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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Mi 14.05.2008 | | Autor: | blubbi |
| Aufgabe | Beim Reaktorunfall in Tschernobyl am 26. April 1986 wurde u.a. Cäsium 137 (Halbwertszeit 33 Jahre) freigesetzt.
Wie viel Prozent des Stoffes ist heute (2005) noch vorhanden? |
Um die Aufgabe zu lösen, muss man erst einmal eine Funktion aufstellen:
f(x)=1*(1-p/100) hoch x
Außerdem braucht man den Wachstumsfaktor, also habe ich alle Werte eingesetzt, die angegeben sind:
0,5=1*(1-p/100) hoch 33
Ich hab leider keine Ahnung, wie ich die Gleichung nach p auflösen soll.
Kann mir jemand bitte helfen?
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Hallo!
Mit dieser Formel würde ich nicht ansetzen, da du nun erstmal p ausrechnen musst, was dich ja vor Probleme stellt.
Du kämst weiter, wenn du nun den Logarithmus [mm] \log_{33} [/mm] auf beiden Seiten anwenden würdest, den kann aber kein Taschenrechner, und du müsstest mit [mm] \log_{33}x=\frac{log_{10}x}{log_{10}33} [/mm] arbeiten...
Eher solltest du das hier benutzen:
[mm] N=N_0*\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{33}
[/mm]
Nach einer Zeit von 33 Jahren steht im Exponenten ne 1. das macht insgesamt nen Faktor 1/2 für das Cäsium, und das passt ja auch. Nach 66 Jahren hast du nen Faktor 1/4...
Und jetzt, nach 22 Jahren?
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 10:59 Do 15.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Event_Horizon,
> Mit dieser Formel würde ich nicht ansetzen, da du nun
> erstmal p ausrechnen musst, was dich ja vor Probleme
> stellt.
>
> Du kämst weiter, wenn du nun den Logarithmus [mm]\log_{33}[/mm] auf
> beiden Seiten anwenden würdest, den kann aber kein
> Taschenrechner, und du müsstest mit
> [mm]\log_{33}x=\frac{log_{10}x}{log_{10}33}[/mm] arbeiten...
Inwiefern kommt man denn damit weiter? Und warum ausgerechnet [mm] $\log_{33}$? [/mm] 33 ist doch der Exponent der Potenzgleichung und nicht die Basis.
Der Ansatz von blubbi war mMn schon richtig (siehe meine Antwort).
> Eher solltest du das hier benutzen:
>
>
> [mm]N=N_0*\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{33}[/mm]
>
>
> Nach einer Zeit von 33 Jahren steht im Exponenten ne 1. das
> macht insgesamt nen Faktor 1/2 für das Cäsium, und das
> passt ja auch. Nach 66 Jahren hast du nen Faktor 1/4...
>
> Und jetzt, nach 22 Jahren?
Das würde auch gehen 
Viele Grüße,
Marc
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:35 Do 15.05.2008 | | Autor: | Event_Horizon |
Hallo Marc!
Ja, du hast recht, was ich da mit dem Logarithmus geschrieben habe. Hab mal wieder was vertauscht.
ABER:
Mit der erstgenannten Methode (und deiner Lösung mittels Wurzel) kommt man von den 33 Jahren und den 50% zunächst auf den Prozentsatz p. Anschliessend muss man diesen in die Formel einsetzen, und diese dann für die 22 Jahre (bzw es ist ja nicht nach 2008 gefragt...) nochmal ausrechnen. Das ist etwas umständlich, führt aber auch zum Ziel.
Und wie ich sehe, hast du jetzt was ins Forum eingebaut, das mich sofort auf meine Fehler hinweist...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Do 15.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo blubbi,
> Beim Reaktorunfall in Tschernobyl am 26. April 1986 wurde
> u.a. Cäsium 137 (Halbwertszeit 33 Jahre) freigesetzt.
> Wie viel Prozent des Stoffes ist heute (2005) noch
> vorhanden?
> Um die Aufgabe zu lösen, muss man erst einmal eine
> Funktion aufstellen:
> f(x)=1*(1-p/100) hoch x
>
> Außerdem braucht man den Wachstumsfaktor, also habe ich
> alle Werte eingesetzt, die angegeben sind:
> 0,5=1*(1-p/100) hoch 33
[mm] $0,5=1*(1-\bruch{p}{100})^{33}$
[/mm]
Die Gleichung sieht gut aus!
> Ich hab leider keine Ahnung, wie ich die Gleichung nach p
> auflösen soll.
Jetzt die 33. Wurzel ziehen (oder beide Seiten mit [mm] $\bruch{1}{33}$ [/mm] potenzieren:
[mm] $\gdw\ \wurzel[33]{0,5}=1-\bruch{p}{100}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 1-\wurzel[33]{0,5}=\bruch{p}{100}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 100*\left(1-\wurzel[33]{0,5}\right)=p$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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