Exp-fkt Hornersch. Fehler < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Betsimmen Sie einen mglich kleinsten Index n mit [mm]-1 \leq x\leq 1[/mm], sodass gilt:
[mm]\frac{\left | e^x -\blue{\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}} \right |}{e^x}\leq 2^{-8}[/mm] |
Ich weiß, dass über dem Bruchstrich die Taylorentwicklung von [mm]e^x[/mm] steht.[mm]e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}=\underbrace{\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}}_{S_n}\,\,\, + R_n = S_n + R_n[/mm]Damit kann ich es doch umschreiben:[mm]\frac{\left | e^x -(\blue{e^x - R_n}) \right |}{e^x}=\frac{ R_n }{e^x}\leq 2^{-8}[/mm]
Wie mache ich jetzt weiter? Ich habe immer noch das x stehn. Ich weiß zwar, dass [mm] $e^x$ [/mm] eine monoton wachsende Funktion ist. Trotzdem hilft mir das nicht weiter.
| Aufgabe 2 | [mm]\exp_n(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\ldots +\frac{x^n}{n^2}[/mm]
mit dem ermittelten n von der ersten Aufgabe soll zur numerischen genäherten Berechnung von [mm]e^x[/mm] verwendet werden. Benutze das Horner-Schema. Bei dessen Durchführung in Gleitkomma-Rechnung ergibt sich die Näherung [mm]float(exp_n(x)[/mm] für [mm]e^x[/mm]. Berechne eine möglichst kleine Schranke für den Fehler.
[mm]\frac{|float(exp_n(x))-e^x|}{e^x}[/mm] |
Hornerschema hatten wir leider weder in der Schule noch bei der Analysis. Ich denke es geht so:[mm]e^x=1+x*\left ( 1+ x*\left ( \frac{1}{2!} + x* \left ( \frac{1}{3!} + \left ( \ldots + x* \left ( \frac{1}{n!} \right ) \right ) \right ) \right ) \right )[/mm]
Was mache ich damit jetzt überhaupt. Bin nun am verzweifeln.
Kann mir das bitte jemand erklären. Ich wäre sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Fr 19.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
bei der Taylorreihenentwicklung hast Du sicherlich auch eine Form des Restgliedes für die Taylorreihe kennen gelernt. Für das Restglied gilt
[mm] f(x)=T_n(x)+R_n(x)
[/mm]
also kann man n aus der Formel [mm] |f(x)-T_n(x)|=|R_n(x)|<2^{-8} [/mm] bestimmen.
Setze für [mm] f(x)=e^x [/mm] und nehme z.B. für [mm] R_n(x) [/mm] das Lagrangerestglied.
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