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Forum "komplexe Zahlen" - Exponentialform umrechnen
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Exponentialform umrechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 Sa 15.09.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
Berechnen Sie die komplexen Zahlen

[mm] e^{i*n*\pi +2*k*\pi} [/mm]

und

[mm] e^{-i*n*\pi +2*k*\pi} [/mm]


Anmerkung: Das ist die vollständige Aufgabenstellung... Ich denke, es geht darum, die komplexe Zahl in die Gaussche Form z = a +b*i  zu bringen.


Moin Moin,

aber wie bringe ich diese Zahlen in die Form z = a +b*i  ?


Zunächst weiß ich, dass die Länge von z = 1 ist, da vor dem [mm] e^{...} [/mm]  kein r steht (bzw. r=1).  Richtig?


Meine Idee


Aufspalten
[mm] e^{i*n*\pi +2*k*\pi} [/mm]  = [mm] e^{i*n*\pi}*e^{2*k*\pi} [/mm]

Erste Frage:
Da sich die Funktion alle [mm] 2\pi [/mm] wiederholt, kann ich dann hier nicht einfach [mm] +2*k*\pi [/mm] vernachlässigen ?

Also  
[mm] e^{i*n*\pi +2*k*\pi} [/mm]  = [mm] e^{i*n*\pi} [/mm]


Dann würde ich den ersten Faktor mithilfe der trigonometrischen Form schreiben...

[mm] e^{i*n*\pi} [/mm] = [mm] e^{i*\pi}^n [/mm]

Ich betrachte im folgenden nur [mm] e^{i*\pi} [/mm]

[mm] e^{i*\pi} [/mm] = [mm] e^{i*\alpha} [/mm]  

z = r*(cos [mm] \alpha [/mm] + i*sin [mm] \alpha) [/mm]

mithin ist   z = 1*(cos [mm] \pi [/mm] + i*sin [mm] \pi) [/mm]

z = -1 +i*0
z = -1


bzw. bei der zweiten Zahl

[mm] e^{-i*n*\pi} [/mm] = [mm] e^{i*(-\pi)}^n [/mm]

Ich betrachte im folgenden nur [mm] e^{i*(-\pi)} [/mm]

[mm] e^{i*(-\pi)} [/mm] = [mm] e^{i*\alpha} [/mm]  

z = r*(cos [mm] \alpha [/mm] + i*sin [mm] \alpha) [/mm]

mithin ist   z = 1*(cos [mm] -\pi [/mm] + i*sin [mm] -\pi) [/mm]

z = -1 +i*0
z = -1

Also entsteht hier zweimal dieselbe Zahl???




Danke für eure Hilfe!  











        
Bezug
Exponentialform umrechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Sa 15.09.2018
Autor: HJKweseleit

Wenn du davon ausgehst, dass n [mm] \in \IZ [/mm] ist, solltest du auch davon ausgehen, dass k [mm] \in \IZ [/mm] ist (meistens ist das so gemeint).

Dann kommt [mm] (-1)^k [/mm] heraus.

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Exponentialform umrechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Sa 15.09.2018
Autor: hase-hh

Moin,

> Wenn du davon ausgehst, dass n [mm]\in \IZ[/mm] ist, solltest du
> auch davon ausgehen, dass k [mm]\in \IZ[/mm] ist (meistens ist das
> so gemeint).
>  
> Dann kommt [mm](-1)^k[/mm] heraus.

also einmal würde ich davon ausgehen, dass n [mm] \in \IN [/mm] und k [mm] \in \IZ [/mm]  gilt.

Wie kommst du dann auf deine Lösung?

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Exponentialform umrechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:25 Sa 15.09.2018
Autor: Fulla

Hallo hase-hh,

ich denke, HJKweseleit hat da einen kleinen Fehler gemacht...

Du schreibst oben richtigerweise
    [mm]e^{in\pi+2k\pi}=e^{in\pi}\cdot e^{2k\pi}[/mm].

Nun ist aber [mm]e^{2k\pi}\in\mathbb R[/mm] und damit ist der Betrag der Zahl nur im Fall [mm]k=0[/mm] gleich 1.

Weiter ist [mm]e^{in\pi}=(-1)^n[/mm] für [mm]n\in\mathbb Z[/mm], was man sich am Einheitskreis leicht klarmachen kann.

Insgesamt ist dann
    [mm]e^{in\pi+2k\pi}=(-1)^n\cdot e^{2k\pi}[/mm].

Lieben Gruß,
Fulla

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Exponentialform umrechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:51 Sa 15.09.2018
Autor: HJKweseleit

Ja, ich habe k und n verwechselt:

[mm] e^{2k\pi}=1 [/mm] und [mm] e^{n\pi}=(e^{\pi})^n=(-1)^n, [/mm] somit

[mm] (-1)^n [/mm]

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Exponentialform umrechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:27 Sa 15.09.2018
Autor: Chris84

Huhu

> Ja, ich habe k und n verwechselt:
>  
> [mm]e^{2k\pi}=1[/mm] und [mm]e^{n\pi}=(e^{\pi})^n=(-1)^n,[/mm] somit


Du machst wieder den Fehler, dass [mm] $e^{2k\pi}=1$. [/mm] Da steht doch gar kein $i$ ;)

>  
> [mm](-1)^n[/mm]  

Gruss,
Chris

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Exponentialform umrechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:53 So 16.09.2018
Autor: HJKweseleit

Wer das erste Knopfloch verfehlt, kommt mit dem Zuknöpfen nicht zu Rande. (Goethe)

Ja, ich bin z.Zt. wohl ziemlich blind. Also alles murks, was ich geschrieben habe. Sorry!

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