Expo.Funktionsuntersuchung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] f(x)=x^{2} \* e^{x} [/mm] |
Hallo,
wir sollen diese Funktion untersuchen. Habe ich schon gemacht, nur an einigen Stellen hakt es. Wir haben mit Exponentialfunktionen gerade erst angefangen...
Also:
1. Ableitungen
f'(x)= [mm] e^{x}\*(x^{2}+2x)
[/mm]
f''(x)= [mm] e^{x}\*(x^{2}+4x+2)
[/mm]
f'''(x)= [mm] e^{x}\*(x^{2}+6x+6)
[/mm]
2. Verhalten im Unendlichen
Dazu habe ich in die Funktion hohe positive und negative Werte für x eingesetzt. Kann man das so machen, oder muss man das noch auf eine andere Art und Weise bestimmen?
[mm] x\to+\infty\Rightarrow f(x)\to+\infty
[/mm]
[mm] x\to-\infty\Rightarrow f(x)\to+\infty
[/mm]
3. Definitions-/Wertebereich
Hier weiß ich auch nicht weiter. Also ich habe gelernt, dass eine Exponentialfunktion [mm] f(x)=b^{x}
[/mm]
den Wertebereich [mm] \IR{+} [/mm] hat. Denn die x-Achse ist ja die Asymptote. Also gibt es keine y-Werte unter 0, oder? Wie sieht das mit dem Definitionsbereich aus? Darf ich für x alles einsetzen?
Mein Problem ist auch, dass ich nicht weiß, was dieses x vor dem e jetzt mit der Funktion macht...
4.Symmetrie
Weder punkt-noch achsensymmetrisch:
f(-x)=-f(x)
Ich setze x=1:
Punktsymmetrie:
f(-1)=- [mm] (1\*e^{1})
[/mm]
[mm] -1\*e^{-1}\not=-1\*-e^{1}
[/mm]
Achsensymmetrie:
f(x)=f(-x)
[mm] 1\*e^{1}\not=-1\*e^{-1}
[/mm]
Gibt es da noch eine einfache Regel? Ich habe bei quadratischen, kubischen usw. Gleichungen gelernt, dass wenn nur gerade Exponenten vorkommen die Gleichung achsensymmetrisch zur y-Achse ist und wenn nur ungerade Exponenten vorkommen, dass sie punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
4. Nullstellen
Gibt es Nullstellen?
Also f(0)=0 Da ist wieder die Frage, darf ich 0 einsetzen?
Wie kann ich die bestimmen? Wahrscheinlich ist das alles ganz einfach und ich bin nur durch das e verwirrt. Sonst hab ich immer Hornerschema,p-q-Formel, Ausklammern oder Substitution angewandt...
Die y-Achse schneidet die Funktion
f(x)= [mm] x^{2}\*e^{x}=0
[/mm]
Also [mm] x^{2}=0 [/mm]
x= 0 ???
im Punkt (0|0)
Aber da die x-Achse die Asymptote, schneidet die Funktion die doch gar nicht. Oder ist die Asymptote durch das x vor dem e eine Parallele zu der x-Achse?
6.Extremstellen
NB f'(x)=0
f'(x)= [mm] e^{x}\*(x^{2}+2x)=0
[/mm]
also
[mm] x\* [/mm] (x+2)= 0
x=0 [mm] \vee [/mm] x=-2
nach HB und einsetzen in die Ursprungsfunktion hab ich den Tiefpunkt
T(0|0) und H (-2|0.541).
7.Wendestellen
NB f''(x)=0
f''(x)= [mm] e^{x}\*(x^{2}+4x+2)=0
[/mm]
[mm] x^{2}+4x+2)0 [/mm]
mit pq-Formel kriege ich für [mm] x=-2+\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \vee x=-2-\wurzel{2}
[/mm]
nach HB und einsetzen:
W1 [mm] (-2+\wurzel{2}| [/mm] 0,191)
W2 [mm] (-2-\wurzel{2}|0,384)
[/mm]
Es würde mir schon helfen, wenn mir jemand allgemein sagen könnte, wie das bei derartigen Funktionen funktioniert und wie man sich die vorstellen kann. Das wäre wirklich nett. Wir schreiben nämlich in 2 Wochen eine Klausur und ich hab das bisher nicht wirklich verstanden.
Bin für jeden kleinen Tipp dankbar!
PS. Ich werde jetzt noch weiter hier im Forum stöbern und versuchen, selbst auf einige Sachen zu kommen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laura!
> 1. Ableitungen
>
> f'(x)= [mm]e^{x}\*(x^{2}+2x)[/mm]
>
> f''(x)= [mm]e^{x}\*(x^{2}+4x+2)[/mm]
>
> f'''(x)= [mm]e^{x}\*(x^{2}+6x+6)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Alle 3 richtig!!
> 2. Verhalten im Unendlichen
> Dazu habe ich in die Funktion hohe positive und negative
> Werte für x eingesetzt. Kann man das so machen, oder muss
> man das noch auf eine andere Art und Weise bestimmen?
Nun ja, man sollte schon das Verhalten der e-Funktion im Unendlichen kennen. Im positiven Bereich wächst sie über alle Grenzen (im Positiven).
Für [mm] $x\rightarrow-\infty$ [/mm] nähert sich die e-Funktion der x-Achse an (sprich: die Werte werden nahezu $0_$ ).
Und davon lässt sie sich auch nicht durch Faktoren wie [mm] $x^2$ [/mm] (bzw. beliebiges [mm] $x^n$ [/mm] abbringen.
> [mm]x\to+\infty\Rightarrow f(x)\to+\infty[/mm]
> [mm]x\to-\infty\Rightarrow f(x)\to+\infty[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier ergibt sich: [mm] $\limes_{x\rightarrow-\infty}x^2*e^x [/mm] \ = \ 0$ .
> 3. Definitions-/Wertebereich
> Hier weiß ich auch nicht weiter. Also ich habe gelernt,
> dass eine Exponentialfunktion [mm]f(x)=b^{x}[/mm]
> den Wertebereich [mm]\IR{+}[/mm] hat.
> Denn die x-Achse ist ja die Asymptote. Also gibt es keine y-Werte unter
> 0, oder?
> Wie sieht das mit dem Definitionsbereich aus? Darf ich für x
> alles einsetzen?
Ja! Denn sowohl [mm] $x^2$ [/mm] als auch [mm] $e^x$ [/mm] sind für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] definiert.
> 4.Symmetrie
>
> Weder punkt-noch achsensymmetrisch:
>
> f(-x)=-f(x)
>
> Ich setze x=1:
>
> Punktsymmetrie:
> f(-1)=- [mm](1\*e^{1})[/mm]
> [mm]-1\*e^{-1}\not=-1\*-e^{1}[/mm]
>
> Achsensymmetrie:
> f(x)=f(-x)
> [mm]1\*e^{1}\not=-1\*e^{-1}[/mm]
Das wäre aber nur für einen einzigen Punkt nachgewiesen. Das muss dann schon allgemein geführt werden, da diese Relationen für alle x-Werte des Definitionsbereiches gelten müssen.
$f(-x) \ = \ [mm] (-x)^2*e^{-x} [/mm] \ = \ [mm] x^2*e^{-x} [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] x^2*e^x [/mm] \ = \ f(x)$ [mm] $\text{keine Achsensymmetrie}$
[/mm]
$f(-x) \ = \ [mm] (-x)^2*e^{-x} [/mm] \ = \ [mm] x^2*e^{-x} [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] -x^2*e^x [/mm] \ = \ -f(x)$ [mm] $\text{keine Punksymmetrie}$
[/mm]
> Gibt es da noch eine einfache Regel? Ich habe bei
> quadratischen, kubischen usw. Gleichungen gelernt, dass
> wenn nur gerade Exponenten vorkommen die Gleichung
> achsensymmetrisch zur y-Achse ist und wenn nur ungerade
> Exponenten vorkommen, dass sie punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Diese Regel gilt nur für ganzrationale Funktionen!
> 4. Nullstellen
>
> Gibt es Nullstellen?
>
> Also f(0)=0 Da ist wieder die Frage, darf ich 0 einsetzen?
Ja, darfst Du! Schließlich ist [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ auch im Definitionsbereich mit $D \ = \ [mm] \IR$ [/mm] .
> Wie kann ich die bestimmen? Wahrscheinlich ist das alles
> ganz einfach und ich bin nur durch das e verwirrt. Sonst
> hab ich immer Hornerschema,p-q-Formel, Ausklammern oder
> Substitution angewandt...
Wende das Prinzip des Nullproduktes an: ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn (mind.) einer der Faktoren gleich Null wird.
[mm] $$x^2*e^x [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$\gdw [/mm] \ \ \ [mm] x^2 [/mm] \ = \ 0 \ \ \ \ \ \ [mm] \text{ oder } [/mm] \ \ \ \ [mm] e^x [/mm] \ = \ 0$$
> Die y-Achse schneidet die Funktion
>
> f(x)= [mm]x^{2}\*e^{x}=0[/mm]
>
> Also [mm]x^{2}=0[/mm]
> x= 0 ???
Für den y-Achsenabschnitt musst Du einfach $x \ = \ 0$ einsetzen.
> im Punkt (0|0)
Und damit hast Du doch auch gleichzeitig eine Nullstelle.
> Aber da die x-Achse die Asymptote, schneidet die Funktion
> die doch gar nicht. Oder ist die Asymptote durch das x vor
> dem e eine Parallele zu der x-Achse?
Wann hast Du denn festgestellt, dass die x-Achse eine Asymptote ist? Es stimmt ja für [mm] $x\rightarrow-\infty$ [/mm] . Aber rechnerisch hast du das noch nicht belegt (siehe Verhalten im Unendlichen).
Aber die Funktion darf eine Asymptote auch schneiden, berühren ...
> 6.Extremstellen
> NB f'(x)=0
>
> f'(x)= [mm]e^{x}\*(x^{2}+2x)=0[/mm]
>
> also [mm]x\*[/mm] (x+2)= 0
>
> x=0 [mm]\vee[/mm] x=-2
> nach HB und einsetzen in die Ursprungsfunktion hab ich den
> Tiefpunkt
>
> T(0|0) und H (-2|0.541).
> 7.Wendestellen
>
> NB f''(x)=0
> f''(x)= [mm]e^{x}\*(x^{2}+4x+2)=0[/mm]
>
> [mm]x^{2}+4x+2)0[/mm]
>
> mit pq-Formel kriege ich für [mm]x=-2+\wurzel{2}[/mm]
> [mm]\vee x=-2-\wurzel{2}[/mm]
> nach HB und einsetzen:
>
> W1 [mm](-2+\wurzel{2}|[/mm] 0,191)
> W2 [mm](-2-\wurzel{2}|0,384)[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo Loddar,
danke für deine wirklich schnelle und ausführliche Antwort. Die hat mir sehr weitergeholfen!
Ich habe noch eine Frage in Bezug auf die Asymptote, also auch was die Nullstellen angeht.
> > 4. Nullstellen
Also Schnittpunkt mit der x-Achse:
f(x)=0
> Wende das Prinzip des Nullproduktes an: ein Produkt ist
> genau dann gleich Null, wenn (mind.) einer der Faktoren
> gleich Null wird.
>
> [mm]x^2*e^x \ = \ 0[/mm]
> [mm]\gdw \ \ \ x^2 \ = \ 0 \ \ \ \ \ \ \text{ oder } \ \ \ \ e^x \ = \ 0[/mm]
>
Kann [mm] e^x [/mm] überhaupt Null werden? e=2,7182818284... [mm] e^{0} [/mm] wäre 1 und alles darunter würde immer weiter Richtung 0 gehen.
Bei [mm] e^{-300} [/mm] zeigt mir der Taschenrechner 0 an... Oder heißt das annähernd 0?
Dann würde ich sagen, man muss nur gucken, wann [mm] x^{2}=0 [/mm] ?
N(0|0)
> > Die y-Achse schneidet die Funktion
> >
> > f(x)= [mm]x^{2}\*e^{x}=0[/mm]
> >
> > Also [mm]x^{2}=0[/mm]
> > x= 0 ???
>
> Für den y-Achsenabschnitt musst Du einfach [mm]x \ = \ 0[/mm]
> einsetzen.
>
Stimmt ja! Da hab ich mich vertan. Also f(0)=0
> > im Punkt (0|0)
>
> Und damit hast Du doch auch gleichzeitig eine
> Nullstelle.
>
> > Aber da die x-Achse die Asymptote, schneidet die Funktion
> > die doch gar nicht.
>
> Wann hast Du denn festgestellt, dass die x-Achse eine
> Asymptote ist? Es stimmt ja für [mm]x\rightarrow-\infty[/mm] . Aber
> rechnerisch hast du das noch nicht belegt (siehe Verhalten
> im Unendlichen).
Wie belegt man so etwas rechnerisch? Reicht das nicht:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}x^2\cdot{}e^x [/mm] \ = \ 0 $
?
Wie gesagt ich weiß das mit der Asymptoten nur, da wir das in Zusammenhang mit der allgemeinen Exponentialfunktion gelernt haben.
Das haben wir nicht rechnerisch bewiesen. Wir haben glaub ich nur durch Ausprobieren festgestellt, dass wenn man hohe negative Exponenten einsetzt, die y-Werte sich immer weiter Null annähern (s. oben).
Bei ganzrationalen Funktionen haben wir meine ich immer die höchste Potenz ausgeklammert und daran das Verhalten im Unendlichen bestimmt.
>
> Aber die Funktion darf eine Asymptote auch schneiden,
> berühren ...
>
Das hör ich jetzt zum ersten Mal!
Wir haben das immer in etwa so gelernt:
Eine Asymptote ist ein Graph (zum Beispiel eine Gerade), der sich dem Graphen einer gegebenen Funktion beliebig weit annähert, diesen jedoch nie erreicht.
Ich meine bei der Nullstelle zeigt es sich ja, dass es den y-Wert 0 geben muss. Oder ist das dann nur annähernd 0 sowas wie 0,00000012? Na ja, eigentlich ist es ja [mm] 0\*1=0 [/mm] . Also genau 0.
Aber ich dachte immer , die Funktion würde die x-Achse nie berühren oder schneiden, wenn diese die Asymptote von f(x) ist...
Nochmal vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Fulla |
Hallo Laura!
> Kann $ [mm] e^x [/mm] $ überhaupt Null werden? e=2,7182818284... $ [mm] e^{0} [/mm] $ wäre 1 und alles darunter würde immer
> weiter Richtung 0 gehen.
> Bei $ [mm] e^{-300} [/mm] $ zeigt mir der Taschenrechner 0 an... Oder heißt das annähernd 0?
Nein, [mm] $e^x$ [/mm] ist immer größer Null. Dein Taschenrechner zeigt Null an, weil er eine Zahl die so nahe an Null liegt wahrscheinlich nicht anzeigen kann. [mm] $e^{-300}=5.148200222*10^{-131}$
[/mm]
Da [mm] $e^x>0$ [/mm] kann das Produkt nur Null werden, wenn [mm] x^2=0 [/mm] ist.
Zum Thema Asymptoten:
Meiner Meinung nach reicht hier $ [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}x^2 e^x [/mm] =0$, um zu zeigen, dass die x-Achse eine Asymptote ist... Siehe ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
Und, ja, eine Funktion darf ihre Asymptote schneiden. Hier handelt es sich um einen Berührpunkt. Es geht ja darum, dass Funktion und Asymptote im unendlichen beliebig nahe kommen.
Deine Funktion sieht so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Stell dir vor das Minimum bei $x=0$ hätte nicht den y-Wert 0, sondern -5. Dann hätte die Funktion sogar zwei Schnittpunkte mit der x-Achse - und trotzdem wirst du zugeben müssen, dass die x-Achse eine Asymptote ist, oder? 
> Wir haben das immer in etwa so gelernt:
> Eine Asymptote ist ein Graph (zum Beispiel eine Gerade), der sich dem Graphen einer gegebenen
> Funktion beliebig weit annähert, diesen jedoch nie erreicht.
Das stimmt ja auch, aber ich für das "... diesen jedoch nie erreicht" so interpretieren, dass die beiden Funktionen nicht identisch sein dürfen. Also Schnittpunkte sind erlaubt aber es ist z.B. die x-Achse keine Asymptote von f(x)=0.
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Lieben Gruß,
Fulla
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
