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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 16:02 Fr 02.07.2004 | | Autor: | bubba |
Hallo Zusammen!
Hat jemand von euch einen Beweis, dass die Hüllkurve der Extrema der Ableitungen von [mm] e^{-x^2} [/mm] wiederum [mm] e^{-x^2} [/mm] mit einem speziellen Faktor für die "Höhe" und "Breite" ist??
Viel Vergnügen, ich bin schon so richtig gescheitert
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo bubba,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hat jemand von euch einen Beweis, dass die Hüllkurve der
> Extrema der Ableitungen von [mm]e^{-x^2}[/mm] wiederum [mm]e^{-x^2}[/mm] mit
> einem speziellen Faktor für die "Höhe" und "Breite" ist??
Was ist denn eigentlich die Hüllkurve einer Funktion? Wenn du die Definition nachlieferst, könnte ich dir vielleicht helfen.
Und, bist du sicher, dass es sich hier nicht um eine Schar von Funktionen handelt, sondern nur um eine einzige Funktion (du sprichst ja auch von Extrema, obwohl die angegebene Funktion nur ein Extremum hat.)
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Mi 07.07.2004 | | Autor: | bubba |
Die Ableitungen haben mehrere Maxima, bzw. Minima, mit jeder Ableitung werden es mehr. Wenn man nun diese mehreren Maxima EINER, wenn möglich einer hohen(die 6. ist schon ganz gut), verbindet ergibt sich wieder [mm] Exp[-x^2] [/mm] mit ein paar Faktoren
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo bubba,
> Die Ableitungen haben mehrere Maxima, bzw. Minima, mit
> jeder Ableitung werden es mehr. Wenn man nun diese mehreren
> Maxima EINER, wenn möglich einer hohen(die 6. ist schon
> ganz gut), verbindet ergibt sich wieder [mm]Exp[-x^2][/mm] mit ein
> paar Faktoren
Das verstehe ich nicht.
Du scheinst von mehreren Funktionen zu sprechen, in deinem ersten Posting steht aber nur eine einzige Funktion, die auch nur ein einziges Extremum hat.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:04 Do 08.07.2004 | | Autor: | bubba |
Also nochmal:
du nimmst [mm] Exp[-x^2], [/mm] schöne Normalverteilung(jaja ich weiß, nicht ganz]
dann leitest du sie z.B. 130 mal ab.
Dann nimmst du diese 130. Ableitung und plottest sie.
Dann kann man grafisch erahnen, dass die Funktion Extrema hat, die -miteinander verbunden- sehr nach der Stammfunktion [mm] Exp[-x^2] [/mm] , nur halt ein bisschen größer und gespreizt ausschauen.
Viele Grüße
Friedrich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Do 08.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Friedrich,
> Also nochmal:
> du nimmst [mm]Exp[-x^2],[/mm] schöne Normalverteilung(jaja ich
> weiß, nicht ganz]
> dann leitest du sie z.B. 130 mal ab.
> Dann nimmst du diese 130. Ableitung und plottest sie.
> Dann kann man grafisch erahnen, dass die Funktion Extrema
> hat, die -miteinander verbunden- sehr nach der
> Stammfunktion [mm]Exp[-x^2][/mm] , nur halt ein bisschen größer und
> gespreizt ausschauen.
Alles klar, also sind die mehreren Funktionen die Ableitungen.
Leider habe ich jetzt im Augenblick keine Zeit, mich mit der Frage zu beschäftigen, erst heute Abend wieder.
Aber vielleicht kommt mir ja auch jemand zuvor  ?
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Do 08.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Friedrich,
> Also nochmal:
> du nimmst [mm]Exp[-x^2],[/mm] schöne Normalverteilung(jaja ich
> weiß, nicht ganz]
> dann leitest du sie z.B. 130 mal ab.
> Dann nimmst du diese 130. Ableitung und plottest sie.
> Dann kann man grafisch erahnen, dass die Funktion Extrema
> hat, die -miteinander verbunden- sehr nach der
> Stammfunktion [mm]Exp[-x^2][/mm] , nur halt ein bisschen größer und
> gespreizt ausschauen.
Also, ich habe die ersten Ableitungen mal geplottet
[Dateianhang nicht öffentlich]
sehe da aber deine beschriebenen Eigenschaften nicht, weswegen ich dir wohl nicht weiterhelfen kann, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Ach so, jetzt sehe ich es auch
Diese Eigenschaft rührt doch daher, dass in jeder Ableitung der Faktor [mm] $\exp -x^2$ [/mm] enthalten ist, d.h., wir haben diese Darstellung
[mm] $f^{(n)}=\exp\left( -x^2\right)*p_n(x)$ [/mm] wobei [mm] $p_n$ [/mm] Polynome sind.
Daraus müßten sich jetzt diese Eigenschaft ableiten lassen, ich sehe es aber noch nicht, wie. Die Nullstellen an der Stelle 0 (und damit die Lage der Kandidaten für die Extremstelle der vorherigen Funktion der Funktionenfolge) sind ja noch relativ einfach zu berechnen, die anderen Extremstellen bekomme ich aber nicht zu "fassen".
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Sa 10.07.2004 | | Autor: | bubba |
Ja, mit mathematica sieht man das tatsächlich recht gut, die Einschränkung, die ich vergessen habe war natürlich, dass es eine gerade ABleitung sein muss, also die 2. , 4. , 6. usw.
Das Problem, die Maxima der geraden Ableitungen zu finden ist natürlich ein Nullstellen-Finden einer ungeraden Ableitung: Da [mm] Exp[-x^2], [/mm] was man ausklammern kann, nie 0 wird, darf man einen Beweis für alle möglichen hochstufigen Polynome finden, dass die Nullstellen dieser(die man nur mit der Newton Methode nähern kann), wenn man sie in die vorherige Ableitung einsetzt die gleichen Werte wie [mm] Exp[-x^2] [/mm] mit irgendwelchen Faktoren ergibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Sa 10.07.2004 | | Autor: | bubba |
Ich hab noch eine kleine Anregung: f[0], wenn f die n-te ABleitung von [mm] Exp[-x^2] [/mm] ist und n durch 4 restlos teilbar dann f[0]==n!/(n/2)!, wenn n nur durch 2 und nicht durch 4 teilbar, dann -n!/(n/2)!
Der Faktor für die "Breite" ist scheinbar 0.5, also für die n-te, n durch 4 restlos teilbar, Ableitung gilt für die Hüllkurve:
[mm] n!/(n/2)!*Exp[-0.5x^2]
[/mm]
Hat jemand einen Beweis dafür??
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