Exponential-Fkt. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Huhhhu,
für euch sicher eine Pippifax-Frage. |
Ich habe vorhin die Fkt. [mm] 2^x [/mm] in Funky-Plott eingegeben.
Die Stelle, wo der Graph die x-Achse erreicht (berührt), so sah es zuerst aus, aber genau diese Stelle habe ich immer weiter rangezoomt u. dann gesehen, dass es zu keiner Berührung kommt. Oder doch? Ich habe es jedenfalls nicht gesehen u. den Graph dann aus den Augen verloren. Der war einfach weg. Und scrollen half nichts. Und nochmal wieder 100 mal auf plus zu drücken (zoomen) hatte ich keine Lust.
Wenn es nun tatsächl. so ist, wie gesehen (Graph wird nie die x-Achse u. vermutl. auch nicht die y-Achse berühren), nennt man das Grenzwert?
Weil kommt ja irgendwie immer näher, aber eben nie ganz ran.
Und muss das so sein, weil es eine Potenz ist?
Und letzte Frage:
Was für Sorten von Funktionen gibt es?
Ich kenne gz.-rat. Fkt. n-ten Grades (sog. Polynome)
Dann gibt es noch gebr.-rat. Fkt. (Zähler is n Polyn. u. Nenner auch)
Und die Exponential-Fkt. sind eine dritte Sorte oder fallen die unter eine andere Überschrift?
Freue mich morgen hier wieder reinzuschauen, bzw. zu sehen, wenn meine Fragen wieder grün sind. So war es jedenfalls (fast) immer. Dafür vielen DANK u. Gute Nacht
Sabine
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Hallo Sabine,
> Huhhhu,
> für euch sicher eine Pippifax-Frage.
> Ich habe vorhin die Fkt. [mm]2^x[/mm] in Funky-Plott eingegeben.
> Die Stelle, wo der Graph die x-Achse erreicht (berührt),
> so sah es zuerst aus, aber genau diese Stelle habe ich
> immer weiter rangezoomt u. dann gesehen, dass es zu keiner
> Berührung kommt. Oder doch? Ich habe es jedenfalls nicht
> gesehen u. den Graph dann aus den Augen verloren. Der war
> einfach weg. Und scrollen half nichts. Und nochmal wieder
> 100 mal auf plus zu drücken (zoomen) hatte ich keine
> Lust.
![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]")
Verständlich!
> Wenn es nun tatsächl. so ist, wie gesehen (Graph wird nie
> die x-Achse u. vermutl. auch nicht die y-Achse berühren),
Was? Die y-Achse wird (wenn, dann stets) an der Stelle $x=0$ geschnitten.
Der Funktionswert ist [mm] $2^0=1$, [/mm] also ist der Schnittpunkt mit der y-Achse $P=(0,1)$
> nennt man das Grenzwert?
Ja!
> Weil kommt ja irgendwie immer näher, aber eben nie ganz
> ran.
> Und muss das so sein, weil es eine Potenz ist?
Hmm, jein.
Hier hast du eine Exponentialfunktion [mm] $f(x)=a^x$ [/mm] mit $a>0$
Für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] gilt [mm] $a^x>0$, [/mm] der Funktionswert $f(x)=0$ wird also nie angenommen.
Für $a=1$ hast du [mm] $1^x\equiv [/mm] 1$, das ist die konstante Funktion 1
Für $a>1$ (also wie hier mit der 2) hast du für [mm] $x\to +\infty$: $f(x)\to +\infty$ [/mm] und für [mm] $x\to -\infty$: $f(x)\to [/mm] 0$
Für $a<1$ umgekehrt:
[mm] $f(x)\to [/mm] 0$ für [mm] $x\to +\infty$ [/mm] und [mm] $f(x)\to\infty$ [/mm] für [mm] $x\to -\infty$
[/mm]
>
> Und letzte Frage:
> Was für Sorten von Funktionen gibt es?
> Ich kenne gz.-rat. Fkt. n-ten Grades (sog. Polynome)
> Dann gibt es noch gebr.-rat. Fkt. (Zähler is n Polyn. u.
> Nenner auch)
> Und die Exponential-Fkt. sind eine dritte Sorte oder
> fallen die unter eine andere Überschrift?
Nö, der Begriff ist ok!
Nun, weiter: [mm] $a^x$ [/mm] die (allg.) Exponentialfunktionen (zur Basis $a>0$)
- trigonometrische Funktionen [mm] $\sin, \cos, \tan, [/mm] ...$
- lineare Funktionen (Geraden) [mm] $f(x)=m\cdot{}x+b$ [/mm] als Spezialfall der Polynome, so speziell, dass sie einen eigenen Namen bekommen 
- Potenzfunktionen (die nicht Polynome oder gebr.-rational sind) [mm] $f(x)=x^r$ [/mm] mit $r$ reell und nicht ganzzahlig
- Betragsfkt. $f(x)=|x|$
- Logarithmusfkt. zur Basis $b$: [mm] $f(x)=\log_b(x)$
[/mm]
Ich denke, das sind so die wichtigsten für die Schule
Aber ohne Anspruch auf Vollständigkeit ...
> Freue mich morgen hier wieder reinzuschauen, bzw. zu sehen,
> wenn meine Fragen wieder grün sind. So war es jedenfalls
> (fast) immer. Dafür vielen DANK u. Gute Nacht
> Sabine
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 So 21.02.2010 | | Autor: | Giraffe |
Guten Morgen,
der Reihe nach:
Ich: Wenn es nun tatsächl. so ist, wie gesehen (Graph wird nie die x-Achse berühren, …)
schachuzipus: Was? Die y-Achse wird (wenn, dann stets) an der Stelle x=0 geschnitten.
Ich konnte das nicht glauben, dachte FunkyPlot ist kaputt. Aber ich Idiot, ich meinte nur den Graphen, wo die x-Werte immer gr. werden, bzw. wo es augenscheinl. so aussieht, als würde er die x-Achse berühren. Aber deine Antw. hat mich dazu bewogen, anzunehmen, dass [mm] x^0, [/mm] bzw. alles hoch null (egal was) irgendwie eine großartige Besonderheit zu sein scheint. Und es bringt mich zu der Frage "Wie kann [mm] 1^0=1^1?"
[/mm]
Wie kann etw. Verschiedenes gleich sein?
Deine Antw. auf die Frage: "Hat jede Exp.-Fkt. einen Grenzwert, muss das so sein, weil sie eine Potenz ist," werde ich gleich ausgedruckt gesondert bearbeiten.
Die Übersicht über die Arten von Fkt. - boooaahh, soviele u. dann auch noch begrenzt auf Schule.
Eine Frage dazu: Warum sollen die lin.Fkt. denn ein Spezialfall sein? Die danach kommen haben doch auch einen eig. Namen "quadrat. Fkt. u. die danach kubische Fkt." Ich kann an den lin. nichts Besonderes entdecken, da auch die quadrat. Fkt. auch ihre eig. Besonderheiten hat, genauso wie die kubischen. Warum sollen die lin. Fkt. besonders speziell sein?
Und warum heißt es bei ihnen nicht ax+b - statt mx+b, wäre doch nur logisch oder?
Vielen DANK dir schachuzipus
Gruß Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 So 21.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Guten Morgen,
> der Reihe nach:
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> Ich: Wenn es nun tatsächl. so ist, wie gesehen (Graph wird
> nie die x-Achse berühren, …)
> schachuzipus: Was? Die y-Achse wird (wenn, dann stets) an
> der Stelle x=0 geschnitten.
> Ich konnte das nicht glauben, dachte FunkyPlot ist kaputt.
> Aber ich Idiot, ich meinte nur den Graphen, wo die x-Werte
> immer gr. werden, bzw. wo es augenscheinl. so aussieht, als
> würde er die x-Achse berühren. Aber deine Antw. hat mich
> dazu bewogen, anzunehmen, dass [mm]x^0,[/mm] bzw. alles hoch null
> (egal was) irgendwie eine großartige Besonderheit zu sein
> scheint. Und es bringt mich zu der Frage "Wie kann
> [mm]1^0=1^1?"[/mm]
> Wie kann etw. Verschiedenes gleich sein?
Das ist nichts Verschiedenes.
Es gilt z.B auch [mm] 3*3=3^2=9 [/mm] und [mm] (-3)*(-3)=(-3)^2=9.
[/mm]
3 und -3 sind zwar verschieden, aber ihre Quadrate sind gleich. So etwas ist doch nicht ungewöhnlich.
>
> Deine Antw. auf die Frage: "Hat jede Exp.-Fkt. einen
> Grenzwert, muss das so sein, weil sie eine Potenz ist,"
> werde ich gleich ausgedruckt gesondert bearbeiten.
>
> Die Übersicht über die Arten von Fkt. - boooaahh, soviele
> u. dann auch noch begrenzt auf Schule.
> Eine Frage dazu: Warum sollen die lin.Fkt. denn ein
> Spezialfall sein? Die danach kommen haben doch auch einen
> eig. Namen "quadrat. Fkt. u. die danach kubische Fkt." Ich
> kann an den lin. nichts Besonderes entdecken, da auch die
> quadrat. Fkt. auch ihre eig. Besonderheiten hat, genauso
> wie die kubischen. Warum sollen die lin. Fkt. besonders
> speziell sein?
> Und warum heißt es bei ihnen nicht ax+b - statt mx+b,
> wäre doch nur logisch oder?
>
> Vielen DANK dir schachuzipus
> Gruß Sabine
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Hallo Sabine,
> Guten Morgen,
> der Reihe nach:
>
> Ich: Wenn es nun tatsächl. so ist, wie gesehen (Graph wird
> nie die x-Achse berühren, …)
> schachuzipus: Was? Die y-Achse wird (wenn, dann stets) an
> der Stelle x=0 geschnitten.
> Ich konnte das nicht glauben, dachte FunkyPlot ist kaputt.
> Aber ich Idiot, ich meinte nur den Graphen, wo die x-Werte
> immer gr. werden, bzw. wo es augenscheinl. so aussieht, als
> würde er die x-Achse berühren. Aber deine Antw. hat mich
> dazu bewogen, anzunehmen, dass [mm]x^0,[/mm] bzw. alles hoch null
> (egal was) irgendwie eine großartige Besonderheit zu sein
> scheint.
Ja, ist es. Per Definition ist festgelegt: [mm] $a^0:=1$ [/mm] für alle a
> Und es bringt mich zu der Frage "Wie kann
> [mm]1^0=1^1?"[/mm]
Mit der obigen Definition [mm] $a^0=1$ [/mm] ist mit $a=1$ dann halt [mm] $1^0=1$
[/mm]
Und [mm] $a^1=a$ [/mm] gilt auch stets, also [mm] $1^1=1$
[/mm]
> Wie kann etw. Verschiedenes gleich sein?
>
> Deine Antw. auf die Frage: "Hat jede Exp.-Fkt. einen
> Grenzwert, muss das so sein, weil sie eine Potenz ist,"
> werde ich gleich ausgedruckt gesondert bearbeiten.
>
> Die Übersicht über die Arten von Fkt. - boooaahh, soviele
> u. dann auch noch begrenzt auf Schule.
> Eine Frage dazu: Warum sollen die lin.Fkt. denn ein
> Spezialfall sein?
Na. Polynome sehen doch so aus: [mm] $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_2x^2+a_1x+a_0$
[/mm]
Wenn hier [mm] $a_n\neq [/mm] 0$ ist, so nennt man $n$ den Grad von f
Ist $n=1$, so hast du [mm] $f(x)=a_1x+a_0$
[/mm]
Und das ist eine lineare Fkt (Gerade)
Also sind die linearen Fkten ein Spezialfall der Polynome, der allgemeinere Polynombegriff umfasst die linearen Fkten
> Die danach kommen haben doch auch einen
> eig. Namen "quadrat. Fkt. u. die danach kubische Fkt." Ich
> kann an den lin. nichts Besonderes entdecken, da auch die
> quadrat. Fkt. auch ihre eig. Besonderheiten hat, genauso
> wie die kubischen. Warum sollen die lin. Fkt. besonders
> speziell sein?
Gemeint war das im Sinne von "Spezialfall der Polynome" (n=1,2,3: linear, quadrat. kubisch)
> Und warum heißt es bei ihnen
Wie sagen hier alle "du", sonst komme ich mir so ![[old]](/images/smileys/old.gif "[old]") vor
> nicht ax+b - statt mx+b,
ist doch nur Bezeichnungssache, ob man nun m oder a sagt, ist egal ...
Um den Zusammenhang zu den Polynomen zu verdeutlichen, sollte man hier mit dem Obigen sagen: lineare Fkt: [mm] f(x)=a_1\cdot{}x+a_0$
[/mm]
> wäre doch nur logisch oder?
>
> Vielen DANK dir schachuzipus
> Gruß Sabine
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schachuzipus
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