Exponentialfunktion Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Mi 21.04.2010 | | Autor: | jan_333 |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion
[mm] f:\IR\to\IR [/mm] mit [mm] f(x)=(x-1)e^{-\bruch{1}{2}x^{2}+x}
[/mm]
a) Berechnen Sie die ersten beiden Ableitungen von f.
b) Bestimmen Sie alle lokalen Minima und lokalen Maxima von f.
c) Berechnen Sie die Grenzwerte [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x).
[/mm]
d) Wieviele Wendepunkte hat f? Begründen Sie Ihre Antwort. |
Hallo,
ich habe soeben überrascht festgestellt dass ich diese Aufgabe bis morgen machen muss.
Ich hab nur bei den Aufagben a) und d) eine Vorstellung wie ich vorgehen muss.
Für die erste Ableitung muss ich die Produktregel anwenden, wobei ich hier nicht weiß, wie ich mit dem [mm] e^{-\bruch{1}{2}x^{2}+x} [/mm] vorgehen soll, bleibt die Ableitung gleich?
Wenn ja dann müsste [mm] f'(x)=1e^{-\bruch{1}{2}x^{2}+x}+(x-1)e^{-\bruch{1}{2}x^{2}+x} [/mm] sein?
Und [mm] f''(x)=e^{-\bruch{1}{2}x^{2}+x}+e^{-\bruch{1}{2}x^{2}+x}+(x-1)e^{-\bruch{1}{2}x^{2}+x}=2e^{-\bruch{1}{2}x^{2}+x}+(x-1)e^{-\bruch{1}{2}x^{2}+x} [/mm] ?
Bei b) und c) hab ich leider keine Idee.
Bei d) muss ich ja f''(x)=0 setzen und als hinreichendes Kriterium müsste es ein Vorzeichenwechsel geben oder [mm] f'''(x)\not=0.
[/mm]
Kann ich bei der Exponentialfunktion auch so vorgehen, weil ich habe es noch so in Erinnerung, dass [mm] f(x)=e^{x} [/mm] keine Wendestelle hat.
Ich hoffe auf eure Unterstützung und bedanke mich für eure Mühen
Gruß
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jan!
Nein, die Ableitung von [mm] $e^{-\bruch{1}{2}*x^2+x}$ [/mm] bleibt nicht gleich, da Du auch die  Kettenregel berücksichtigen musst.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Mi 21.04.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke für die schnelle Antwort.
Dann müsste [mm] f'(x)=e^{-\bruch{1}{2}x^2+x}+(x-1)(1-x)e^{-\bruch{1}{2}x^2+x}=e^{-\bruch{1}{2}x^2+x}+(2x-x^{2}-1)e^{-\bruch{1}{2}x^2+x} [/mm] sein?
Und [mm] f''(x)=(2x-x^{2}-1)e^{-\bruch{1}{2}x^2+x}+(2-2x)e^{-\bruch{1}{2}x^2+x}+(2x-x^{2}-1)^{2}e^{-\bruch{1}{2}x^2+x} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Mi 21.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
f' ist jetzt richtig
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Mi 21.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du deine Frage einfach editierst, hier um die 2.te Ableitung, wie erwartest du dann ne antwort? ich hab das nur zufällig gesehen.
f'' ist falsch!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mi 21.04.2010 | | Autor: | jan_333 |
Tut mir Leid! Aber du hast geantwortet, während ich meine Frage editiert habe. Nun wieß ich für die Zukunft Bescheid.
Wo genau ist bei f''(x) der Fehler? Ich habs nochmal nachgerechnet und das gleiche rausbekommen.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 19:47 Mi 21.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest:
$ [mm] f'(x)=e^{-\bruch{1}{2}x^2+x}+(x-1)(1-x)e^{-\bruch{1}{2}x^2+x}=e^{-\bruch{1}{2}x^2+x}+(2x-x^{2}-1)e^{-\bruch{1}{2}x^2+x} [/mm] $
besser geschrieben als
[mm] f'=e^{-\bruch{1}{2}x^2+x}*(1+2x-x^2-1)=e^{-\bruch{1}{2}x^2+x}*(2x-x^2)
[/mm]
jetzt ableiten:
[mm] f''=(-x+1)*e^{-\bruch{1}{2}x^2+x}+(2-2x)*e^{-\bruch{1}{2}x^2+x}
[/mm]
jetzt wieder ausklammern.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mi 21.04.2010 | | Autor: | jan_333 |
Nach dem Ausklammern müsste die Lösung also folgendermaßen sein:
[mm] f''(x)=(3-3x)*e^{-\bruch{1}{2}x^{2}+x}
[/mm]
Ist das so richtig?
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hallo,
nein das stimmt leider nicht...
f'(x) hast du offenbar richtig bestimmt, wenn ich das hier richtig lese, also gehen wir die ableitung der ableitung mal durch.
[mm] f'(x)=(2x-x^2)*e^{x-\bruch{x^2}{2}}
[/mm]
So jetzt Produktregel anwenden, definieren wir f(x)=u(x)*v(x) mit [mm] u(x):=(2x-x^2) [/mm] und [mm] v(x):=e^{x-\bruch{x^2}{2}}
[/mm]
So demnach ist:
$ u'(x)=2-2*x $
und
[mm] v'(x)=(1-x)*e^{x-\bruch{x^2}{2}}
[/mm]
Die Produktregel besagt für eine Funktion f(x)=u(x)*v(x) ist die erste Ableitung gegeben durch [mm] f'(x)=\bruch{dy}{dx}=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)
[/mm]
Nun einsetzen:
[mm] f'(x)=(2-2*x)*e^{x-\bruch{x^2}{2}}+(1-x)*e^{x-\bruch{x^2}{2}}*(2x-x^2)
[/mm]
[mm] e^{x-\bruch{x^2}{2}} [/mm] ausklammern:
[mm] f'(x)=e^{x-\bruch{x^2}{2}}*\left[(2-2*x)+(1-x)*(2x-x^2)\right]
[/mm]
ausmultiplizieren und zusammenfassen in der Klammer:
[mm] f'(x)=(x^3-3x^2+2)*e^{x-\bruch{x^2}{2}}
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Mi 21.04.2010 | | Autor: | jan_333 |
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Do 22.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in meiner 2ten Ableitung ist ein Fehler!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jan!
Für die Minima und Maxima musst Du zunächst die Nullstellen der 1. Ableitung berechnen.
Diese Werte dann in die 2. Ableitung einsetzen, um zu überprüfen, um welche Art von Extremum es sich handelt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mi 21.04.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke.
Wie kann ich die Nullstellen von f''(x) berechnen? Ich müsste ja f''(x)=0 rechen, aber die Funktion ist zu komplex.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mi 21.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfach e^ ausklammern, dann Produkt =0 wenn einer der faktoren 0 ist.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Mi 21.04.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke für die Antwort!
Wie kann ich denn das e^ ausklammern? Hab leider keinen Plan!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mi 21.04.2010 | | Autor: | jan_333 |
Also die Nullstellen von f'(x) müssten 0 und 2 sein. Jetzt muss ich sie ja in f''(x) einsetzen. Wenn meine 2. Ableitung nach der Hilfe von leduart nun richtig ist würde für 0 das Ergebnis [mm] 3*e^{0}=3 [/mm] und für 2 das Ergebnis [mm] -3*e^{0}=-3 [/mm] rauskommen. Was sagen mir diese Ergebnisse über die Art des Extremums aus?
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Hallo,
also wie du schon richtig berechnet hast, sind [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=2 [/mm] Nullstellen der ersten Ableitung. Ist nun [mm] f''(x_{1,2})<0 [/mm] so liegt ein Hochpunkt (Maximum) vor , ist [mm] f''(x_{1,2})>0 [/mm] so liegt ein Tiefpunkt (Minimum) vor .
Warum ?
Nunja, die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung der Funktion. Wenn Du dir nun bsp. die Normalparabel [mm] y=x^2 [/mm] ansiehst, dann wirst du merken, dass der Pfeil den du von negativer in postover x-richtung entlang der kurve einzeichnen kannst quasi gegen den Uhrzeigersinn läuft. Die zweite Ableitung der Nomalparabel ist positiv. Nur dann kann ein Minimum vorliegen. Würde der Pfeil mit dem Uhrzeigersinn gehen, dann könnte dort nur ein Maximum vorliegen.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mi 21.04.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke
Hier ist es ähnlich wie bei der Aufgabe b)! Wie kann ich hier die Nullstellen von f''(x) ausrechnen, wenn die Funktion so komplex ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mi 21.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ausklmmern! dein f'' ist noch falsch
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Do 22.04.2010 | | Autor: | jan_333 |
[mm] (x^{3}-3x^{2}+2) [/mm] muss ja gleich 0 sein, damit f''(x)=0 ist!
Ich habe durch ausprobieren, die Stelle 1 rausbekommen, da f(x) ja bei 0 einen Tiefpunkt hat und bei 2 einen Hochpunkt, ist das natürlich klar. Da wir keine weiteren Maxima haben, wird es doch auch keinen weiteren Wendepunkt geben, oder? Wenn doch, dann weiß ich leider nicht, wie ich Ihn berechnen soll.
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Hallo,
du liegst mit deiner Überlegung richtig. Ein Polynom n-ten Grades hat allgemein maximal n Nullstellen, n-1 Extremstellen und n-2 Wendestellen, das liegt daran, dass sich der Grad des Polynoms bei jedem Mal ableiten um 1 verringert.
LG
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Hallo jan_333,
> c) Berechnen Sie die Grenzwerte
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}f(x).[/mm]
> Hallo,
>
>
> Bei b) und c) hab ich leider keine Idee.
>
Betrachte bei der Aufgabe c) den Ausdruck
[mm]\bruch{x-1}{e^{\bruch{1}{2}x^{2}-x}}[/mm],
wobei Du den Nenner in eine Potenzreihe entwickelst.
Bilde dann den Grenzwert für [mm]x \to \infty[/mm] bzw. [mm]x \to -\infty[/mm]
>
> Ich hoffe auf eure Unterstützung und bedanke mich für
> eure Mühen
>
> Gruß
> Jan
Gruss
MathePower
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