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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Di 05.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | [mm] z_{1} [/mm] = 4i, [mm] z_{2}=\wurzel{2} [/mm] + [mm] i\wurzel{6}
[/mm]
Geben sie die exponentielle Darstellung an und brechnen Sie mit Hilfe dieser [mm] z=\bruch{z_{2}^{4}}{z_{1}} [/mm] und geben sie z in der Form x+yi an. (x,y [mm] \in \IR) [/mm] |
Ok zumächst mal die Exp.Darst.
[mm] z=r\cdot e^{i\alpha}
[/mm]
r= [mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{x}{r}
[/mm]
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{y}{r}
[/mm]
Für [mm] z_{1}:
[/mm]
r = [mm] \wurzel{16} [/mm] = 4
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{0}{4} [/mm] = 0
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{4}{4} [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Also [mm] z_{1} [/mm] = 4 [mm] \cdot e^{i\cdot \bruch{\pi}{2}}
[/mm]
Für [mm] z_{2}
[/mm]
r = [mm] \wurzel{2+6} [/mm] = [mm] \wurzel{8}
[/mm]
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{8}} [/mm] = ?
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{6}}{\wurzel{8}} [/mm] = ?
So hier beginnt mein Problem ... bisher habe ich immer den Einheitskreis zu rate gezogen und mein [mm] \alpha [/mm] abgelesen .... was tue ich nun hier, ist noch eine Vereinfachung möglich, so dass aus den Brüchen wieder was Brauchbares rauskommt?
Greetz
Ganzir
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Hallo ganzir,
> [mm]z_{1}[/mm] = 4i, [mm]z_{2}=\wurzel{2}[/mm] + [mm]i\wurzel{6}[/mm]
>
> Geben sie die exponentielle Darstellung an und brechnen Sie
> mit Hilfe dieser [mm]z=\bruch{z_{2}^{4}}{z_{1}}[/mm] und geben sie z
> in der Form x+yi an. (x,y [mm]\in \IR)[/mm]
> Ok zumächst mal die
> Exp.Darst.
>
> [mm]z=r\cdot e^{i\alpha}[/mm]
>
> r= [mm]\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm]
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{x}{r}[/mm]
> sin [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{y}{r}[/mm]
>
> Für [mm]z_{1}:[/mm]
>
> r = [mm]\wurzel{16}[/mm] = 4
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{0}{4}[/mm] = 0
> sin [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{4}{4}[/mm] = 1
>
> [mm]\Rightarrow \alpha[/mm] = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Also [mm]z_{1}[/mm] = 4 [mm]\cdot e^{i\cdot \bruch{\pi}{2}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Für [mm]z_{2}[/mm]
>
> r = [mm]\wurzel{2+6}[/mm] = [mm]\wurzel{8}[/mm]
>
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{8}}[/mm] = ?
> sin [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{6}}{\wurzel{8}}[/mm] = ?
>
> So hier beginnt mein Problem ... bisher habe ich immer den
> Einheitskreis zu rate gezogen und mein [mm]\alpha[/mm] abgelesen
> .... was tue ich nun hier, ist noch eine Vereinfachung
> möglich, so dass aus den Brüchen wieder was Brauchbares
> rauskommt?
Ja, die Brüche kann man noch kürzen.
>
> Greetz
> Ganzir
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Di 05.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Ja, die Brüche kann man noch kürzen. |
Ja, das war ja meine Frage ich bin mir im Moment nur nicht sicher wie, ist das hier möglich?
[mm] \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{8}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{2}{8}} [/mm] ?
Bitte nicht direkt totschlangen wenn das Unsinn sein sollte....
Greetz
Ganzir
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Di 05.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ganzir!
Kannst ruhig bleiben: das ist kein Unsinn. Nun noch unter der Wurzel kürzen und anschließend die Wurzel ziehen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Di 05.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{8}} [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{\bruch{2}{8}} [/mm] $ |
OK, dann also weiter im Text....
[mm] \wurzel{\bruch{2}{8}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{6}{8}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{3}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{3}
[/mm]
Also [mm] z_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{8} \cdot e^{i \cdot \bruch{\pi}{3}}
[/mm]
Nun kann ich in die Ursprungsgleichung z= [mm] \bruch{z_{2}^{4}}{z_{1}} [/mm] einsetzen und ich erhalte:
z = [mm] \bruch{(\wurzel{8} \cdot e^{i \cdot \bruch{\pi}{3}})^{4}}{4 \cdot e^{i \cdot \bruch{\pi}{2}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel{8}^{4} \cdot e^{i \cdot \bruch{4 \pi}{3}}}{4 \cdot e^{i \cdot \bruch{\pi}{2}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{16 \cdot e^{i \cdot \bruch{4 \pi}{3}}}{4 \cdot e^{i \cdot \bruch{\pi}{2}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{4 \cdot e^{i \cdot \bruch{4 \pi}{3}}}{e^{i \cdot \bruch{\pi}{2}}}
[/mm]
Bis hier richtig und wenn ja wie bringe ich es aus der Form in die Form z=x+yi ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Di 05.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | $ [mm] \bruch{{16} \cdot e^{i \cdot \bruch{4 \pi}{3}}}{e^{i \cdot \bruch{\pi}{2}}} [/mm] $
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Jep ... mal wieder ein Flüchtigkeitsfehler danke für den Hinsweis:
Dann also wie folgt:
$ [mm] \bruch{{16} \cdot e^{i \cdot \bruch{4 \pi}{3}}}{e^{i \cdot \bruch{\pi}{2}}} [/mm] $
= [mm] 16\cdot e^{(\bruch{4 \pi}{3} - \bruch{\pi}{2}) \cdot i}
[/mm]
Exponent für sich betrachtet:
[mm] \bruch{4 \pi}{3} [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] = [mm] \bruch{8 \pi}{6} [/mm] - [mm] \bruch{3\pi}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{5\pi}{6}
[/mm]
Also [mm] 16\cdot e^{\bruch{5\pi}{6} \cdot i}
[/mm]
Bedenke, dass $ [mm] r\cdot{}e^{i\varphi}=r\cdot{}\left(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\right) [/mm] $ ist ...
Also
[mm] 16\cdot (cos(\bruch{5\pi}{6})+i\cdot sin(\bruch{5\pi}{6}))
[/mm]
= [mm] 16\cdot(-0,866 [/mm] + [mm] i\codt [/mm] 0,5) = -13,856 + 8i
Stimmt das so?
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Hallo nochmal,
> [mm]\bruch{{16} \cdot e^{i \cdot \bruch{4 \pi}{3}}}{e^{i \cdot \bruch{\pi}{2}}}[/mm]
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> Jep ... mal wieder ein Flüchtigkeitsfehler danke für den
> Hinsweis:
>
> Dann also wie folgt:
>
> [mm]\bruch{{16} \cdot e^{i \cdot \bruch{4 \pi}{3}}}{e^{i \cdot \bruch{\pi}{2}}}[/mm]
>
> = [mm]16\cdot e^{(\bruch{4 \pi}{3} - \bruch{\pi}{2}) \cdot i}[/mm]
>
> Exponent für sich betrachtet:
>
>
> [mm]\bruch{4 \pi}{3}[/mm] - [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] = [mm]\bruch{8 \pi}{6}[/mm] -
> [mm]\bruch{3\pi}{6}[/mm]
> [mm]=\bruch{5\pi}{6}[/mm]
>
> Also [mm]16\cdot e^{\bruch{5\pi}{6} \cdot i}[/mm]
>
> Bedenke, dass
> [mm]r\cdot{}e^{i\varphi}=r\cdot{}\left(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)\right)[/mm]
> ist ...
>
> Also
>
> [mm]16\cdot (cos(\bruch{5\pi}{6})+i\cdot sin(\bruch{5\pi}{6}))[/mm]
>
> = [mm]16\cdot(-0,866[/mm] + [mm]i\codt[/mm] 0,5) = -13,856 + 8i
>
> Stimmt das so?
Ja, das ist aber furchtbar aufgeschrieben, da brennen ja die Augen, das hat doch so eine schöne "richtige" Darstellung:
[mm] $z=-8\sqrt{3}+8i$
[/mm]
Wieso diese krummen ungenauen Zahlen? 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Mi 06.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] z=-8\sqrt{3}+8i [/mm] $ |
Woher weiß ich, dass [mm] cos(\bruch{5\pi}{6}) [/mm] = [mm] -8\sqrt{3} [/mm] ist.
Sorry aber ich sehe sowas nicht ... wenn du mir noch verräts wie diese Umwandlung von statten geht bin ich wieder ein Stück weiter ... oder ist das Erfahrung um man "sieht" das irgendwann?
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Hallo nochmal,
> [mm]z=-8\sqrt{3}+8i[/mm]
> Woher weiß ich, dass [mm]cos(\bruch{5\pi}{6})[/mm] = [mm]-8\sqrt{3}[/mm] ist.
Ist es nicht, es ist [mm] $\cos\left(\bruch{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
[/mm]
>
> Sorry aber ich sehe sowas nicht ... wenn du mir noch
> verräts wie diese Umwandlung von statten geht bin ich
> wieder ein Stück weiter ... oder ist das Erfahrung um man
> "sieht" das irgendwann?
Ich hatte das zuerst mit einem CAS berechnen lassen - faul wie ich bin.
Aber du kannst es dir so überlegen:
Es gibt ja einige bekannte Werte von [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$
[/mm]
So etwa [mm] $\cos(30°)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
[/mm]
Es gilt [mm] $2\pi\hat [/mm] =360°$
Und damit [mm] $\frac{5}{6}\pi\hat [/mm] =150°$
Nun gibt's die Regel [mm] $-\cos(\alpha)=\cos(180°-\alpha)$
[/mm]
Also [mm] $\cos(180°-30°)=\cos(150°)=-\cos(30°)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
[/mm]
Im Allgemeinen sind die exakten Werte von [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] natürlich schwierig bis gar nicht exakt auszurechnen, aber wenn man ein paar Werte kennt und Zusammenhänge herstellen kann, so kann man einige - wie auch diesen - berechnen
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
ein kurzer Rückgriff auf google liefert ![[]](/images/popup.gif) diese schöne Seite mit allerlei Reduktionsformeln, ein paar Herleitungen und einer Tabelle mit speziellen Werten.
Schau mal rein, wenn du Lust hast ...
Gruß
schachuzipus
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