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Exponent einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:16 Mi 05.12.2012
Autor: Thomas0086

Aufgabe
Betrachte
[mm] B=\pmat{-1&-2&0&0 \\ 1&-3&0&0 \\0&0&-1&2 \\ 0&0&4&-3 } [/mm]

Zeigen Sie, dass diese Matrix sowohl ähnlich zu

[mm] B_{1}= \pmat{-2+i&0&0&0 \\ 0&-2-i&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&-5 }, [/mm]
als auch zu
[mm] B_{2}= \pmat{-2&1&0&0 \\ -1&-2&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&-5 } [/mm]
ist.
Berechnen sie [mm] exp(tB_{1}) [/mm] und [mm] exp(tB_{2}) [/mm] und mit HIlfe einer dieser beiden auch exp(tB).

Hallo,

ich habe angefangen [mm] exp(tB_{1}) [/mm] zu berechnen und komme dann mit [mm] T=\pmat{-i&i&0&0 \\ 1&1&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 } [/mm]
auf [mm] exp(tB_{1})=\pmat{e^{-2t}cos(t)&e^{-2t}sin(t)&0&0 \\ -e^{-2t}sin(t)&e^{-2t}cos(t)&0&0 \\0&0&e^{t}&0 \\ 0&0&0&e^{-5t} } [/mm]

Meine Frage ist jetzt wie ich damit exp(tB) berechne. Muss ich [mm] exp(tB_{1})exp(tB)exp(tB_{1})^{-1} [/mm] berechnen?
Oder brauche ich dafür zwingend noch [mm] exp(tB_{2})? [/mm]
Eigentlich brauche ich doch eine Matrix [mm] A\in [/mm] { M | 4x4 } mit exp(tB)= [mm] Aexp(tB_{1})A^{-1}. [/mm] Nur wie finde ich die?

Danke euch.
Thomas

        
Bezug
Exponent einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:05 Mi 05.12.2012
Autor: fred97


> Betrachte
>  [mm]B=\pmat{-1&-2&0&0 \\ 1&-3&0&0 \\0&0&-1&2 \\ 0&0&4&-3 }[/mm]
>  
> Zeigen Sie, dass diese Matrix sowohl ähnlich zu
>
> [mm]B_{1}= \pmat{-2+i&0&0&0 \\ 0&-2-i&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&-5 },[/mm]
>  
> als auch zu
>  [mm]B_{2}= \pmat{-2&1&0&0 \\ -1&-2&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&-5 }[/mm]
>  
> ist.
>  Berechnen sie [mm]exp(tB_{1})[/mm] und [mm]exp(tB_{2})[/mm] und mit HIlfe
> einer dieser beiden auch exp(tB).
>  Hallo,
>  
> ich habe angefangen [mm]exp(tB_{1})[/mm] zu berechnen und komme dann
> mit [mm]T=\pmat{-i&i&0&0 \\ 1&1&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 }[/mm]

Was hat es mit T auf sich ?


>  auf
> [mm]exp(tB_{1})=\pmat{e^{-2t}cos(t)&e^{-2t}sin(t)&0&0 \\ &-e^{-2t}sin(t)&e^{-2t}cos(t)&0&0 \\0&0&e^{t}&0 \\ 0&0&0&e^{-5t} }[/mm]

Nein.  [mm] B_1 [/mm] ist doch eine Diagonalmatrix ! Dann ist

[mm]exp(tB_{1})=\pmat{e^{-2t}(cos(t)+isin(t)) & 0&0&0 \\ 0&e^{-2t}(cos(t)-isin(t))&0&0 \\0&0&e^{t}&0 \\ 0&0&0&e^{-5t} }[/mm]



Zuerst mußt Du die Ähnlichkeit von B und [mm] B_1 [/mm] zeigen. Zeige also, dass es eine invertierbare Matrix A gibt mit:

[mm] B=AB_1A^{-1} [/mm]

Damit ist dann

  [mm] e^{tB}=Ae^{tB_1}A^{-1} [/mm]

FRED

>  
> Meine Frage ist jetzt wie ich damit exp(tB) berechne. Muss
> ich [mm]exp(tB_{1})exp(tB)exp(tB_{1})^{-1}[/mm] berechnen?
>  Oder brauche ich dafür zwingend noch [mm]exp(tB_{2})?[/mm]
>  Eigentlich brauche ich doch eine Matrix [mm]A\in[/mm] { M | 4x4 }
> mit exp(tB)= [mm]Aexp(tB_{1})A^{-1}.[/mm] Nur wie finde ich die?
>  
> Danke euch.
>  Thomas


Bezug
                
Bezug
Exponent einer Matrix: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:53 Mi 05.12.2012
Autor: Thomas0086


> > Betrachte
>  >  [mm]B=\pmat{-1&-2&0&0 \\ 1&-3&0&0 \\0&0&-1&2 \\ 0&0&4&-3 }[/mm]
>  
> >  

> > Zeigen Sie, dass diese Matrix sowohl ähnlich zu
> >
> > [mm]B_{1}= \pmat{-2+i&0&0&0 \\ 0&-2-i&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&-5 },[/mm]
>  
> >  

> > als auch zu
>  >  [mm]B_{2}= \pmat{-2&1&0&0 \\ -1&-2&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&-5 }[/mm]
>  
> >  

> > ist.
>  >  Berechnen sie [mm]exp(tB_{1})[/mm] und [mm]exp(tB_{2})[/mm] und mit HIlfe
> > einer dieser beiden auch exp(tB).
>  >  Hallo,
>  >  
> > ich habe angefangen [mm]exp(tB_{1})[/mm] zu berechnen und komme dann
> > mit [mm]T=\pmat{-i&i&0&0 \\ 1&1&0&0 \\0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 }[/mm]
>  
> Was hat es mit T auf sich ?

hab mich hier oben total verrechnet.

T ist meine Matrix aus Eigenvektoren zu den Eigenwerten von [mm] B_{1}. [/mm]

>  
>
> >  auf

> > [mm]exp(tB_{1})=\pmat{e^{-2t}cos(t)&e^{-2t}sin(t)&0&0 \\ &-e^{-2t}sin(t)&e^{-2t}cos(t)&0&0 \\0&0&e^{t}&0 \\ 0&0&0&e^{-5t} }[/mm]
>  
> Nein.  [mm]B_1[/mm] ist doch eine Diagonalmatrix !

Heisst das ich hätte mir meine Rechnerei sparen können? Also das T für die Berechnung von [mm] exp(tB_{1}) [/mm] garnicht gebraucht?

>  
> [mm]exp(tB_{1})=\pmat{e^{-2t}(cos(t)+isin(t)) & 0&0&0 \\ 0&e^{-2t}(cos(t)-isin(t))&0&0 \\0&0&e^{t}&0 \\ 0&0&0&e^{-5t} }[/mm]
>  
>
>
> Zuerst mußt Du die Ähnlichkeit von B und [mm]B_1[/mm] zeigen.
> Zeige also, dass es eine invertierbare Matrix A gibt mit:
>  
> [mm]B=AB_1A^{-1}[/mm]

Was ich jetzt gefunden habe ist:
Wenn ich die Matrix B diagonalisiere und dann zu den EW die EV bestimme, bilden die EV eine Basis des Raums
und somit die Spalten einer Matrix A welche dann die obige Bedingung erfüllt.

>  
> Damit ist dann
>  
> [mm]e^{tB}=Ae^{tB_1}A^{-1}[/mm]
>  
> FRED

Also ich habe EW zur Matrix B
[mm] \lambda_{1}=-2+i [/mm]
[mm] \lambda_{2}=-2-i [/mm]
[mm] \lambda_{3}=1 [/mm]
[mm] \lambda_{4}=-5 [/mm]

Also ist [mm] B_{1} [/mm] meine gesuchte Diagonalmatrix. Jetzt muss ich noch A bestimmen, was ich durch die EV zu den EW mache.
Ich komme auf folgende EV:

[mm] v_{1}=\vektor{1+i \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm]
[mm] v_{2}=\vektor{1-i \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm]
[mm] v_{3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm]
[mm] v_{4}=\vektor{0 \\ 0 \\ -1 \\ 2} [/mm]
Diese bilden die Spalten meiner Matrix A, also
[mm] A=\pmat{ 1+i & 1-i &0 &0 \\ 1 & 1&0&0 \\ 0&0&1&-1 \\ 0&0&-1&2 } [/mm]
Davon ist noch die Inverse zu berechnen.
Damit müsste dann
[mm] B=AB_1A^{-1} [/mm]
gezeigt sein.
Da [mm] B_{1} [/mm] Diagonalmatrix ist kann ich doch einfach sagen:

[mm] exp(tB_{1})= \pmat{e^{(-2+i)t}&0&0&0 \\ 0&e^{(-2-i)t}&0&0 \\0&0&e^{1t}&0 \\ 0&0&0&e^{-5t} } [/mm] oder?
Damit wäre das für [mm] B_{1} [/mm] gezeigt meiner Meinung nach.

Wie muss ich da denn bei [mm] B_{2} [/mm] vorgehen?
Die Eigenwerte von [mm] B_{2} [/mm] sind ja die gleichen wie bei B oder [mm] B_{1}. [/mm]
Ist hier erst explizit [mm] exp(tB_{2}) [/mm] zu berechnen?

Danke schonmal. War bisher wohl eher auf dem Holzweg







Bezug
                        
Bezug
Exponent einer Matrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Fr 07.12.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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