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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:06 So 18.02.2007 | | Autor: | dicentra |
| Aufgabe | Die Weltbevölkerung wächst exponentiell, d.h. ihr Verlauf kann durch [mm]w(t)=a*e^{\lambda*t} [/mm] beschrieben werden. Wenn die Bevölkerung 5,5 Mrd. Menschen im Jahr 2000 und 3,2 Mrd. Menschen im Jahr 1950 betrug, was war dann die Bevölkerung im Jahre 1900?
HINWEIS: Man stelle zwei Gleichungen auf! |
mmh, irgendwie habe ich keinen guten plan zur lösung. was sollen das für zwei gleichungen sein? habe zwar zwei aufgestellt, versucht die eine in die andere einzusetzen aber irgendwie...
[mm]5,5(2000)=a*e^{\lambda*2000} [/mm]
[mm]3,2(1950)=a*e^{\lambda*1950} [/mm]
wenn ich die eine nach a umstelle und einsetze habe ich zwei mal e drin, geht das überhaupt dann aufzulösen? bei mir schon ich erhalte ein [mm] \lambda. [/mm] das im folgenden eingesetz mit einem a von oben:
[mm]x(1900)=a*e^{\lambda*1950} [/mm]
und ich erhalte einen mathematischen fehler lt tr
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:24 So 18.02.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo! Ist alles klar, wenn ich dir sage, dass e eine Konstante is? :)
https://matheraum.de/wissen/Eulersche_Zahl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:11 So 18.02.2007 | | Autor: | dicentra |
nee, nicht wirklich:
A [mm]5,5(2000)=a*e^{\lambda*2000}[/mm]
B [mm]3,2(1950)=a*e^{\lambda*1950}[/mm]
A [mm]a=\bruch{e^{\lambda*2000}}{5,5(2000)}[/mm]
B [mm]3,2(1950)=\bruch{e^{\lambda*2000}}{5,5(2000)}*e^{\lambda*1950}[/mm]
so ich dachte mir jetzt nach [mm] \lambda [/mm] umstellen und [mm] \lambda [/mm] in die dritte von oben einsetzen, dann hoffte ich was ordentliches rauszubekommen. ich bin mir allerdings nicht mal sicher, ob die gleichungen so gemeint sind wie ich sie aufgestellt habe. k.a. allerdings kann ich die zweite ja noch hierzu umformen:
[mm]3,2(1950)*5,5(2000)=e^{\lambda*2000}*e^{\lambda*1950}[/mm]
doch wie komm ich jetzt an [mm] \lambda? [/mm] mit ln. daraus folgt:
[mm]ln 17,6(1950-2000)=ln e^{\lambda*2000}*e^{\lambda*1950}[/mm]
[mm]ln 17,6(1950-2000)=ln e^{\lambda*2000} + ln e^{\lambda*1950}[/mm]
[mm]ln 17,6(1950-2000)=\lambda*2000 ln e + \lambda*1950 ln e[/mm]
[mm]ln 17,6(1950-2000)=\lambda*2000*1 + \lambda*1950*1[/mm]
[mm]ln 17,6(1950-2000)=\lambda*(2000+1950)[/mm]
[mm]\bruch{ln 17,6(1950-2000)}{2000+1950}=\lambda[/mm]
[mm]726,05*10^{-6}=\lambda[/mm]
so das nun in die dritte eingesetzt:
[mm]x(1900)=\bruch{e^{726,05*10^-6*2000}}{5,5(2000)}*e^{\726,05*10^-6*1900}[/mm]
[mm]x(1900)=2,913[/mm]
mmh... sieht ja schon mal nicht schlecht aus, is auch weniger als in den jahren danach... doch ist es auch richtig???
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Hallo dicentra,
Ich habe als Weltbevölkerungszahl etwa 1.861... Milliarden rausbekommen. (Laut Google gab es 1900 etwa 1.6... Milliarden Menschen auf der Erde. Also entweder ist diese Schätzfunktion sehr grob, oder aber ich habe mich verrechnet). Also seien [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] die gegebenen Bevölkerungszahlen für die gegebenen Zeitpunkte [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm], dann gilt:
[mm]\textcolor{green}{c_1 = ae^{\lambda t_1}}[/mm] und [mm]\textcolor{blue}{c_2 = ae^{\lambda t_2}}[/mm]
Umformen nach a und Gleichsetzen liefert
[mm]\frac{c_1}{e^{\lambda t_1}} = \frac{c_2}{e^{\lambda t_2}}\gdw c_1e^{\lambda t_2} = c_2e^{\lambda t_1} \gdw \frac{e^{\lambda t_2}}{e^{\lambda t_1}} = e^{\lambda \left(t_2-t_1\right)}\mathrel{\mathop =^!}\frac{c_2}{c_1}[/mm]
Jetzt logarithmierst du auf beiden Seiten, formst nach [mm]\lambda[/mm] um, setzt das [mm]\lambda[/mm] in eine der farbigen Gleichungen oben ein und erhälst a. Damit kannst du dann die Frage wie die Weltbevölkerung 1900 war (durch das Einsetzen in eine einzige Formel) sofort beantworten.
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 So 18.02.2007 | | Autor: | dicentra |
hier nun mein neues ergebnis: es beträgt auch 1,862. mein fehler war der, dass ich falsch nach a umgestellt habe. (kehrwert nicht gebildet)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 So 18.02.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo nochmal. Ich würde es so machen:
I) [mm] 5,5*10^6=a*e^{\lambda*2000}
[/mm]
II) [mm] 3,2*10^6=a*e^{\lambda*1950}
[/mm]
I') [mm] a=\bruch{5,5*10^6}{e^{\lambda*2000}}
[/mm]
I' in II) [mm] 3,2*10^6=\bruch{5,5*10^6}{e^{\lambda*2000}}*e^{\lambda*1950}
[/mm]
[mm] =\bruch{5,5*10^6*e^{\lambda*1950}}{e^{\lambda*2000}}
[/mm]
Durch Potenzgesetze kann man die Exponenten beträchtlich verkleinern.
[mm] 3,2*10^6=\bruch{5,5*10^6}{e^{\lambda*50}}
[/mm]
Naja, dann am besten nach [mm] e^{\lambda*50} [/mm] umstellen und dann nochmal mit ln probieren.
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