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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Exponentialfundtion und Matrix
Exponentialfundtion und Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Exponentialfundtion und Matrix: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 So 30.01.2005
Autor: schnecke

Hallo,

ich sitze gerade an einer Aufgabe, und ich komme auf keinen grünen Zweig.
Ich soll zeigen, dass exp [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ e & e \\ 0 & e }. [/mm] Ich habe leider keine Ahnung wie ich hier anfangen soll.
Würde mich sehr über eine kleine Starthilfe freuen.

Gruß,
Schnecke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Exponentialfundtion und Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 So 30.01.2005
Autor: Paulus

Liebe Schnecke

hier würde ich ganz einfach über die Definition der Exponentioalfunktion gehen:

[mm] $\exp(A)=\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{A^k}{k!}}$ [/mm]

Eine Teilaufgabe wird es sein, zu bestimmen, was denn [mm] $A^n$ [/mm] ist.

Nach einigen Beispielen wirst du wohl vermuten:

[mm] $\pmat{1&1\\0&1}^n=\pmat{1&n\\0&1}$ [/mm]

Das müsstest du natürlich noch beweisen.

Nachher hast du nur noch zu zeigen:

I) [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{1}{k!}}=e$ [/mm]

Für die Matrixelemente der Hauptdiagonalen.

II) [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{k}{k!}}=e$ [/mm]

Für den Matrixeintrag rechts oben.

Ich hoffe, damit kommst du weiter.

Mit lieben Grüssen

Paul

Bezug
                
Bezug
Exponentialfundtion und Matrix: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 So 30.01.2005
Autor: schnecke

Hallo Paulus,

vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Ich hab das jetzt so weit verstanden und auch gemacht, nur mit dem Beweis dass  [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }^{n} [/mm] =  [mm] \pmat{ 1 & n \\ 0 & 1 } [/mm] hab ich Probleme.
Wenn ich  [mm] A^{2}, A^{3}, A^{4},... [/mm] ausrechne, sehe ich was eigentlich rauskommen muss.
Ich weiß, dass sich die Einträge auf der Diagonalen nicht verändern, da
D = [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & b }^{n} [/mm] = [mm] \pmat{ a^{n} & 0 \\ 0 & b^{n} } [/mm] für jede Diagonalmatirx ist. Aber wie zeige ich dass sich der Matrixeintrag rechts oben ändert?

Mit lieben Grüßen,

Schnecke

Bezug
                        
Bezug
Exponentialfundtion und Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 So 30.01.2005
Autor: andreas

hi


> Ich hab das jetzt so weit verstanden und auch gemacht, nur
> mit dem Beweis dass  [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }^{n}[/mm] =  [mm]\pmat{ 1 & n \\ 0 & 1 }[/mm]
> hab ich Probleme.
>  Wenn ich  [mm]A^{2}, A^{3}, A^{4},...[/mm] ausrechne, sehe ich was
> eigentlich rauskommen muss.
>  Ich weiß, dass sich die Einträge auf der Diagonalen nicht
> verändern, da
> D = [mm]\pmat{ a & 0 \\ 0 & b }^{n}[/mm] = [mm]\pmat{ a^{n} & 0 \\ 0 & b^{n} }[/mm]
> für jede Diagonalmatirx ist.

so kannst du hier leider nicht argumentieren, da es sich nicht um eine diagonalmatrix handelt!


>  Aber wie zeige ich dass sich
> der Matrixeintrag rechts oben ändert?

was sich hier aufdrängt ist ein beweis mittels vollständiger induktion! ist nicht wirklich schwer, probiere mal dein glück.


grüße
andreas

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