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| Aufgabe | | Argumentieren Sie mithilfe des Konvergenzradius von Potenzreigen, dass die Exponentialfunktion [mm] exp(z)=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k, z\in\IC [/mm] stetig ist. |
Hallo zusammen, die Frage kommt von mir, weil ich mir überlegt habe, ob das möglich ist, da einen Zusammenhang herzustellen?
Der Konvergenzradius einer beliebigen Potenzreihe: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^n [/mm] ist doch definiert als:
[mm] t:=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[n]{|a_{n}|}}
[/mm]
Und gibt Auskunft, bis wohin eine Potenzreihe absolut bzw. bei einer kleineren Kreusscheibe gleichmäßig konvergiert. Um jetzt den Bogen zu gesuchten Stetigkeit zu schlagen: Stetigkeit in einem Punkt bedeutet doch: Wenn f eine Funktion f: [mm] D_{f}\to W_{f} [/mm] und [mm] z_{1} [/mm] ein Häufungspunkt in [mm] D_{f} [/mm] ist gilt:
[mm] \limes_{z\rightarrow z_{1}}f(z)=f(z_{1})
[/mm]
D.h. wenn der Grenzwert der Funktion an einer Stelle gleich dem Funktionswert an der Stelle ist, ist die Funktion stetig an dieser Stelle. Kann man das jetzt irgendwie in Einklang mit dem Konvergenzradius bringen, um zu argumentieren, dass die exp. Funktion stetig ist?
Falls nicht, was wäre eine Alternative das zu zeigen? (Differenzierbar auf ganz [mm] D_{f} [/mm] und deswegen stetig?)
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Sa 05.02.2011 | | Autor: | pelzig |
Du weißt doch sicherlich, dass Potenzreihen im inneren ihres Konvergenzkreises gleichmäßig konvergieren und dass der Grenzwert einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen wieder stetig ist. Daher ist [mm] $\exp$ [/mm] innerhalb seines Konvergenzkreises stetig. Was ist der Konvergenzradius?
Gruß, Robert
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Ah genau, innerhalb des Konvergenzraduis konvergieren die Funktionen gleichmäßig und sind daher stetig, danke!
Die e-Funktion ist doch stetig in allen Punkten, oder? Das müsste doch heißen, dass der Konvergenzradius unendlich ist?
Gruß
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Hallo,
> Ah genau, innerhalb des Konvergenzraduis konvergieren die
> Funktionen gleichmäßig und sind daher stetig, danke!
> Die e-Funktion ist doch stetig in allen Punkten, oder? Das
> müsste doch heißen, dass der Konvergenzradius unendlich
> ist?
Umgekehrt!
Da der K-radius [mm] $\infty$ [/mm] ist (nachrechnen!), folgt die Stetigkeit auf ganz [mm] $\IR$
[/mm]
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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Danke für die Antwort!
Für eine beliebige Potenzreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^n [/mm] ist doch eine Zahl t definiert als:
t:= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] und der Konvergenzradius k der Potenzreihe [mm] K:=\bruch{1}{t}, [/mm] für die Exponentialfunktion:
[mm] exp(z)=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k [/mm] ist doch dann:
[mm] t=\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|\bruch{1}{k!}z^k|}=\limes_{k\rightarrow\infty}|z|\wurzel[k]{|\bruch{1}{k!}|} [/mm] ?
Kann man jetzt argumentieren, dass die Wurzel im Limes gegen 0 geht und damit k=1/t im Limes „gegen“ unendlich?
Damit dann [mm] Konergenzradius=\infty?
[/mm]
Gruß
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Hallo nochmal,
> Danke für die Antwort!
>
> Für eine beliebige Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^n[/mm] ist doch eine Zahl t
> definiert als:
>
> t:= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm] und der
> Konvergenzradius k der Potenzreihe [mm]K:=\bruch{1}{t},[/mm] für
> die Exponentialfunktion:
>
> [mm]exp(z)=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^k[/mm] ist doch
> dann:
>
> [mm]t=\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|\bruch{1}{k!}z^k|}=\limes_{k\rightarrow\infty}|z|\wurzel[k]{|\bruch{1}{k!}|}[/mm]
> ?
>
> Kann man jetzt argumentieren, dass die Wurzel im Limes
> gegen 0 geht und damit k=1/t im Limes „gegen“
> unendlich?
Ja, das ist aber eine etwas "umständliche" Abschätzerei ...
Viel einfacher in Anlehnung an das QK:
Berechne [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|[/mm] mit [mm]a_k=\frac{1}{k!}[/mm]
Wegen der Fakultäten kürzt sich ja fast alles weg und die Chose löst sich in Wohlgefallen auf ...
> Damit dann [mm]Konergenzradius=\infty?[/mm]
Ja, aber die Begründung, dass die Wurzel gegen 0 geht, ist essentiell ...
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Theoretix |
Klasse, danke für die Hilfe!
Gruß
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