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Forum "Folgen und Grenzwerte" - Explizite u. rekursive Folge
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Explizite u. rekursive Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 So 09.03.2008
Autor: maximinus

Aufgabe
Es sei eine Folge [mm] a_{n}=(-1)^{n+1}*\frac{n}{2}. [/mm] Beschreibe diese Folge rekursiv.

Hallo allerseits,

Das Übungsbuch gibt folgende Lösung an:

[mm] a_{1}=\frac{1}{2} [/mm]
[mm] a_{n+1}=-\frac{n+1}{n}*a_{n} [/mm]

Wie kommt man zu diesem Ergebnis kommt? Es folgt mein Versuch:

[mm] a_{n+1}-a_{n}=(-1)^{n+2}*\frac{n+1}{2}-(-1)^{n+1}*\frac{n}{2}[/mm]
[mm] a_{n+1}-a_{n}=(-1)^{n+1}*((-1)^1*\frac{n+1}{2}-\frac{n}{2}) [/mm]
[mm] a_{n+1}=a_{n}+(-1)^{n+1}*(-\frac{2n+1}{2}) [/mm]
[mm] a_{n+1}=(-1)^{n+1}*\frac{n}{2}+(-1)^{n+1}*(-\frac{2n+1}{2}) [/mm]
[mm] a_{n+1}=(-1)^{n+1}*(-\frac{n+1}{2}) [/mm]

Ich weiss nicht, wie ich weiter verfahren muss, um auf den obengenannten Lösungsterm zu kommen!

Und nebenbei: ist es überhaupt richtig, von einer "expliziten Folge" zu reden oder sollte es heißen "explizite Beschreibung einer Folge"?

Gruß,

Maximinus

        
Bezug
Explizite u. rekursive Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:44 So 09.03.2008
Autor: steppenhahn

Zur Nebenfrage:

Es heißt explizite / rekursive [mm] [b]Bildungsvorschrift[\b] [/mm] einer Folge :-).

Zur Aufgabe:

Du siehst an der Lösung: Es handelt sich um eine Folge, die rekursiv so gebildet wird, dass das vorherige Glied mit etwas multipliziert wird. Das heißt es bringt leider nichts, die Differenz [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] zu bilden.
Vielmehr geht es darum den Quotienten [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] zu bilden. Du wirst dann auf die Lösung kommen. Das Anfangsglied musst du dann entsprechend mit Hilfe der expliziten Formel bestimmen :-)

Bezug
                
Bezug
Explizite u. rekursive Folge: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:38 Mo 10.03.2008
Autor: maximinus

Vielen Dank euch beiden!


Gruß,

Maximinus

Bezug
        
Bezug
Explizite u. rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:48 So 09.03.2008
Autor: MathePower

Hallo maximinus,

> Es sei eine Folge [mm]a_{n}=(-1)^{n+1}*\frac{n}{2}.[/mm] Beschreibe
> diese Folge rekursiv.
>  Hallo allerseits,
>  
> Das Übungsbuch gibt folgende Lösung an:
>  
> [mm]a_{1}=\frac{1}{2}[/mm]
>  [mm]a_{n+1}=-\frac{n+1}{n}*a_{n}[/mm]
>  
> Wie kommt man zu diesem Ergebnis kommt? Es folgt mein
> Versuch:
>  
> [mm] a_{n+1}-a_{n}=(-1)^{n+2}*\frac{n+1}{2}-(-1)^{n+1}*\frac{n}{2}[/mm]
>  
> [mm] a_{n+1}-a_{n}=(-1)^{n+1}*((-1)^1*\frac{n+1}{2}-\frac{n}{2}) [/mm]
>  [mm] a_{n+1}=a_{n}+(-1)^{n+1}*(-\frac{2n+1}{2}) [/mm]
>  
> [mm] a_{n+1}=(-1)^{n+1}*\frac{n}{2}+(-1)^{n+1}*(-\frac{2n+1}{2}) [/mm]
>  [mm] a_{n+1}=(-1)^{n+1}*(-\frac{n+1}{2}) [/mm]
>  
> Ich weiss nicht, wie ich weiter verfahren muss, um auf den
> obengenannten Lösungsterm zu kommen!

Betrachte hier den Quotienten [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm].

Für den Starwert [mm]a_{1}[/mm] setzt [mm]n=1[/mm] ein.

>  
> Und nebenbei: ist es überhaupt richtig, von einer
> "expliziten Folge" zu reden oder sollte es heißen
> "explizite Beschreibung einer Folge"?
>  
> Gruß,
>  
> Maximinus

Gruß
MathePower

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