Exponential-Logarithmusfkt. < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mo 20.09.2010 | | Autor: | katja123 |
| Aufgabe | Wachstum und Logarithmusfunktionen
Der Graph der Funktioswerte [mm] f(x)=log_{2}x [/mm] steigt mit wachsenden x-Werten immer weniger.
a) werden die Funktionswerte der Funktion jemals größer als 10 ?
b) Kannst du eine Zahl x finden , sodass der Funktionswert größer als 11 ist ?
c) Begründe, warum die Funktionnswerte größer werden als jede Zahl , die du dir ausdenkst . Mathematiker sagen: Die Logarithmusfunktion ist nicht beschränkt.
d)können die Erkenntnisse , die du in den Aufgaben a),b) und c) für die Funktion [mm] f(x)=log_{2}x [/mm] gewonnen hast, auf alle Logarithmusfunktionen übertragen werden ? Begründe deine Entscheidung. |
Also sind mit Funktionswerten die x- oder y-werte gemeint, naja natürlich werden sie auf der x-Achse größer als 10 und ich denke so nach 200 auf der x- Achse könnte der y- wert auch über 10 sein...
aber verstehe nicht ganz den sinn der Frage .
also wäre meine Antwort ja , aber nur bei sehr großen x werten .
Ist das richtig
b)was soll ich denn da jetzt aus a) vergleichen ich meine ich weiß ja eigentlich gar nichts...
könnt ihr mir hier bitte helfen
c)Ja die sind nicht beschränkt , weil die ja nie aufhört also die verläuft immer weiter und irgendwann ist sie dann sogar vielleicht bei y=100 oder so. Meiner Meinung nach haben die Mathematiker eigentlich gar nicht unrecht.
d)Ich glaube nur bei denen , die steigen, da die ja nur höher gehen können und somit auch alle werte auf der y- achse irgendwann treffen können ...
Könnt ihr mir vielleicht helfen ...
Ist das überhaupt richtig wie ich vorgehe und könnt ihr das überhaupt nachvollziehen ... ?
Bitte helft mit ...
LG
Kati <3
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo katja,
erst mal zu den Begriffen. Der Funktionswert einer Gleichung ist der y-Wert und der steigt bei solch einer Kurve immer weiter an, wenn auch die Änderung des y-Wertes, wenn Du zwei x-Werte Dir heraussuchst, die einen bestimmten Abstand voneinader haben, mit wachsendem x immer kleiner wird. Ich kann Dir sofort eine Zahl nennen, für die der Funktionswert größer als 11 ist. Das ist für jede Zahl der Fall, die größer ist als 2048.
Deine Begründung zu c) drückt schon das Richtige aus. Die Funktion ist nicht beschränkt. Mit wachsendem x wird sie immer größer.
Bei d) solltest Du wissen, wie man eine beliebige Logarithmusfunktion als Funktion eines Logarithmus mit vorgegebener Basis ausdrückt. Dann ist die Antwort recht einfach. Ich hoffe, ihr habt das schon gehabt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mo 20.09.2010 | | Autor: | katja123 |
| Aufgabe | erstmal danke für deine antwort .
aber ich verstehe garnicht was du bei d) meinst naja eigentlich verstehe ich die aufgabe und deine antwort allgemein nicht ...
Naja ich meine woher soll ich das denn für alle logarithmischen funktionen wissen es gibt doch bestimmt auch welche die negativ oder so sind ? |
Könnt ihr mir da bitte helfen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo katja,
ein Logarithmus kann auch ein negatives Ergebnis haben, das ist dann der Fall, wenn der x-Wert zwischen 0 und 1 liegt. Denn für jede Zahl, egal welche es ist, gilt
[mm] x^0 = 1 [/mm]
Was Du allerdings in d) erkennen kannst, und darauf zielte ich in meiner Antwort ab, das ist, dass man jeden Logarithmus zu einer bestimmten Basis als Funktion einer anderen Logarithmusfunktion schreiben kannst. Wenn Du nun weißt, wie sich der 2-er-Logarithmus verhält, so kannst Du einen Logarithmus zu einer beliebigen anderen Basis berechnen als
[mm] \log_b x = \log_d x \cdot \log_b d [/mm]
Angenommen, Du wählst zum Beispiel einen 7er Logarithmus aus und willst ihn mit Hilfe des 2er Logarithmus darstellen, so bekommt Du mit der oberen Gleichung
[mm] \log_7 x = \log_2 x \cdot \log_2 7 [/mm]
Der hintere Term ist eine feste Zahl, deren Größe von den gewählten Basen abhängt. Was heisst das, wenn Du eine Kurve mit einer festen Zahl multiplizierst? Die Kurve nimmt größere oder kleinere Werte an für einen bestimmten x-Wert, aber die Form bleibt erhalten.
Falls ihr den obigen Zusammenhang noch nicht gehabt habt, dann ist das zugegebenermaßen schwer nachzuvollziehen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mo 20.09.2010 | | Autor: | katja123 |
| Aufgabe | | okay aber naja wir haben heute erst mit Logarithmen angefangen, aber die Frage war ja ob es auf alle logarithmischen Funtionen zutrifft ? |
also ich würde jetzt spontan anhand deiner erklärungen und auch das mit den negativen werten sagen, dass es bei allen geht ...
aber ich weiß nicht wie ich die begründung formulieren soll
- weil man mit jeeder logarithmischen funktion irgenwann mit einer sehr hohen potenz oder x wert einen hohen und beliebigen y wert erriecht
ist das richtig ?
und wenn ich z.B. wissen möchte ob es über 11 geht muss ich dann [mm] 2^{11} [/mm] nehmen , oder wie -> Da würde ja 2048 rauskommen heißt das dann automatisch dass es geht und geht dass über all wenn ich jetzt wissten möchte ob [mm] log_{3} [/mm] über 13 geht muss ich dann [mm] 3^{13} [/mm] ?
hab ich das so richtig verstanden ?
Lg Kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Kati,
ja, das ist der richtige Weg. Du musst ja keine mathematische Begründung liefern, eine qualitative langt ja auch.
Das mit der Basis hast Du richtig verstanden, prima.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mo 20.09.2010 | | Autor: | katja123 |
| Aufgabe | | Gibt es eigentlich bei logarithmischen Funktionen auch Asymptoten und wenn ja könnt ihr mir sagen wie man diese berechnet oder kann man die nicht berechnen ? |
z.B. von [mm] log_{2}x [/mm] , kann man da die asymptote berechnen und wie kann ich eigentlich die wertemenge und definitionsmenge davon angeben ? muss ich dafür etwas berechnen?
Lg
Katii
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Katja!
Für [mm]x\rightarrow+\infty[/mm] besitzt die Logarithmus-Funktion (egal welche Basis) keine Asymptote.
Es existiert lediglich eine vertikale Asymptote für [mm]x\rightarrow 0^+[/mm] : die y-Achse.
Für den Definitionsbereich der log-Funktion musst Du dir überlegen, welche x-Werte man einsetzen darf (und welche nicht).
Die Wertemenge ist die Menge aller y-Werte (= Funktionswerte).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Pappus |
...so kannst
> Du einen Logarithmus zu einer beliebigen anderen Basis
> berechnen als
> [mm]\log_b x = \log_d x \cdot \log_b d[/mm]
>
> Angenommen, Du wählst zum Beispiel einen 7er Logarithmus
> aus und willst ihn mit Hilfe des 2er Logarithmus
> darstellen, so bekommt Du mit der oberen Gleichung
> [mm]\log_7 x = \log_2 x \cdot \log_2 7[/mm]
...
Guten Abend!
Ich möchte nicht kleinlich wirken, aber hier müsstest Du bitte Deine beiden Gleichungen noch einmal überprüfen, damit nicht noch zusätzliche Konfusionen bei Katja auftreten.
Salve
Pappus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:12 Di 21.09.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Morgen!
Eine Ergänzung zu meiner gestrigen Mitteilung:
Die Gleichung
$ [mm] \log_b [/mm] x = [mm] \log_d [/mm] x [mm] \cdot \log_b [/mm] d $
ist richtig.
Ich halte sie aber in dem Fragezusammenhang für etwas problematisch, da man zur Berechnung eines Logarithmus zur Basis b einen Logarithmus zur Basis b benutzen muss.
Einfacher, da die unterschiedlichen Basen auf unterschiedlichen Seiten des Gleichheitszeichens vorkommen, wäre hier die Gleichung:
[mm]\log_b(x)=\dfrac{\log_d (x)}{\log_d (b)}[/mm]
Salve!
Pappus
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