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(Frage) beantwortet | Datum: | 11:55 Di 08.01.2008 | Autor: | Idefix08 |
Aufgabe | [mm] e^{x}+2*e^{-x} [/mm] = 3 |
Hallo,
kann mir jemand sagen wie ich bei solchen Aufgaben vorzugehen habe?
Danke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | Datum: | 12:04 Di 08.01.2008 | Autor: | Marcel |
Hallo,
zunächst machen wir die Beobachtung, dass [mm] $e^x [/mm] > 0$ für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt.
Durch Substitution [mm] $y=e^x$ [/mm] folgt dann wegen [mm] $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$, [/mm] dass gilt:
[mm] $e^x+2*e^{-x}=3$
[/mm]
[mm] $\gdw y+\frac{2}{y}=3$
[/mm]
Hierbei ist [mm] $y=e^x [/mm] > 0$, also insbesondere $y [mm] \not=0$. [/mm] Multipliziere die letzte Gleichung mit $y$, und Du erhälst eine zu der Ausgangsgleichung äquivalente quadratische Gleichung in der Variablen $y$, die Du nach der pq-Formel lösen kannst.
Schlussendlich [mm] $y=e^x \gdw [/mm] x=ln(y)$ (für $y > 0$) liefert dann die gesuchten $x$-Werte (derer gibt es genau 2).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | Datum: | 12:29 Di 08.01.2008 | Autor: | Idefix08 |
Vielen Dank, dass habe ich jetzt verstanden!
Bloß was mache ich z.B. bei [mm] e^{x^{2}-x}=4
[/mm]
Bin folgendermaßen vorgegangen:
[mm] e^{x^{2}-x} [/mm] = 4 [mm] \Rightarrow {x^{2}-x} [/mm] = LN4
[mm] x^{2} [/mm] - x - LN4 = 0
Dann über p-q Formel bekomme ich 2 Werte: 1,779 -0,779
Wenn ich wieder zurückrechne erhalte ich nicht das richtige x.
Wo liegt mein Fehler?
Gruß
Idefix
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Hallo,
> Vielen Dank, dass habe ich jetzt verstanden!
> Bloß was mache ich z.B. bei [mm]e^{x^{2}-x}=4[/mm]
> Bin folgendermaßen vorgegangen:
>
>
> [mm]e^{x^{2}-x}[/mm] = 4 [mm]\Rightarrow {x^{2}-x}[/mm] = LN4
>
> [mm]x^{2}[/mm] - x - LN4 = 0
>
> Dann über p-q Formel bekomme ich 2 Werte: 1,779 -0,779
> Wenn ich wieder zurückrechne erhalte ich nicht das
> richtige x.
> Wo liegt mein Fehler?
Deine Lösungen sind richtig! Du musst dich beim Einsetzen verrechnet haben.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | Datum: | 13:00 Di 08.01.2008 | Autor: | Idefix08 |
Für LN 1,779 erhalte ich 0,576
Das eingesetzt in [mm] e^{x^{2}-x} [/mm] ergibt 0,783 und nicht 4?
Hab ich so ein großes Brett vor dem Kopf?????
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(Antwort) fertig | Datum: | 13:06 Di 08.01.2008 | Autor: | Marcel |
> Für LN 1,779 erhalte ich 0,576
>
> Das eingesetzt in [mm]e^{x^{2}-x}[/mm] ergibt 0,783 und nicht 4?
>
> Hab ich so ein großes Brett vor dem Kopf?????
Hallo,
hier hattest Du doch gar nicht sowas wie [mm] $y=e^x$ [/mm] substituieren müssen. Also $x=1,779$ ist eine Deiner zwei Lösungen, Du brauchst hier nicht mehr den Logarithmus auf $x$ anwenden, das war in der Aufgabe davor nur notwendig, weil wir [mm] $y=e^x$ [/mm] substituiert hatten und danach eine quadratische Gleichung in $y$ lösen mussten, aber am Ende dann die zugehörigen $x$-Werte gebraucht haben.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 13:10 Di 08.01.2008 | Autor: | Idefix08 |
Vielen Dank!
Man sollte manchmal auch mal genauer hingucken..
Gruß Idefix
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(Antwort) fertig | Datum: | 13:03 Di 08.01.2008 | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ... was mache ich z.B. bei [mm]e^{x^{2}-x}=4[/mm]
> Bin folgendermaßen vorgegangen:
>
> [mm]e^{x^{2}-x}[/mm] = 4 [mm]\Rightarrow {x^{2}-x}[/mm] = LN4
>
> [mm]x^{2}[/mm] - x - LN4 = 0
>
> Dann über p-q Formel bekomme ich 2 Werte: 1,779 -0,779
Du erhälst also: $x [mm] \approx [/mm] 1,779$ oder $x [mm] \approx [/mm] -0,779$
> Wenn ich wieder zurückrechne erhalte ich nicht das
> richtige x.
> Wo liegt mein Fehler?
Inwiefern willst Du hier die "richtigen" $x$ zurückrechnen? Ich meine, Du hast oben schon $x$-Werte (näherungsweise) ausgerechnet. Wenn ich das in die Ausgangsgleichung zur Kontrolle einsetze:
$x=-0,779 [mm] \Rightarrow x^2-x=0,606841-(-0,779)=1,385841$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow e^{x^2-x}=e^{1,385841}=3,9981...$, [/mm] was sehr nahe an der $4$ liegt, also [mm] $\approx [/mm] 4$ ist. Die genäherte Lösung löst also auch (näherungsweise) die Aufgabe. Wenn Du bei der Lösung der pq-Formel nicht ln(4) (und damit auch die $x$-Werte) näherst, sondern das Symbol ln(4) stehen läßt, bekommst Du auch die Lösungen heraus, die die Gleichung genau lösen.
Gruß,
Marcel
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