Exp.Funktion - Polynom -Beweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 So 11.12.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
| Aufgabe | Exponentialfunktion wächst schneller als Polynom:
Beweisen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow+\infty}\bruch{e^x}{x^n}=+\infty
[/mm]
per vollständiger Induktion.
Tipp: Benutzen sie die Regel vo l'Hospital und die Aussage von Aufgabe 1.
*bei Auf. 1. musste man die Potenzregel [mm] (x^n)'=nx^{n-1} [/mm] per vollstädiger Induktion beweisen ...
dies habe ich wie folgt gemacht ...
(zeige jetzt nur den letzten Induktionsschritt)
gilt auch für n+1:
[mm] (x^{n+1})'=(n+1)x^{(n+1)-1} [/mm] = [mm] (n+1)x^n [/mm]
jetzt kann man [mm] (x^{n+1})' [/mm] auch als [mm] (x^{n}*x)' [/mm] schreiben und mit der Produktregel weiter machen!
[mm] (x^n*x)'=nx^{n-1}*x+x^n*1=(n+1)x^n [/mm] |
So das war alles wichtige für die Aufgabe ...
also 1. und 2. Schritt der Indkution brauch ich jetzt nicht erklärt,
das es für n=1 stimmt und soweiter ...
weiß jetzt nur leider bei dem 3.Induktionsschritt, dem eigentlichen Beweis, das es für n+1 zutrifft, nicht wie ich da vorgehen soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 So 11.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo Nicky-01,
> Exponentialfunktion wächst schneller als Polynom:
>
> Beweisen Sie
> [mm]\limes_{n\rightarrow+\infty}\bruch{e^x}{x^n}=+\infty[/mm]
> per vollständiger Induktion.
> Tipp: Benutzen sie die Regel vo l'Hospital und die Aussage
> von Aufgabe 1.
>
>
> *bei Auf. 1. musste man die Potenzregel [mm](x^n)'=nx^{n-1}[/mm] per
> vollstädiger Induktion beweisen ...
> dies habe ich wie folgt gemacht ...
> (zeige jetzt nur den letzten Induktionsschritt)
> gilt auch für n+1:
> [mm](x^{n+1})'=(n+1)x^{(n+1)-1}[/mm] = [mm](n+1)x^n[/mm]
> jetzt kann man [mm](x^{n+1})'[/mm] auch als [mm](x^{n}*x)'[/mm] schreiben und
> mit der Produktregel weiter machen!
> [mm](x^n*x)'=nx^{n-1}*x+x^n*1=(n+1)x^n[/mm]
>
> So das war alles wichtige für die Aufgabe ...
> also 1. und 2. Schritt der Indkution brauch ich jetzt
> nicht erklärt,
> das es für n=1 stimmt und soweiter ...
>
> weiß jetzt nur leider bei dem 3.Induktionsschritt, dem
> eigentlichen Beweis, das es für n+1 zutrifft, nicht wie
> ich da vorgehen soll...
Wenn du Induktionsanfang und Induktionsvoraussetzung schon hast, musst du im Induktionsschritt zeigen, dass [mm]\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^{n+1}}=\infty[/mm] gilt.
Gehe dazu nach dem Tipp vor: benutze l'Hospital. Kläre zunächst, ob die Voraussetzungen für diesen Satz erfüllt sind. Um den Satz anwenden zu können, brauchst du die Aussage von Aufgabe 1.
Wenn du alles richtig gemacht hast, kannst du jetzt die Induktionsvoraussetzung benutzen.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 So 11.12.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
die Voraussetzung für l'Hospital wären erfüllt, da ich in dem Fall ja [mm] \infty/\infty [/mm] als GW hätte ...
also wenn ich dann mit l'Hospital weiter mache,
komme ich auf [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty} \bruch{e^x}{(n+1)x^n}
[/mm]
und wie soll man dann weiter machen?
kann ich das dann so schreiben:
[mm] \limes_{x\rightarrow+\infty} \bruch{1}{n+1}*\bruch{e^x}{x^n}
[/mm]
würde der Schritt mir etwas bringen?!
dan wäre es ja
GW [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] * [mm] \infty [/mm] ... also [mm] \infty
[/mm]
oder liege ich jetzt wieder komplett falsch?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 So 11.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> die Voraussetzung für l'Hospital wären erfüllt, da ich
> in dem Fall ja [mm]\infty/\infty[/mm] als GW hätte ...
>
>
> also wenn ich dann mit l'Hospital weiter mache,
> komme ich auf [mm]\limes_{x\rightarrow+\infty} \bruch{e^x}{(n+1)x^n}[/mm]
>
> und wie soll man dann weiter machen?
> kann ich das dann so schreiben:
> [mm]\limes_{x\rightarrow+\infty} \bruch{1}{n+1}*\bruch{e^x}{x^n}[/mm]
>
> würde der Schritt mir etwas bringen?!
Ja! Du musst ja irgendwie die Induktionsvoraussetzung mit ins Spiel bringen. D.h. du musst versuchen, [mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n}=\infty$ [/mm] einzubringen - und genau das kannst du an dieser Stelle.
> dan wäre es ja
> GW [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] * [mm]\infty[/mm] ... also [mm]\infty[/mm]
>
> oder liege ich jetzt wieder komplett falsch?!
Nein, das ist richtig.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 So 11.12.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
ok gut, dann lag ich ja nicht falsch.
Danke für die Hilfe!
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