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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Di 01.02.2011 | | Autor: | Kayle |
| Aufgabe | Bestimmen sie
exp( [mm] \pmat{ a & 0 & 0 \\ b & a & 0 \\ b & 0 & a }, [/mm] a,b [mm] \in \IR [/mm] |
Hallo,
ich hatte auch da schon eine ähnliche Aufgabe und hab jetzt den Lösungsweg derer nachempfunden.
So K= [mm] \pmat{ a & 0 & 0 \\ b & a & 0 \\ b & 0 & a }, [/mm] B = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ b & 0 & 0 \\ b & 0 & 0 } [/mm] und A = [mm] \pmat{ a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a } [/mm] = [mm] E*a [/mm].
Somit folgt ja [mm] exp(A+B)=exp(a*E+B)=exp(a)*E*exp(B) [/mm]. Da B ja nilpotent ist, gilt: [mm] B^2=0, [/mm] d.h. [mm] B^k=0 [/mm] für k>1.
Damit folgt [mm] exp(K)=exp(a)*(E+B+\bruch{1}{2}*B^2)=exp(a)*(E+B)= exp(a)*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ b & 1 & 0 \\ b & 0 & 1 } [/mm].
Ich weiß das man die Aufgabe auch anders lösen kann, aber da B nilpotent ist, sollte das doch der schnellste Lösungsweg sein. Aber ist er auch richtig?
Viele Grüße
Kayle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Di 01.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie
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> exp( [mm]\pmat{ a & 0 & 0 \\ b & a & 0 \\ b & 0 & a },[/mm] a,b [mm]\in \IR[/mm]
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> Hallo,
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> ich hatte auch da schon eine ähnliche Aufgabe und hab
> jetzt den Lösungsweg derer nachempfunden.
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> So K= [mm]\pmat{ a & 0 & 0 \\ b & a & 0 \\ b & 0 & a },[/mm] B =
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ b & 0 & 0 \\ b & 0 & 0 }[/mm] und A = [mm]\pmat{ a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a }[/mm]
> = [mm]E*a [/mm].
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> Somit folgt ja [mm]exp(A+B)=exp(a*E+B)=exp(a)*E*exp(B) [/mm]. Da B
> ja nilpotent ist, gilt: [mm]B^2=0,[/mm] d.h. [mm]B^k=0[/mm] für k>1.
>
> Damit folgt
> [mm]exp(K)=exp(a)*(E+B+\bruch{1}{2}*B^2)=exp(a)*(E+B)= exp(a)*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ b & 1 & 0 \\ b & 0 & 1 } [/mm].
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> Ich weiß das man die Aufgabe auch anders lösen kann, aber
> da B nilpotent ist, sollte das doch der schnellste
> Lösungsweg sein. Aber ist er auch richtig?
Ja, alles richtig
FRED
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> Viele Grüße
> Kayle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Di 01.02.2011 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
danke für die Antwort !
Gruß
Kayle
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