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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Mi 10.09.2008 | | Autor: | Rambo |
| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
1.Der Graph zu f, die x-Achse und die Parallele zur y-Achse mit der Gleichung x=z, z >0 schließen eine Fläche mit der Größe a(z) ein.
Bestimmen Sie lim A(z)
z-->unendlich
2.Die Punkte O =(0/0), P(t/0), Q(t/f(t)) und R (0/f(t)) sind Eckpunkte eines Rechtecks (siehe Bild).
Bestimmen Sie die Koordianten des Punktes Q, so dass der Flächeninhalz dieses Rechtecks maximal wird. |
Hallo, also ich komme nicht so ganz bei diesen Teilaufgaben 1. und 2. bzw. c und d klar.
a. und b habe ich schon gemacht und den HP und WP schon errechnet,jedoch weiß ich nicht genau wie ich diese restlichen aufgaben lösen soll.
Vielen Dank!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Mi 10.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> 1.Der Graph zu f, die x-Achse und die Parallele zur y-Achse mit der Gleichung x=z, z >0 schließen eine Fläche mit der Größe a(z) ein.
> Bestimmen Sie lim A(z)
> z-->unendlich
Du hast ja die Obergrenze z und die untergrenze 0.
Also berechne mal erstmal "nur" das Integral [mm] \integral_{0}^{z}x*e^{-2x}dx=F(z)-F(0)
[/mm]
(F(x) als Stammfunktion zu [mm] f(x)=x*e^{-2x} [/mm] musst du noch bestimmen,
am einfachsten geht das hier per partieller Integration)
Hast du das, kannst du dann die Obergrenze "ins Unendliche" laufen lassen, also den Grenzwert [mm] \limes_{z\to\infty}(F(z)-F(0))
[/mm]
>
>
>
> 2.Die Punkte O =(0/0), P(t/0), Q(t/f(t)) und R (0/f(t)) sind Eckpunkte eines Rechtecks (siehe Bild).
>
> Bestimmen Sie die Koordianten des Punktes Q, so dass der Flächeninhalz dieses Rechtecks maximal wird.
Interessant ist der Punkt, der auf dem Graphen liegt, also hier Q.
Ein Rechteck hat ja generell den Flächeninhalt A=A*b
Hier ist eine Seite die Strecke auf der x-Achse.
Da Q die Koordinaten (t/f(t)) hat, hat die eine Seite die Länge t.
Die andere Seite ist durch den Funktionswert an der Stelle t gegeben.
Also hat der Rechteck den Flächeninhalt:
[mm] A=t*f(t)=t*(t*e^{-2t})=t²*e^{-2t}
[/mm]
Und hiervon bestimme nun mal den Hochpunkt.
Für die Aufgabe mit der Steigung im Nullpunkt nimm dir mal folgende Funktion her:
[mm] f_{k}(x)=x*e^{-kx} [/mm] und bestimme die Steigung im Nullpunkt, also [mm] f_{k}'(0) [/mm] Das sollte einen Wert ergeben, der von k unabhängig ist.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Mi 10.09.2008 | | Autor: | Rambo |
> Du hast ja die Obergrenze z und die untergrenze 0.
>
> Also berechne mal erstmal "nur" das Integral
> [mm]\integral_{0}^{z}x*e^{-2x}dx=F(z)-F(0)[/mm]
> (F(x) als Stammfunktion zu [mm]f(x)=x*e^{-2x}[/mm] musst du noch
> bestimmen,
> am einfachsten geht das hier per partieller Integration)
>
> Hast du das, kannst du dann die Obergrenze "ins Unendliche"
> laufen lassen, also den Grenzwert
> [mm]\limes_{z\to\infty}(F(z)-F(0))[/mm]
>
habe jetzt die jeweiligen grenzen eingesetzt und die gleichung des integrals aufgestellt:
lim(-0,5 * e hoch -2 *z ( z+0,5) + 0,25
stimmt das so?
für z gegen unendlich habe ich das ab einem bestimmten wert,also z.bsp wenn ich 20 oder 50 oder 100 einsetze immer 0,25 rauskommt,kann das sein?
falls das stimmt was mach ich danach?
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Mi 10.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rambo!
Dein Endergebnis ist richtig. Allerdings scheint mir auf dem Wg dorthin ein Fehler zu liegen (zumindest in Deiner Darstellung).
Wie lautet denn Deine Stammfunktion $F(x) \ = \ ...$ ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mi 10.09.2008 | | Autor: | Rambo |
aber warum kommt bei höheren z- werten immer 0,25 raus?verstgeh das nich so ganz?liegt das an der + 0,25 am ende?
die Stammfunktion, die ich aufgestellt habe lautet:
-0,5 e hoch -2x (x+0,5)
was muss ich dann machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Mi 10.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rambo!
> aber warum kommt bei höheren z- werten immer 0,25
> raus?verstgeh das nich so ganz?liegt das an der + 0,25
> am ende?
Der Gesamtgrenzwert liegt an diesem +0,25, ja!
Dass aber der erste Term [mm] $-0.5*(x+0.5)*e^{-2x}$ [/mm] keinen Anteil einbringt, liegt an dem Teilterm [mm] $e^{-2x}$ [/mm] , welcher für [mm] $x\rightarrow +\infty$ [/mm] gegen Null strebt.
Gemeinsam mit dem anderen Term ergibt sich folgende Grenzwertbetrachtung:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow+\infty}-\bruch{1}{2}*\left(x+\bruch{1}{2}\right)*e^{-2x} [/mm] \ = \ [mm] -\limes_{x\rightarrow+\infty}\bruch{x+\bruch{1}{2}}{e^{2x}}$$
[/mm]
Und dieser Ausdruck strebt insgesamt gegen Null.
Rechnerisch bestimmen kann man das z.B. mit dem Grenzwertsatz nach  de l'Hospital.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Mi 10.09.2008 | | Autor: | Rambo |
1.wie hieße denn dann der term A(z) von dem man ja den grenzwert berechnen soll?
den limes term kann man ja nicht erkennen.
2.zur 2. aufgabe.
habe die 1. und 2. ableitung gebildet:
f´(t) = (2t-2t²) e hoch -2t
f´´(t) =(4t²-8t+2) e hoch -2t
kann das so stimmen?
kann es sein das es dann 2. tiefpunkte gibt,bei mir kommt bei der hinreichenden bed. positive ergebnisse raus?!
Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mi 10.09.2008 | | Autor: | Rambo |
TP (0/0)
und HP (1/0,14)
somit ist diese frage aber dennoch nicht beantwortet oder?
also aufgabe 2. man soll ja die koordinaten des punktes Q bestimmen,damit der flächeninhalt des rechtecks maximal wird.
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Mi 10.09.2008 | | Autor: | Rambo |
kann mir niemand mehr weiterhelfen,hoffe doch mal schon.
wäre echt sehr dankbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Do 11.09.2008 | | Autor: | Rambo |
danke hat sich schon geklärt:)!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Allerdings ist dieser Wert [mm] $\bruch{1}{e^2} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.14$ nun der Flächeninhalt des maximalen Rechteckes.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nein! Es gibt zwei Extremwertekandidaten. Davon ist aber einer ein Minimum und der andere ein Maximum.
