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| Aufgabe | 5)
a) Untersuche die Funktion [mm] $f(x)=x*e^{-tx^2}$.
[/mm]
b) Auf welcher Kurve liegen alle Extrempunkte, auf welcher alle Wendepunkte?
c) Können verschiedene Graphen der Schar gemeinsame Punkte haben?
Achtung: An mehreren Stellen muss eine Fallunterscheidung zwischen t<0 und t>0 vorgenommen werden. |
Hey Leute!
Ich habe eine Frage zur obiger Aufgabe, ich habe sie größtenteils fertig. Und zwar muss man an mehreren Stellen eine Fallunterscheidung durchgenommen werden, aber wo genau und warum?
Bei der hinreichenden Bedingung $f''(x) [mm] \ne [/mm] 0$ [mm] ($f''(\bruch{1}{2t}) \ne [/mm] 0$) habe ich [mm] $-4*t\wurzel{\bruch{1}{2t}}*e^{\bruch{1}{2}}$ [/mm] heraus. Aber ist das nun ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt? Was gilt hier für t?
Was ich noch fragen wollte... Wie geht das mit dem Vorzeichenwechselkriterium für die Wendestellen? Dann kann ich mir ja ersparen die 3. Ableitung zu bilden.
b) Hier kommt doch für die Extrempunkte $y = [mm] x*e^{\bruch{1}{2}}$ [/mm] oder auch $y = [mm] -x*e^{\bruch{1}{2}}$ [/mm] heraus, oder?
c) Nein, ist hier die Antwort, oder?
Danke euch!
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Mo 21.03.2011 | | Autor: | abakus |
> 5)
> a) Untersuche die Funktion [mm]f(x)=x*e^{-tx^2}[/mm].
> b) Auf welcher Kurve liegen alle Extrempunkte, auf welcher
> alle Wendepunkte?
> c) Können verschiedene Graphen der Schar gemeinsame
> Punkte haben?
>
> Achtung: An mehreren Stellen muss eine Fallunterscheidung
> zwischen t<0 und t>0 vorgenommen werden.
>
> Hey Leute!
>
> Ich habe eine Frage zur obiger Aufgabe, ich habe sie
> größtenteils fertig. Und zwar muss man an mehreren
> Stellen eine Fallunterscheidung durchgenommen werden, aber
> wo genau und warum?
Das können wir dir sagen, wenn du deine Lösungswege hier reinstellst und wir feststellen, dass du an irgendeiner Stelle nicht alle Möglichkeiten bedacht hast.
>
> Bei der hinreichenden Bedingung [mm]f''(x) \ne 0[/mm]
> ([mm]f''(\bruch{1}{2t}) \ne 0[/mm]) habe ich
> [mm]-4*t\wurzel{\bruch{1}{2t}}*e^{\bruch{1}{2}}[/mm] heraus. Aber
> ist das nun ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt? Was gilt hier
> für t?
Wie wäre es denn HIER mit einer Fallunterscheidung für t????
>
> Was ich noch fragen wollte... Wie geht das mit dem
> Vorzeichenwechselkriterium für die Wendestellen? Dann kann
> ich mir ja ersparen die 3. Ableitung zu bilden.
>
> b) Hier kommt doch für die Extrempunkte [mm]y = x*e^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> oder auch [mm]y = -x*e^{\bruch{1}{2}}[/mm] heraus, oder?
Weiß nicht. Wie hast du das errechnet?
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> c) Nein, ist hier die Antwort, oder?
Wie kommst du darauf? Das ist falsch.
Gruß Abakus
>
> Danke euch!
>
> Steffi
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Okay, also Schnittpunkte mit den Achsen:
Sy(0|0)
1. Ableitung:
[mm] $f'(x)=e^{-t*x^2}(1-2tx^2)$
[/mm]
2. Ableitung:
[mm] $f''(x)=2tx*e^{-tx^2}(-3+2t*x^2)$
[/mm]
Extremstelle:
[mm] E1($\wurzel{\bruch{1}{2t}} [/mm] | [mm] \wurzel{\bruch{1}{2t}}*e^{-\bruch{1}{2}}\$)
[/mm]
[mm] E2($-\wurzel{\bruch{1}{2t}} [/mm] | [mm] -\wurzel{\bruch{1}{2t}}*e^{-\bruch{1}{2}}\$)
[/mm]
Also, für t gilt bei der hinreichenden Bedingung t>0, also ist E1 ein Hochpunkt während E2 ein Tiefpunkt ist, richtig?
Wendepunkte:
[mm] W1($\wurzel{\bruch{3}{2t}} [/mm] | [mm] \wurzel{\bruch{3}{2t}}*e^{-\bruch{3}{2}}\$)
[/mm]
[mm] W2($-\wurzel{\bruch{3}{2t}} [/mm] | [mm] -\wurzel{\bruch{3}{2t}}*e^{-\bruch{3}{2}}\$)
[/mm]
Wie geht das nun mit dem Vorzeichenwechselkriterium?
b) Also nach angeben der Extrempunkte ist meine Lösung vlt nachvollziehbarer!
c) Hmmhmm, ich habe mich schon gewundert. Schließlich ist diese Funktionsschwar punktsymmetrisch zur y-Achse. Also mein Ansatz war so:
[mm] $x*e^{-t1*x^2} [/mm] = [mm] x*e^{-t2*x^2}$ [/mm] während $-t1 [mm] \ne [/mm] -t2$ ist.
LG
Steffi
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Hallo Steffi2012,
> Okay, also Schnittpunkte mit den Achsen:
> Sy(0|0)
>
> 1. Ableitung:
> [mm]f'(x)=e^{-t*x^2}(1-2tx^2)[/mm]
> 2. Ableitung:
> [mm]f''(x)=2tx*e^{-tx^2}(-3+2t*x^2)[/mm]
>
> Extremstelle:
> E1([mm]\wurzel{\bruch{1}{2t}} | \wurzel{\bruch{1}{2t}}*e^{-\bruch{1}{2}}\[/mm])
>
> E2([mm]-\wurzel{\bruch{1}{2t}} | -\wurzel{\bruch{1}{2t}}*e^{-\bruch{1}{2}}\[/mm])
>
> Also, für t gilt bei der hinreichenden Bedingung t>0, also
> ist E1 ein Hochpunkt während E2 ein Tiefpunkt ist,
> richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wendepunkte:
> W1([mm]\wurzel{\bruch{3}{2t}} | \wurzel{\bruch{3}{2t}}*e^{-\bruch{3}{2}}\[/mm])
>
> W2([mm]-\wurzel{\bruch{3}{2t}} | -\wurzel{\bruch{3}{2t}}*e^{-\bruch{3}{2}}\[/mm])
>
Hier ist auich eine Fallunterscheidung angebracht,
für welche t es überhaupt Wendepunkte geben kann.
Es fehlt hier ein Wendepunkt.
> Wie geht das nun mit dem Vorzeichenwechselkriterium?
Bei den Kandidaten für den Wendepunkt ist zu prüfen.
ob die die 3. Ableitung an dieser Stelle nicht verschwindet.
Da ist nichts mit Vorzeichenwechsel zu machen.
>
> b) Also nach angeben der Extrempunkte ist meine Lösung vlt
> nachvollziehbarer!
Eine der angegebenen Kurven stimmt
> c) Hmmhmm, ich habe mich schon gewundert. Schließlich ist
> diese Funktionsschwar punktsymmetrisch zur y-Achse. Also
> mein Ansatz war so:
> [mm]x*e^{-t1*x^2} = x*e^{-t2*x^2}[/mm] während [mm]-t1 \ne -t2[/mm] ist.
Der Ansatz ist gut.
Aus diesem Ansatz folgt, daß zwei verschiedene Graphen ... Schnittpunkt(e) haben.
>
> LG
> Steffi
>
Gruss
MathePower
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Danke für die Antwort, MathePower!
Wie finde ich den 3. Wendepunkt?
Also für die Wendestellen gilt t>0. Hmm, aber wie funktioniert das denn allgemein mit dem Vorzeichenwechselkriterium?
b)
Extremstelle:
[mm] $y=x*e^{-\bruch{1}{2}}$
[/mm]
Wendestelle:
[mm] $y=x*e^{-\bruch{3}{2}}$ [/mm]
c)
Da bekomme ich $-t1 = -t2$ raus, aber eigentlich gilt ja $t1 [mm] \ne [/mm] t2$... Hmm...??
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Hallo Steffi2012,
> Danke für die Antwort, MathePower!
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> Wie finde ich den 3. Wendepunkt?
Faktorisiere die 2. Ableitung.
> Also für die Wendestellen gilt t>0. Hmm, aber wie
> funktioniert das denn allgemein mit dem
> Vorzeichenwechselkriterium?
Das funktioniert nur bei Extemwerten.
Ist [mm]x_{e}[/mm] eine Lösung der Gleichung [mm]f'\left(x\right)=0[/mm],
dann kann die Art des Extremums über den Vorzeichenwechsel von f' in
der Nähe dieses Extremums bestimmt werden.
Dazu untersuchst Du, welches Vorzeichen f'(x) für [mm] x < x_{e}[/mm]
und welches Vorzeichen f'(x) für [mm] x > x_{e}[/mm] hat
>
> b)
> Extremstelle:
> [mm]y=x*e^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> Wendestelle:
> [mm]y=x*e^{-\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> c)
> Da bekomme ich [mm]-t1 = -t2[/mm] raus, aber eigentlich gilt ja [mm]t1 \ne t2[/mm]...
> Hmm...??
Es steht doch da:
[mm]x*e^{-t_{1}*x^{2}}=x*e^ {-t_{2}*x^{2}}[/mm]
bzw.
[mm]x*\left( \ e^{-t_{1}*x^{2}}-e^{-t_{2}*x^{2}} \ \right)=0[/mm]
Nun gibt es zwei Fälle.
Gruss
MathePower
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Danke für die Antwort.
Ähh... ist die 2. Ableitung denn nicht schon damit faktorisiert?:
$ [mm] f''(x)=2tx\cdot{}e^{-tx^2}(-3+2t\cdot{}x^2) [/mm] $
Befindet sich der andere Wendepunkt bei WP3(0|0)?
Nach was muss man denn auflösen bei c? Komme trotzdem irgendwie nicht weiter...
$ [mm] x\cdot{}\left( \ e^{-t_{1}\cdot{}x^{2}}-e^{-t_{2}\cdot{}x^{2}} \ \right)=0 [/mm] $
Was ist denn der nächste Schritt? Darf man überhaupt die Funktion durch x nehmen? Eigentlich nicht, da x = 0 sein kann, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Di 22.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ähh... ist die 2. Ableitung denn nicht schon damit faktorisiert?:
Ja.
> Befindet sich der andere Wendepunkt bei WP3(0|0)?
Richtig.
Und Du hast recht, daß es ein Wendepunkt ist, wenn f''(x) dort das Vorzeichen wechselt. Rechts-Links oder Links-Rechts erkennst Du daran, in welche Richtung f'' das Vorzeichen wechselt.
> Was ist denn der nächste Schritt? Darf man überhaupt die Funktion durch x nehmen? Eigentlich nicht, da x = 0 sein kann, oder?
und was ist die linke Seite, wenn x=0?
[mm] $f_{t_1}(x)=f_{t_2}(x)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\ xe^{-t_1x^2}=xe^{-t_2x^2}\qquad (\star)$
[/mm]
Steffi: "Hmm, ich will durch x teilen, aber das darf ich nur falls [mm] $x\neq [/mm] 0$ "
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Fallunterscheidung
1. Fall x=0
[mm] $(\star)\ \Leftrightarrow\ f_{t_1}(0)=0=0=f_{t_2}(0)$
[/mm]
Du weißt ja auch schon von oben, daß alle Funktionen in der Schar den Punkt (0/0) teilen.
2. Fall [mm] $x\neq [/mm] 0$
[mm] $(\star)\quad |\, :\! [/mm] x$
[mm] $\Leftrightarrow\ e^{-t_1x^2}=e^{-t_2x^2}$
[/mm]
[mm] $\ldots$
[/mm]
Fallunterscheidung kommt immer, wenn irgendwo ein "darf ich nur machen, falls" auftaucht. Bsp. Extrempunkte:
[mm] $f_t'(x)=0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\ 1-2tx^2=0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow tx^2=\frac [/mm] 12$
("Durch t darf ich nur teilen, falls [mm] $t\neq [/mm] 0$" --- irgendwie wird t=0 nirgends berücksichtigt. Auch die Angabe spricht nur von t>0 und t<0. Gibt's da nen Grund dafür?)
$t=0\ [mm] \Rightarrow f_0(x)=x$
[/mm]
klar
[mm] $t\neq [/mm] 0$
[mm] $x^2=\frac [/mm] 1{2t}$
"Wurzel darf ich nur ziehen, falls $t>0$"
1. Fall t<0 [mm] $\Rightarrow$ [/mm] kein Extrempunkt
2. Fall t>0
[mm] $\Leftrightarrow\ x=\pm \sqrt{\frac 1{2t}}$
[/mm]
ciao
Stefan
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