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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Exponentialansatz
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Exponentialansatz: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:00 So 25.11.2012
Autor: guitarhero

Aufgabe
Bestimmen Sie drei Lösungen der hyperbolischen Differentialgleichung
[mm] u_{xx} [/mm] - [mm] u_{yy} [/mm] = - u - 2 [mm] u_{x} [/mm]

über den Exponentialansatz
u(x,y) = [mm] e^{\alpha x + \beta y} [/mm] , [mm] \alpha, \beta \in [/mm] R

Bemerkung: Der Exponentialansatz ist ein spezieller Produktansatz wegen [mm] e^{\alpha x + \beta y} [/mm] = [mm] e^{\alpha x} [/mm] * [mm] e^{\beta y} [/mm]

Hallo matheraum,

bei mir hängts bei dieser Aufgabe. Alles, was ich über google zu Exponentialansatz gefunden habe, war die Methode mit dem [mm] e^{\lambda x}, [/mm] aber das ist hier ja anders. Habe es dann so probiert, wie es in einer anderen Aufgabe vorher war mit dem Produktansatz

[mm] u(x,y)=e^{\alpha x + \beta y} [/mm]
[mm] u_{x}=\alpha e^{\alpha x + \beta y} [/mm]
[mm] u_{xx}=(\alpha)^{2} e^{\alpha x + \beta y} [/mm]
[mm] u_{y}=\beta e^{\alpha x + \beta y} [/mm]
[mm] u_{yy}=(\beta)^{2} e^{\alpha x + \beta y} [/mm]

Einsetzen in Dgl:
[mm] u_{xx}=(\alpha)^{2} e^{\alpha x + \beta y} [/mm] - [mm] (\beta)^{2} e^{\alpha x + \beta y} [/mm] = - [mm] e^{\alpha x + \beta y} [/mm] - 2 [mm] \alpha e^{\alpha x + \beta y} [/mm]


Wenn ich da nun die Exponentialfunktion rauskürze, komme ich auf
[mm] (\alpha)^{2} [/mm] - [mm] (\beta)^2 [/mm] = -1 [mm] -2\alpha [/mm]
Was fange ich damit aber nun an?
Muss ich das nun wie beim Produktansatz nach [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] ordnen und dann gleich einer Konstanten setzen? Da [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] ja aber selbst nur Konstanten sind, macht das nicht so viel Sinn, oder?

Ich hoffe, ich finde hier Hilfe :-)

Gruß,
guitarhero

        
Bezug
Exponentialansatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:28 Fr 30.11.2012
Autor: guitarhero

Frage hat sich geklärt, bin noch auf das Ergebnis gekommen!

Bezug
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