x}[/mm] ist es doch nicht, oder???
>  
> Um Himmels willen, nein.  Es gilt
>
> [mm]P(X^2\le y)=P(X\le \sqrt{y})[/mm] fuer [mm]y\ge0[/mm] ...

So vielleicht???

[mm] P(X^2 [/mm] = y) = P(X [mm] =\wurzel{y}) [/mm]   also  f(y) = [mm] =\begin{cases} 0, & \mbox{ } y \mbox{ < 0} \\ \wurzel{e^{-x}}, & \mbox{} y \mbox{ >= 0} \end{cases} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Exp-Verteilg u. Transformation: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 19:14 Di 09/10/2018
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> So vielleicht???
>  
> [mm]P(X^2[/mm] = y) = P(X [mm]=\wurzel{y})[/mm]   also  f(y) = [mm]=\begin{cases} 0, & \mbox{ } y \mbox{ < 0} \\ \wurzel{e^{-x}}, & \mbox{} y \mbox{ >= 0} \end{cases}[/mm]

sehr vielleicht… beachte: [mm] $F_{X^2}(y) [/mm] = [mm] P(X^2 \le [/mm] y) = P(X [mm] \le \wurzel{y}) [/mm]  = [mm] F_X(\sqrt{y})$ [/mm] wobei [mm] $F_X$ [/mm] die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung bezeichnet.

Wie hängt nun die Dichte von [mm] X^2 [/mm] von der Verteilungsfunktion von [mm] X^2 [/mm] zusammen?

Ein weiterer Tipp: Kettenregel.

Gruß,
Gono
  


Bezug
                                
Bezug
Exp-Verteilg u. Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 19:29 Di 09/10/2018
Author: hase-hh


> Hiho,
>  
> > So vielleicht???
>  >  
> > [mm]P(X^2[/mm] = y) = P(X [mm]=\wurzel{y})[/mm]   also  f(y) = [mm]=\begin{cases} 0, & \mbox{ } y \mbox{ < 0} \\ \wurzel{e^{-x}}, & \mbox{} y \mbox{ >= 0} \end{cases}[/mm]
>
> sehr vielleicht… beachte: [mm]F_{X^2}(y) = P(X^2 \le y) = P(X \le \wurzel{y}) = F_X(\sqrt{y})[/mm]
> wobei [mm]F_X[/mm] die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung
> bezeichnet.
>  
> Wie hängt nun die Dichte von [mm]X^2[/mm] von der
> Verteilungsfunktion von [mm]X^2[/mm] zusammen?
>  
> Ein weiterer Tipp: Kettenregel.
>  
> Gruß,
>  Gono


Also die Dichtefunktion ist    f(y) = [mm]=\begin{cases} 0, & \mbox{ } y \mbox{ < 0} \\ \wurzel{e^{-x}}, & \mbox{} y \mbox{ >= 0} \end{cases}[/mm]

... dann ist die Verteilungsfunktion die Aufleitung... (unter Berücksichtigung der Kettenregel)

[mm] e^{-x} [/mm] = [mm] e^{-\bruch{1}{2}*x} [/mm]



F(y) = [mm]=\begin{cases} 0, & \mbox{ } y \mbox{ < 0} \\ -2*{e^{-\bruch{1}{2}*x}, & \mbox{} y \mbox{ >= 0} \end{cases}[/mm]

Sorry, mehr weiss ich nicht.






Bezug
                                        
Bezug
Exp-Verteilg u. Transformation: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 10:39 Mi 10/10/2018
Author: luis52


> F(y) = [mm]=\begin{cases} 0, & \mbox{ } y \mbox{ < 0} \\ -2*{e^{-\bruch{1}{2}*x}, & \mbox{} y \mbox{ >= 0} \end{cases}[/mm]
>
> Sorry, mehr weiss ich nicht.
>  

Kommst du hier nicht selber in Gruebeln? Eine Verteilungsfunktion, die negative Werte annimmt?

So, nochmal gemuetlich zum Mitschreiben. Die Verteilungsfunktion von $X$ ist


$F(x) = [mm] \begin{cases} 1 - e^{-x}\,, & x \ge 0\,; \\ 0\,, & x < 0\,. \end{cases} [/mm] $

Zu bestimmen ist [mm] $P(X^2\le [/mm] y)$ fuer [mm] $y\in\IR$. [/mm] Ist $y<0$, so ist offenbar [mm] $P(X^2\le [/mm] y)=0$. Sei [mm] $y\ge0$. [/mm] Dann ist [mm] $P(X^2\le [/mm] y) = [mm] P(X\le \sqrt{y})=1-e^{-\sqrt{y}}$. [/mm] Wenn man das nach der Kettenregel ableitet, so ergibt sich die Dichte


[mm] $f_y(y) [/mm] = [mm] \begin{cases} \dfrac{e^{-\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}}\,, & y \ge 0\,; \\ 0\,, & y < 0\,. \end{cases} [/mm] $

P.S. Das Gegenteil von von Ableiten ist nicht Aufleiten, sondern Integrieren. Aufleiten ist eine Mischung aus Maul- und Klauenseuche und Krätze.






Bezug
                                                
Bezug
Exp-Verteilg u. Transformation: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 12:56 Fr 12/10/2018
Author: hase-hh


>  
> P.S. Das Gegenteil von von Ableiten ist nicht Aufleiten,
> sondern Integrieren. Aufleiten ist eine Mischung aus Maul-
> und Klauenseuche und Krätze.
>  
>
>

Danke, das hilft mir weiter.

P.S. Die kranke Polemik brauche ich nicht. Aufleiten ist ein wunderbarer bildhafter Ausdruck, der das Gegenstück zum Ableiten beschreibt.

Wenn, dann wäre ich dankbar, für eine genaue begriffliche Unterscheidung... also keine mathematische Regel, die kenne ich.

Amen.


Bezug
                                                        
Bezug
Exp-Verteilg u. Transformation: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 14:45 Sa 13/10/2018
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Aufleiten ist ein wunderbarer bildhafter Ausdruck, der das Gegenstück
> zum Ableiten beschreibt.

es mag sein, dass du ihn wunderbar und bildhaft finden… leider ist er trotzdem falsch.
Daher gewöhn' dir bitte an, ihn nicht zu verwenden.

Gruß,
Gono

Bezug
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