Explizite Funktion von z < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 So 31.08.2008 | | Autor: | Kulli1 |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion
f: [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x,y) = [mm] e^{x} [/mm] cos y + [mm] e^{y} [/mm] sin x.
a) Zeigen Sie, dass f harmonisch ist.
b) Begründen Sie die Aussage "f kann Realteil einer holomorphen Funktion sein".
c) Bestimmen Sie einen Imaginärteil g: [mm] \IR² \to \IR, [/mm] so dass
F(z) = f (x,y) + i g(x,y)
holomorph ist.
d) Schreiben sie F als eine explizite Funktion von z, so dass
F(z) = f (x,y) + i g(x,y) ( z=x+ iy). |
Hallo,
ich glaube die Aufgabe bis zum Teil d) gelöst zu haben.
a) [mm] \Delta [/mm] f = 0 ...
b) f ist stetig diffbar - die partielle Ableitung ist stetig
c) [mm] f_{x} [/mm] = [mm] g_{y} [/mm] => g = [mm] e^{x}siny [/mm] + [mm] e^{y} [/mm] cos x
Bei d) komm ich leider gar nicht voran... Gehe ich recht in der Annahme dass ich die Funktion
F(x + iy) = [mm] e^{x} [/mm] cos y + [mm] e^{y} [/mm] sin x + i [mm] (e^{x}siny [/mm] + [mm] e^{y} [/mm] cos x )
nur durch z ausdrücken soll ?
Durch Umformung erhalte ich zumindest
F = [mm] e^{x} [/mm] ( cos y + i sin y) + [mm] e^{y} [/mm] ( sin x + i cos x)
.. was ja schon verdächtig nach Polarform aussieht, aber so richtig weiter komme ich da leider nicht
Vielen Dank schnmal für eure Hilfe !
Gruß
Kulli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 So 31.08.2008 | | Autor: | andreas |
hi,
> Bei d) komm ich leider gar nicht voran... Gehe ich recht in
> der Annahme dass ich die Funktion
>
> F(x + iy) = [mm]e^{x}[/mm] cos y + [mm]e^{y}[/mm] sin x + i [mm](e^{x}siny[/mm] +
> [mm]e^{y}[/mm] cos x )
>
> nur durch z ausdrücken soll ?
>
> Durch Umformung erhalte ich zumindest
>
> F = [mm]e^{x}[/mm] ( cos y + i sin y) + [mm]e^{y}[/mm] ( sin x + i cos x)
>
> .. was ja schon verdächtig nach Polarform aussieht, aber so
> richtig weiter komme ich da leider nicht
hier kommst du - beim ersten summanden sogar sehr direkt - mit der ![[]](/images/popup.gif) eulerformel weiter. bei zweiten summanden musst du gegebenfalls noch $i$ ausklammern und symmetrien der trigonomertischen funktionen ausnutzen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 So 31.08.2008 | | Autor: | Kulli1 |
Vielen Dank, das hat mir sehr weitergeholfen.
Für nachfolgende: Das Ergebniss müsste dann (1+ [mm] \bruch{i}{e^{i}}) e^{z} [/mm] lauten.
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