Exponentialfunktionen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mi 24.10.2007 | | Autor: | speznas |
| Aufgabe | Der Farn Salvinia stellt in tropischen Gewässern ein Problem dar, weil er die Gewässer für Paddelbote unschiffbar macht. Die vom Farn bedeckte Fläche hat eine Verdoppelungszeit von ca. 3 Tagen. Angenommen, der Farn bedeckt zum Zeitpunkt "0" eine Fläche von 10m².
a) Stellen Sie die zugehörige Wachstumsfunktion auf.
b) Wie lange dauert es, bis eine Wasserfläche vom 1km² bedeckt ist?
c) Wann waren nur 10 cm² der Wasseroberfläche bedeckt? |
Hiho,
wir sind nach wie vor noch bei der Wiederholung einiger Funktionstypen. Mittlerweile sind wir bei den Exponentialfunktionen angelangt, bei welchen ich nun aber festsitze. Bestimmt könnt ihr mir dabei aber weiterhelfen. :)
Folgendes sind meine Ansätze:
a) A(t) = A0 * [mm] q^t [/mm] = 10 * [mm] 2^{\bruch{1}{3}} \approx [/mm] 10 * [mm] 1,260^t
[/mm]
b) A(t) = 10 * [mm] 1,260^t [/mm] = 1000000 [mm] \Rightarrow 1,260^t [/mm] =100000 [mm] \Rightarrow [/mm] t = [mm] \bruch{100000}{1,260} [/mm] = 79365,07937
Bei dieser Aufgabe bin ich mir bezüglich des Ergebnisses arg unsicher. Entweder habe ich etwas falsch gerechnet oder habe etwas vergessen.
c) A(t) = 10 [mm] *1,260^t [/mm] = 0,001 [mm] \Rightarrow [/mm] t = [mm] \bruch{0,0001}{1,260} [/mm] = 7,936507...
Auch dieses Ergebnis erscheint mir alles Andere als realistisch.
Würde mich freuen, wenn ihr euch mal meine bisherigen Rechnungen anschauen würdet. :)
MfG
Speznas
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Hallo speznas!
> a) A(t) = A0 * [mm]q^t[/mm] = 10 * [mm]2^{\bruch{1}{3}} \approx[/mm] 10 * [mm]1,260^t[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Im Mittelterm hast Du noch das $t_$ im exponenten vergessen: $... \ = \ [mm] 10*2^{\bruch{1}{3}\red{*t}} [/mm] \ = \ ...$
> b) A(t) = 10 * [mm]1,260^t[/mm] = 1000000 [mm]\Rightarrow 1,260^t[/mm] =100000
Bis hierher stimmt es! Aber um das $t_$ asu dem Exponenten zu holen, musst Du hier die Gleichung logarithmieren, d.h. auf beiden Seiten der Gleichung einen  Loagrithmus anwenden.
Damit ergibt sich dann ein Ergebnis von rund 50 Tagen.
> c) A(t) = 10 [mm]*1,260^t[/mm] = 0,001 [mm]\Rightarrow[/mm] t = [mm]\bruch{0,0001}{1,260}[/mm] = 7,936507...
> Auch dieses Ergebnis erscheint mir alles Andere als
> realistisch.
wie oben ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mi 24.10.2007 | | Autor: | speznas |
Vielen Dank schon einmal für deine Antwort! Die Sache ist nur die, dass ich auf meiner vorherigen Schule nie die Themengebiete "Exponentialfunktionen" oder "Logarithmen" behandelt habe (mit ersterem komm ich aber meiner Ansicht nach recht gut zurecht). :( Aus diesem Grund sitze ich auch ziemlich Ratlos vor den Rechengesetzen, der Logarithmen. :\
Magst du evtl. mal eine Aufgabe rechnen, so dass auch Mathenieten wie ich es kapieren, woraufhin ich die Andere dann versuchen werde zu rechnen! :)
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Hai,
also das mit dem logarithmieren ist in deinem Fall hier mal gar nicht soo schwer :). Ich versuchs einfach mal anhanf dieses Beispiels:
[mm] A(t)=10*1,260^{t}
[/mm]
[mm] 1.000.000=10*1,260^{t} [/mm] |:10
[mm] 100.000=1,260^{t}
[/mm]
So und hier wendet man nun den sogenannten dekadischen oder auch Zehner-Logarithmus an. Das ist die "log" Taste auf deinem TR. In der nähe davon ist wahrscheinlich auch noch eine "ln"-Taste, das ist auch eine Form des Logarithmus, mit dem brauchst du dich aber gerade nicht zu befassen.
Also zurück zum Thema, wenn wir den dekadischen logarithmus nun hier anweden, "verschwindet" das "t" aus dem Exponenten. Wohl gemerkt, man wendet - wie immer bei Gleichungen - auch den Logarithmus auf beiden Seiten an, also:
log(100.000)=t*log(1,260) | : log(1,260)
[mm] t=\bruch{log(100.000)}{log(1,260)}
[/mm]
[mm] t\approx49,8154
[/mm]
Das heißt es sind, wie Roadrunner schon erwähnte ca. 50 Tage.
Ich hoffe das war einigermaßen verständlich.
Du kannst dir ja mal folgende Links anschauen:
![[]](/images/popup.gif) Wikipedia - Dekadischer Logarithmus
Logarithmus
Anstatt log(...) kannst du auch lg(...) schreiben
Lieber Gruß,
exeqter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 Mi 24.10.2007 | | Autor: | speznas |
Vielen Dank für deine Antwort! Nun ist das Ganze um einiges klarer geworden. :)
Hier nun einmal meine Ergebnisse für c):
[mm] A(t)=10*1,260^t=0,001 \Rightarrow t=\bruch{log(0,0001)}{log(1,260)}=-39,8523
[/mm]
Somit waren 10cm² der Fläche waren vor etwa 40 Tagen bedeckt.
Hoffe ich liege mit meinen Ergebnissen mehr oder weniger richtig. *g*
MfG
speznas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Mi 24.10.2007 | | Autor: | MontBlanc |
Hi,
fast richtig, aber [mm] 10cm^{2} [/mm] sind [mm] 0,001m^{2} [/mm] nicht 0,0001... [mm] 1m^{2}=10.000cm^{2} \rightarrow \bruch{10}{10.000}=\bruch{1}{1000}=0,001.
[/mm]
Rechne es einfach damit nochmal, dann stimmt es.
lg
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