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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Exponentialfunktion
Exponentialfunktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Exponentialfunktion: Funktionsanalyse
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Fr 01.09.2006
Autor: jane882

Aufgabe
....

Hey kann hier mal kurz jemand drüber gucken  

f(x)= x²* [mm] e^x [/mm]

D= R
Sym: keine
Grenzwerte: lim f(x), x-> unendlich= unendlich, lim f(x), x-> -unendlich= 0

Ns: x²= 0, x= 0
Extrema:
f´(x)= [mm] 2x*e^x+e^x*x² [/mm]
[mm] e^x(2x*x²) [/mm]


Ps:
Wenn ich einen Wendepunkt berechnen will, von der Funktion: f(x)= [mm] (x+1)*e^x, [/mm] dann
f´´(x)= [mm] e^x( [/mm] 3+x), Null setzen: x= -3
dann muss ich die -3 ja in die 3 Ableitung einsetzen...Aber wie mach ich die 3 Ableitung  

Pss:
Gibt es bei den Exponentialfunktionen nie eine Symmetrie? Und wenn nicht, wann gibt es eine:(...



        
Bezug
Exponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Fr 01.09.2006
Autor: Zwerglein

Hi, jane,

>  Hey kann hier mal kurz jemand drüber gucken  

Klaro!

> f(x)= x²* [mm]e^x[/mm]
>
> D= R
> Sym: keine
> Grenzwerte: lim f(x), x-> unendlich= unendlich,

lim f(x), x-> -unendlich= 0

Musst Du das beweisen (L'Hospital) oder schreibt Ihr das "einfach so hin"?

Stimmt jedenfalls bis dahin!

> Ns: x²= 0, x= 0

Berührstelle mit der x-Achse ("doppelte" NS)

> Extrema:
> f´(x)= [mm]2x*e^x+e^x*x²[/mm]
> [mm]e^x(2x*x²)[/mm]

Aber natürlich f'(x) = [mm] e^{x}*(2x \red{+} x^{2}) [/mm]

> Ps:
> Wenn ich einen Wendepunkt berechnen will, von der Funktion:
> f(x)= [mm](x+1)*e^x,[/mm] dann
> f´´(x)= [mm]e^x([/mm] 3+x), Null setzen: x= -3
> dann muss ich die -3 ja in die 3 Ableitung einsetzen...Aber
> wie mach ich die 3 Ableitung

Mit Produktregel, genau so wie die ersten beiden Ableitungen!
In Deinem Beispiel:

f(x) = [mm] (x+1)*e^{x}; [/mm]
f'(x) = [mm] 1*e^{x} [/mm] + [mm] (x+1)*e^{x} [/mm] = [mm] (x+2)*e^{x} [/mm]
f''(x) = [mm] (x+3)*e^{x} [/mm]
f'''(x) = [mm] (x+4)*e^{x} [/mm]

> Pss:
>  Gibt es bei den Exponentialfunktionen nie eine Symmetrie?

Naja: Das kommt drauf an!
z.B. ist der Graph von f(x) = [mm] e^{x^{2}} [/mm] ist natürlich symmetrisch zur y-Achse,
der zu f(x) = [mm] \bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} [/mm] ist punktsymmetrisch zum O-Punkt.

Aber bei Funktionen des Typs
f(x) = [mm] (ax+b)*e^{k*x} [/mm]
oder auch
f(x) = [mm] (ax^{2} [/mm] + bx + [mm] c)*e^{k*x} [/mm]
usw.

lässt sich Symmetrie ausschließen.

mfG!
Zwerglein

Bezug
                
Bezug
Exponentialfunktion: Fragen
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:39 Sa 02.09.2006
Autor: jane882

Aufgabe
...

Hi:)
Vielen Dank für deine Hilfe...
Okay also muss ich ja in die vierte Ableitung(für Wendepunkt!), also [mm] f(x)=(x+4)*e^x....-3 [/mm] einsetzen (hab vorher die 2 ableitung null gesetzt): also:
f´´´(-3)= (-3+4)*e(-3)= 0,049

um jetzt die Koordinaten des Wendepunktes zu erhalten, muss ich die -3 ja in die Ursprungsfunktion einsetzen, also: -2* e^(-3)= -0,09....
aber im Buch haben die da (-3/ -0,1) raus :(
Was hab ich falsch gemacht?

.....Ich hab nur das mit der Symmetrie noch icht ganz verstanden:(....Versteh ich einfach nicht:( Bin in der 12...und kein Mathe Lk:)
Dankeeee !

Bezug
                        
Bezug
Exponentialfunktion: Symmetrie unbeantwortet
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:54 Sa 02.09.2006
Autor: Disap


> ...
>  Hi:)

Hallo.

>  Vielen Dank für deine Hilfe...
>  Okay also muss ich ja in die vierte Ableitung(für
> Wendepunkt!), also [mm]f(x)=(x+4)*e^x....-3[/mm] einsetzen (hab

wohl eher zweite und dritte.

> vorher die 2 ableitung null gesetzt): also:
>  f´´´(-3)= (-3+4)*e(-3)= 0,049
>  
> um jetzt die Koordinaten des Wendepunktes zu erhalten, muss
> ich die -3 ja in die Ursprungsfunktion einsetzen, also: -2*
> e^(-3)= -0,09....

Da hast du dich einfach nur verrechnet.

[mm] $(-3+1)*e^{-3}$ [/mm] ergibt ungefähr $-0.0996$ das gerundet ergibt -0.1

>  aber im Buch haben die da (-3/ -0,1) raus :(
>  Was hab ich falsch gemacht?

Im TR vielleicht die Nachkommastellen nicht beachtet?

> .....Ich hab nur das mit der Symmetrie noch icht ganz
> verstanden:(....Versteh ich einfach nicht:( Bin in der
> 12...und kein Mathe Lk:)

Was willst du da denn wissen? Auf die Frage, ob eine Exponentialfunktion Symmetrie haben kann - ja.

> Dankeeee !

MfG
Disap

Bezug
                
Bezug
Exponentialfunktion: pq?
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:54 Sa 02.09.2006
Autor: jane882

Aufgabe
...

aber wenn ich jett von f(x)= x²* [mm] e^x [/mm] die erste Ableitung mache_
f´(x)= [mm] e^x(2x+x²) [/mm] muss ich die Klammer ja Null setzen:

2x+x²= 0
....aber ich hab ja jetzt 2 x's ...ich hab das bisher nur mit einem gemacht...aber hey *idee krieg* pq Formel vielleicht? :)

Bezug
                        
Bezug
Exponentialfunktion: ja, u.a. PQ
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 Sa 02.09.2006
Autor: Disap


> ...
>  aber wenn ich jett von f(x)= x²* [mm]e^x[/mm] die erste Ableitung
> mache_
>  f´(x)= [mm]e^x(2x+x²)[/mm] muss ich die Klammer ja Null setzen:

Richtig. Unter der Voraussetzung, dass die Ableitung auch die von Zwerglein ist (und der die richtig angegeben hat)

> 2x+x²= 0
>  ....aber ich hab ja jetzt 2 x's ...ich hab das bisher nur

Eigentlich ja 2x und ein [mm] x^2 [/mm] ;)

> mit einem gemacht...aber hey *idee krieg* pq Formel
> vielleicht? :)

Ja, PQ-Formel sind bei solchen quadratischen Sachen immer gut. Oder die quadratische Ergänzung wäre auch ein Mittelchen.

Glaubst du, du schaffst es, das auszurechnen? Ansonsten frag ruhig noch mal.

Bezug
                                
Bezug
Exponentialfunktion: lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:29 Sa 02.09.2006
Autor: jane882

Aufgabe
...

Hi:)
Okay...ich versuchs mal...
Also: 2x+x²= 0...aber die pq Formel hat ja die Form: ax²+bx+c....Deshalb muss ich das doch jetzt umstellen, oder?
-> x²+2x
-2/2 +/- WURZEL AUS [mm] (2/2)^2= [/mm] -2/2 +/- 1
x1= 0, x2 = -2

so?:)

Frageee...kann ich so einen Summanden? Also diese 2x+x² immer mal umstellen, damits in die Form passt...was wäre z.b. bei 4x+x²-8
könnte ich dann: x²+4x-8 schreiben?
danke:)

Bezug
                                        
Bezug
Exponentialfunktion: alles richtig gerechnet
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Sa 02.09.2006
Autor: Disap

Moin.

>  Okay...ich versuchs mal...
>  Also: 2x+x²= 0...aber die pq Formel hat ja die Form:
> ax²+bx+c....Deshalb muss ich das doch jetzt umstellen,
> oder?

Jein. Die PQ-Formel muss man immer auf die Form [mm] $\red{1}x^2+bx+c$ [/mm] bringen. Wenn da ein Faktor vor dem [mm] x^2 [/mm] ist, musst du entweder durch diesen Faktor teilen oder die sogenannte Mitternachtsformel verwenden.

>  -> x²+2x

[mm] $x^2+2x=0$ [/mm] wäre passender.

>  $-2/2 [mm] \pm \wurzel{(2/2)^2}= [/mm] -2/2 +/- 1$

> x1= 0, x2 = -2

[ok]

> so?:)

ganz genau so. [applaus] [daumenhoch]

>  
> Frageee...kann ich so einen Summanden? Also diese 2x+x²
> immer mal umstellen, damits in die Form passt...was wäre
> z.b. bei 4x+x²-8
>  könnte ich dann: x²+4x-8 schreiben?

Na klar, die Reihenfolge ist beliebig. Es ergibt ja auch dasselbe, wenn du 3+5 rechnest oder aber 5+3. Ergibt auch 8. Das x (und [mm] x^2) [/mm] ist ja quasi so etwas wie eine Variable, bei der du einfach eine Zahl einsetzt.

Daher kannst du die Summanden beliebig tauschen.

4x+x²-8 = x²+4x-8

Beides in Ordnung.


Schöne Grüße
Disap

Bezug
        
Bezug
Exponentialfunktion: 2 ableitung :(
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Sa 02.09.2006
Autor: jane882

Aufgabe
...

Okay...:)
Aber jetzt hab ich wieder voll die Schwierigkeiten mit der zweiten Ableitung:(

Also erste war ja  2x* [mm] e^x+ e^x* [/mm] x²= [mm] e^x(2x+x²) [/mm]

Für die zweite Aleitung muss ich dann diesen Ausdruck: 2x* [mm] e^x+ e^x* [/mm] x² mit der Produktregel berechnen, also:

[mm] 2*e^x*e^x*x²+ e^x*2x*2x*e^x= e^x( [/mm] 4x+x²+2)...aber das ist falsch oder:(

Und nochmal zu der Symmetrie...okay bei unserer Funktion f(x)= x²* [mm] e^x [/mm] gibt es keine Symmetrie..aber wir müssen dann immer noch in einem satz schreiben, warum nicht...weil es einen geraden und einen ungerade exponenten gibt?

merci:)

Bezug
                
Bezug
Exponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 Sa 02.09.2006
Autor: Disap


> ...
>  Okay...:)
>  Aber jetzt hab ich wieder voll die Schwierigkeiten mit der
> zweiten Ableitung:(
>  
> Also erste war ja  2x* [mm]e^x+ e^x*[/mm] x²= [mm]e^x(2x+x²)[/mm]

Aaargh, damit machst du das Ganze nur kompliziert.

> Für die zweite Aleitung muss ich dann diesen Ausdruck: 2x*
> [mm]e^x+ e^x*[/mm] x² mit der Produktregel berechnen, also:
>  
> [mm]2*e^x*e^x*x²+ e^x*2x*2x*e^x= e^x([/mm] 4x+x²+2)...aber das ist
> falsch oder:(

Nö, ist richtig.

> Und nochmal zu der Symmetrie...okay bei unserer Funktion
> f(x)= x²* [mm]e^x[/mm] gibt es keine Symmetrie..aber wir müssen dann

Richtig, hierbei gibt es keine Symmetrie.

> immer noch in einem satz schreiben, warum nicht...weil es
> einen geraden und einen ungerade exponenten gibt?

Weil die Bedingungen f(x) = f(-x) für die Achsensymmetrie und -f(x) = f(-x) für die Punktsymmetrie zum Ursprung nicht erfüllt sind. Ferner zeigt sich das auch daran, dass die Extremstellen bei [mm] x_E=-2 [/mm] und [mm] x_E=0 [/mm] liegen. Was soll das nun sein? Weder Punktsymmetrie zum Ursprung noch Achsensymmetrie.

Anschaulich dürfte der Graph auch nicht symmetrisch aussehen.

Oder aber du beziehst dich auf das Unendlichkeitsverhalten. Für gewisse X läuft der Graph ja gegen Null und für andere X läuft der Graph ins Plus Unendliche. Das Unendlichkeitsverhalten (Limes) zeigt also einen Widerspruch zu einer Symmetrie.

Schöne Grüße
Disap

Bezug
                        
Bezug
Exponentialfunktion: danke
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:02 Sa 02.09.2006
Autor: jane882

Aufgabe
...

danke:)
und wie krieg ich das mit der symmetrie jetzt in einen satz gepackt:(

ey jetzt echttttttttttttt? die zweite ableitung ist richtiggg??? crass:)
ist dann die dritte:

f(x)= [mm] e^x( [/mm] 8x+8+x²) ?:)

Bezug
                                
Bezug
Exponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:12 Sa 02.09.2006
Autor: jerry

hallo zusammen.

bei der dritten ableitung hat sich ein kleiner fehler eingeschlichen.

es müßte
[mm] e^x(6 [/mm] +6 [mm] x+x^2) [/mm]
rauskommen.

zur symmetrie:
wie disap schon meinte, erfüllt die funktion weder f(x)=f(-x) noch -f(x) = f(-x) und somit ist die funktion weder achsen noch punktsymmetrisch. das is als begründung vollkommen ausreichend würd ich sagen.

gruß benjamin

Bezug
                
Bezug
Exponentialfunktion: Zwischenergebnis falsch!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:36 Sa 02.09.2006
Autor: Zwerglein

Hi, jane,

> ...
>  Okay...:)
>  Aber jetzt hab ich wieder voll die Schwierigkeiten mit der
> zweiten Ableitung:(
>  
> Also erste war ja  2x* [mm]e^x+ e^x*[/mm] x²= [mm]e^x(2x+x²)[/mm]
>  
> Für die zweite Aleitung muss ich dann diesen Ausdruck: 2x*
> [mm]e^x+ e^x*[/mm] x² mit der Produktregel berechnen, also:
>  
> [mm]2*e^x*e^x*x²+ e^x*2x*2x*e^x= e^x([/mm] 4x+x²+2)...aber das ist
> falsch oder:(

Das Endergebnis stimmt, aber beim Zwischenergebnis hast Du Dich vertan/vertippt?

f''(x) = [mm] 2*e^{x} [/mm] + [mm] 2x*e^{x} [/mm] + [mm] 2x*e^{x} [/mm] + [mm] x^{2}*e^{x} [/mm] =
[mm] (x^{2} [/mm] + 4x + [mm] 2)*e^{x}. [/mm]

Dein falsches Zwischenergebnis ergäbe letztlich:
[mm] 2*e^x*e^x*x²+ e^x*2x*2x*e^x [/mm] = [mm] 6x^{2}*e^{2x} [/mm] !!??

mfG!
Zwerglein

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