Exponentialfkt, Konv.radius < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Do 16.02.2006 | | Autor: | DeusRa |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Begründen Sie, dass für alle positiven reellen Zahlen y gilt $exp(-y) \le 1$ |
So,
also meine Idee soweit, dass ich den Konvergenzradius berechnen muss um y \in \IR_+.
y \in \IR_+.
$exp(-y)= \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{-y^{n}}{n!}$=
$\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}*y^{n}}{n!}$=
$\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}*\bruch{y^{n}}{n!}$
Also muss ich doch jetzt zeigen, dass \bruch{y^{n}}{n!} monoton fallend ist, weil ja somit mit Leibnitz die Reihe konvergenz ist,
und dann sollte der Limes der Reihe den Konvergenzradius \le 1 ergeben.
Aber hier fehlt mir irgendwie ne Idee um das Ding vollständig zu lösen.
(i) (Monoton fallend) : a_n := \bruch{y^{n}}{n!}
zz: a_n+1 \le a_n \Rightarrow
\bruch{y^{n+1}}{(n+1)!} \le \bruch{y^{n}}{n!} \gdw
0\le \bruch{y^{n}*(n+1)}{y^{n}*y} \gwd
0\le \bruch{n+1}{y}, da n+1>0 und y \in \IR_+ folgt
a_n+1 \le a_n und somit monoton fallend für alle n.
Somit ist
$exp(-y)= \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{-y^{n}}{n!}$< \infty
(ii) (Konvergenzradius \le 1) :
$1/R = \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}$
=$\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{y^{n}}{n!}|}$=
$\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{y}{ \wurzel[n]{n!}}|}$
So ab jetzt brauch ich Hilfe.
Wie zeigt man dass das \le 1.
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Hallo und guten Tag,
also ok, da scheint ein bißchen was kommentierungsbeduerftig an Deinem Ansatz:
Ich weiss nicht, was Du unter dem Begriff Konvergenzradius verstehst, aber das ist hier
wohl nicht passend, zumindest, wenn man die uebliche Begrifflichkeit anwendet.
Du sollst also aus der Reihendefinition
[mm] exp(y)\: =\: \sum_{n\geq 0\} \frac{y^n}{n!}
[/mm]
herleiten, daß für alle y [mm] \geq [/mm] 0 [mm] exp(-y)\leq [/mm] 1 gilt.
Fuer solche y gilt ja
exp(-y)= 1 [mm] \: -\: \frac{y}{1}\: +\: \frac{y^2}{2}\:\: -\frac{y^3}{6}\: +\ldots
[/mm]
Zweifelsohne sieht man doch aus der Reihendefinition sofort
exp(0)=1.
Nun reicht es doch zu zeigen, dass die Funktion monoton steigend ist, oder ?
Den Beweis findest Du zB hier: http://de.wikipedia.org/wiki/E-Funktion.
Viele Gruesse,
Mathias
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