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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:52 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Palme |
| Aufgabe | Mexiko hatte zu Beginn des Jahres 1990 nach einer Volkszählung 84,4 Millionen Einwohner. Im Jahr 2000waren es 100,4 Millionen. Es wird von einer exponentiellen Vermehrung der Bevölkerung ausgegangen.
a) Bestimmen Sie jeweils die Wachstumskonstante zu den Zeitschritten 1;5 bzw.10 Jahre |
Hallo,
für 10 Jahre habe ich die Lösung wie folgt herausgefunden:
Wachstumsfaktor a= 100,4 /84,4= 1,18483
k=lna= 0,1736
Doch wie finde ich die Wachstumskonstante k für 1 Jahr heraus, wenn die Bevölkerung scheinbar unterschiedlich wächst ?
lg Palme
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Hallo Palme,
> Mexiko hatte zu Beginn des Jahres 1990 nach einer
> Volkszählung 84,4 Millionen Einwohner. Im Jahr 2000waren
> es 100,4 Millionen. Es wird von einer exponentiellen
> Vermehrung der Bevölkerung ausgegangen.
>
> a) Bestimmen Sie jeweils die Wachstumskonstante zu den
> Zeitschritten 1;5 bzw.10 Jahre
> Hallo,
> für 10 Jahre habe ich die Lösung wie folgt
> herausgefunden:
>
> Wachstumsfaktor a= 100,4 /84,4= 1,18483
Ok, das war ja noch einfach. Und richtig.
> k=lna= 0,1736
Was macht der natürliche Logarithmus hier und warum?
> Doch wie finde ich die Wachstumskonstante k für 1 Jahr
> heraus, wenn die Bevölkerung scheinbar unterschiedlich
> wächst ?
Nein, davon sollst Du nicht ausgehen, sondern von einem ganz gleichmäßigen Wachstum.
Da ist also zu lösen: [mm] 100,4=10^a*84,4
[/mm]
Jetzt ist nur die Frage, wie man das auflöst. Deine bisherigen Ergebnisse wirst Du dazu gut gebrauchen können.
> lg Palme
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 Di 18.01.2011 | | Autor: | Palme |
> Hallo,
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> > Mexiko hatte zu Beginn des Jahres 1990 nach einer
> > Volkszählung 84,4 Millionen Einwohner. Im Jahr 2000waren
> > es 100,4 Millionen. Es wird von einer exponentiellen
> > Vermehrung der Bevölkerung ausgegangen.
> >
> > a) Bestimmen Sie jeweils die Wachstumskonstante zu den
> > Zeitschritten 1;5 bzw.10 Jahre
> > Hallo,
> > für 10 Jahre habe ich die Lösung wie folgt
> > herausgefunden:
> >
> > Wachstumsfaktor a= 100,4 /84,4= 1,18483
>
> Ok, das war ja noch einfach. Und richtig.
>
> > k=lna= 0,1736
>
> Was macht der natürliche Logarithmus hier und warum? So steht es in meinem Mathebuch, Konstante nicht zu verwechseln mit Faktor
>
> > Doch wie finde ich die Wachstumskonstante k für 1 Jahr
> > heraus, wenn die Bevölkerung scheinbar unterschiedlich
> > wächst ?
>
> Nein, davon sollst Du nicht ausgehen, sondern von einem
> ganz gleichmäßigen Wachstum.
>
> Da ist also zu lösen: [mm]100,4=10^a*84,4[/mm]
Ich verstehe nicht ganz warum ich diese Gleichung lösen soll, a für 10 Jahre habe doch schon ?
Ich habe diese Gleichung für [mm]5^a und 1^a[/mm] gerechnet, was jedoch nichts gebracht hat, oder rechne ich vielleicht falsch ?
[mm]100,4=5^a*84,4[/mm]
[mm]1,189=5^a[/mm]
[mm]\left( \bruch{ln1,189}{ln5} \right)=a[/mm]
>
> > lg Palme
>
>
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> > Hallo,
> >
> > > Mexiko hatte zu Beginn des Jahres 1990 nach einer
> > > Volkszählung 84,4 Millionen Einwohner. Im Jahr 2000waren
> > > es 100,4 Millionen. Es wird von einer exponentiellen
> > > Vermehrung der Bevölkerung ausgegangen.
> > >
> > > a) Bestimmen Sie jeweils die Wachstumskonstante zu den
> > > Zeitschritten 1;5 bzw.10 Jahre
> > > Hallo,
> > > für 10 Jahre habe ich die Lösung wie folgt
> > > herausgefunden:
> > >
> > > Wachstumsfaktor a= 100,4 /84,4= 1,18483
> >
> > Ok, das war ja noch einfach. Und richtig.
> >
Genau, d.h. wenn du wissen willst, wie groß die Beölkerung 10 Jahre später ist, musst du mit dieser Zahl multiplizieren, also mit der 1,18483.
Also wenn du z.B. für 2010 eine Aussage mit diesem Modell machen willst, musst du 100,4Mio * 1,18483 rechnen.
Wobei ich bei 100,4:84,4 = 1,18957.... rausbekomme.
> > > k=lna= 0,1736
> >
> > Was macht der natürliche Logarithmus hier und warum? So
> steht es in meinem Mathebuch, Konstante nicht zu
> verwechseln mit Faktor
> >
> > > Doch wie finde ich die Wachstumskonstante k für 1 Jahr
> > > heraus, wenn die Bevölkerung scheinbar unterschiedlich
> > > wächst ?
> >
> > Nein, davon sollst Du nicht ausgehen, sondern von einem
> > ganz gleichmäßigen Wachstum.
> >
> > Da ist also zu lösen: [mm]100,4=10^a*84,4[/mm]
> Ich verstehe nicht ganz warum ich diese Gleichung lösen
> soll, a für 10 Jahre habe doch schon ?
>
> Ich habe diese Gleichung für [mm]5^a und 1^a[/mm] gerechnet, was
> jedoch nichts gebracht hat, oder rechne ich vielleicht
> falsch ?
Naja, [mm] 1^a [/mm] wäre ja offensichtlich Quatsch.
Es ist etwas anders:
Du weißt, wie du von einem Jahr nach 10 Jahre später kommst:
Multiplikation mit 1,18957
Jetzt willst du das sozusagen in zwei Schritten machen, nämlich erst nach 5 Jahre später, dann wieder 5 Jahre später und wenn du beide Schritte machst, muss eben wieder die 1,18957 rauskommen.
D.h. du suchst folgendes:
$x*x*84,4 = a*84,4$, wobei du a ja schon ausgerechnet hast.
Also ist: [mm] $x^2 [/mm] = 1,18957$ und damit kannst du jetzt deinen Wachstumsfaktor für 5 Jahre berechnen (Ergebnis ca. 1,090675....).
Wenn du den Weg verstanden hast, kannst du den für 1 Jahr bestimmt auch ausrechnen (Ergebnis: ca. 1,017511.....)
>
> [mm]100,4=5^a*84,4[/mm]
>
> [mm]1,189=5^a[/mm]
> [mm]\left( \bruch{ln1,189}{ln5} \right)=a[/mm]
>
> >
> > > lg Palme
> >
> >
>
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Di 18.01.2011 | | Autor: | Palme |
> > > Hallo, weightgainer,
erstmal vielen Dank für deine Mühe.
Leider kann ich deine Vorgehensweise nicht nachvollziehen. Ich beschäftige mich jetzt schon wieder ewig damit, aber ich verstehe es nicht....
> > >
> > > > Mexiko hatte zu Beginn des Jahres 1990 nach einer
> > > > Volkszählung 84,4 Millionen Einwohner. Im Jahr 2000waren
> > > > es 100,4 Millionen. Es wird von einer exponentiellen
> > > > Vermehrung der Bevölkerung ausgegangen.
> > > >
> > > > a) Bestimmen Sie jeweils die Wachstumskonstante zu den
> > > > Zeitschritten 1;5 bzw.10 Jahre
> > > > Hallo,
> > > > für 10 Jahre habe ich die Lösung wie folgt
> > > > herausgefunden:
> > > >
> > > > Wachstumsfaktor a= 100,4 /84,4= 1,1,18957
> > >
> > > Ok, das war ja noch einfach. Und richtig.
> > >
>
> Genau, d.h. wenn du wissen willst, wie groß die
> Beölkerung 10 Jahre später ist, musst du mit dieser Zahl
> multiplizieren, also mit der1,18957
> Also wenn du z.B. für 2010 eine Aussage mit diesem Modell
> machen willst, musst du 100,4Mio * 1,18957rechnen.
>
> Du weißt, wie du von einem Jahr nach 10 Jahre später
> kommst:
> Multiplikation mit 1,18957
>
> Jetzt willst du das sozusagen in zwei Schritten machen,
> nämlich erst nach 5 Jahre später, dann wieder 5 Jahre
> später und wenn du beide Schritte machst, muss eben wieder
> die 1,18957 rauskommen.
>
> D.h. du suchst folgendes:
>
> [mm]x*x*84,4 = a*84,4[/mm], wobei du a ja schon ausgerechnet hast. Ich verstehe nicht wie ich hier auf [mm]x*x*[/mm] komme was bedeutet das in Worten ?? ich kann von hier aus auch nicht auf ein Jahr schließen.
>
> Also ist: [mm]x^2 = 1,18957[/mm] und damit kannst du jetzt deinen
> Wachstumsfaktor für 5 Jahre berechnen (Ergebnis ca.
> 1,090675....).
>
> Wenn du den Weg verstanden hast, kannst du den für 1 Jahr
> bestimmt auch ausrechnen (Ergebnis: ca. 1,017511.....)
>
> >
> > [mm]100,4=5^a*84,4[/mm]
> >
> > [mm]1,189=5^a[/mm]
> > [mm]\left( \bruch{ln1,189}{ln5} \right)=a[/mm]
> >
> > >
> > > > lg Palme
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Okay, ich nehme mal andere Zahlen.
Nehmen wir mal an, alle 10 Jahre vervierfacht sich etwas, d.h. du hast den Wachstumsfaktor 4 für einen 10-Jahresrhythmus.
Also: Am Start hast du 50, dann hast du nach 10 Jahren 50*4 = 200.
Jetzt kannst du natürlich fragen, wie viel denn dann nach 5 Jahren da waren. Das Modell, das wir hier benutzen, verlangt aber immer eine wichtige Sache: In GLEICHEN Zeitabschnitten vervielfacht sich der Wert immer um den GLEICHEN FAKTOR.
Jetzt müssen wir also von den 50 zu Beginn in zwei Zeitschritten (je 5 Jahre) auf 200 kommen.
Nennen wir mal den Wachstumsfaktor für 5 Jahre [mm] $a_{5}$. [/mm] Dann muss also gelten:
$50 * [mm] a_{5} [/mm] * [mm] a_{5} [/mm] = 200$
Also: Der Startwert mal den gesuchten Faktor gibt den Wert nach 5 Jahren (den wissen wir nicht, können den also auch nicht benutzen). Wenn wir dann diesen Wert WIEDER mit dem gesuchten Faktor multiplizieren, kommt der Wert nach 10 Jahren raus und DEN kennen wir, das sind ja 200.
Das ist eine einfache Gleichung mit einer Unbekannten:
[mm] $a_{5}^{2} [/mm] = 4$
Also:
[mm] $a_{5} [/mm] = [mm] \wurzel{4} [/mm] = 2$ (eigentlich [mm] \pm [/mm] 2, aber wir reden ja hier von Wachstumsfaktoren)
Eigentlich klar: Damit sich etwas in 10 Jahren vervierfacht, muss es sich zweimal hintereinander in je 5 Jahren verdoppelt haben.
Und dieses Spielchen kannst du jetzt auch für andere Zeitspannen treiben, also z.B. für 1 Jahr. Dabei musst du also in 10 einzelnen Schritten, d.h. mit 10 Multiplikationen mit dem Wachstumsfaktor für ein Jahr, auch wieder von 50 auf 200 kommen:
[mm] $50*a_{1}*a_{1}*a_{1}*a_{1}*a_{1}*a_{1}*a_{1}*a_{1}*a_{1}*a_{1} [/mm] = 200$
Oder kurz:
$50* [mm] a_{1}^{10} [/mm] = 200$
Was dann wieder folgendes ergibt:
[mm] $a_1^{10} [/mm] = 4$
und
[mm] $a_1 [/mm] = [mm] \wurzel[10]{4} \approx [/mm] 1,148698... $
In diesem Fall musst du in 10 Multiplikationsschritten dasselbe bekommen wie in einem Schritt mit dem Faktor 4.
Das ist genau die Definition der n-ten Wurzel:
Die n-te Wurzel aus a ist die Zahl, die n-mal mit sich selbst multipliziert a ergibt.
Vielleicht ist das eine etwas klarere Erklärung....
lg weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Di 18.01.2011 | | Autor: | Palme |
Vielen Dank, weightgainer!
du hast mir sehr viel geholfen .
Lg Palme
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