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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Exponentialgleichung
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Exponentialgleichung: Aufgabe im LS10 BaWü
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Mo 09.01.2006
Autor: Maaadin

Aaalso..

ich sitze seit sicherlich 30 min an der Aufgabe und komme einfach nicht auf das richtige Ergebnis.

Die Aufgabe lautet folgt ( Aus dem LS10 BaWü, S.53/Aufg.16a))

[mm] 2^2^x^+^2 [/mm] - [mm] 9*2^x^+^1 [/mm] + 18 = 0

Also ich denke mal, dass man hier die Mitternachtsformel( Pq-Formel) verwenden muessen. Deshalb habe ich mal die einzelnen Termen zerlegt um diese auf die Gleichung zu bringen, damit man die M.-Fromel anwenden kann ( spaeter substituieren).

[mm] 2^2^x [/mm] * [mm] 2^2 [/mm] - 9 * [mm] 2^x [/mm] * [mm] 2^1 [/mm] + 18 = 0

wenn man nun fuer [mm] 2^x [/mm] u einsetzt, dann steht ja da

[mm] u^2 [/mm] + 4 - 9 * u * 2 + 18 = 0

so noch ein wenig zusammenfassen:

[mm] u^2 [/mm] - 9u * 2 + 18 = 0

[mm] u^2 [/mm] - 18u + 18 = 0

so... das heisst ja nun, wenn man die Mitternachtsformel anwendet, dass:

a=1; b=-18; c=18

wenn man das nun in die Formel einsetzt, dann sieht das ja so aus:

[mm] {{{{u}_{{1}{,}}_{2}}}{=}}{\frac{{{18}{\pm}}{\sqrt{{{{-18}^{2}}{{-}{{4}{*}}}}{{{1}{*}}{22}}}}}{{2}{{*}{1}}}} [/mm]

wenn ich das so rechne, kommt bei mir ein falsches Ergebnis raus.

Ich hoffe ihr koennt mir helfen....
Die Ergebnisse sind: 1.58 und 0,58!
Bei mir kommt irgendwas ganz komisches raus *g*

P.s.: Fuer diesen (bloeden) Rechenausdruck mit der Mitternachtsformel, hab ich sicherlich 45 min gebraucht.....

Schon mal danke im voraus =)

EDIT: Komisch, ich habe vor laengerem schon einige Fragen hier gestellt, wurden wohl geloescht, muss deshalb den Satz schreiben...

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
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Exponentialgleichung: Versuche einer Hilfe!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Mo 09.01.2006
Autor: Goldener_Sch.

Hallo Martin!!!!!!
... und einen schönen Abend!!!


Ich weis nicht, ob diese Idee mit dem Substitunieren den Durchbruch bringen wird, aber...
Du hast an folgender Stelle einen Fehler gemacht:

> [mm]u^2[/mm] + 4 - 9 * u * 2 + 18 = 0
>  
> so noch ein wenig zusammenfassen:
>  
> [mm]u^2[/mm] - 9u * 2 + 18 = 0
>  
> [mm]u^2[/mm] - 18u + 18 = 0

Wo bleibt die "4", dass müsste doch heißen
[mm]u^2- 18 *u + 22 = 0[/mm] ,oder?
Und: Wenn gilt, [mm]u=2^x[/mm], dann ist ja
[mm]x=log_2u[/mm].

Hoffe, ich konnte wenigstes ein klein Bischen helfen, muss weg!!!

Mit vielen Lieben Grüßen

Goldener_Sch.

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Exponentialgleichung: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:46 Mo 09.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Goldener Sch.!



>  Wo bleibt die "4", dass müsste doch heißen
>  [mm]u^2- 18 *u + 22 = 0[/mm] ,oder?

[notok] Da zwischen [mm] $u^2$ [/mm] und der $4_$ ein Mal-Zeichen steht, muss man die Gleichung nun natürlich durch $4_$ teilen (siehe auch meine Antwort).


Gruß
Loddar


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Exponentialgleichung: kleiner Rechenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Mo 09.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Maadin!


Die Idee mit der Substitution ist schon sehr gut. Du hättest auch schon früher substituieren können, da nämlich gilt:

[mm] $2^{2x+2} [/mm] \ = \ [mm] 2^{(x+1)*2} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ 2^{x+1} \ \right)^2$ [/mm]


Also führt die Substitution $u \ := \ [mm] 2^{x+1}$ [/mm] auf folgende quadratische Gleichung:

[mm] $u^2 [/mm] - 9*u+18 \ = \ 0$



Nun zu Deinem Weg:

> [mm]2^2^x[/mm] * [mm]2^2[/mm] - 9 * [mm]2^x[/mm] * [mm]2^1[/mm] + 18 = 0
>  
> wenn man nun fuer [mm]2^x[/mm] u einsetzt, dann steht ja da

Auch das klappt ...


> [mm]u^2[/mm] + 4 - 9 * u * 2 + 18 = 0

Allerdings muss es hier heißen:

[mm] $u^2 [/mm] \ [mm] \red{\times} [/mm] \ 4 - 9*u*2 + 18  \ = \ 0$


Nun durch $4_$ teilen, liefert:

[mm] $u^2 [/mm] - [mm] \bruch{9}{2}*u+\bruch{9}{2} [/mm] \ = \ 0$


Damit solltest Du nun Deine vorgegebenen Ergebnisse erhalten.


Gruß
Loddar


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Exponentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:11 Mo 09.01.2006
Autor: Maaadin

Wenn die Loesung vom "Meister" persoehnlich kommt, muss es ja richtig sein =)

Vielen Dank.

Dir natuerlich auch Goldener_Sch.
Ach ja, ich habe mich eigentlich nur verschrieben gehabt. Denn bei meiner Mitternachtsformel habe ich 22 eingesetzt, da ich anfangs +4 hatte und nicht *4. Die 4 habe ich dann zu den 18 dazu gezaehlt, deshalb auch die 22. ;)


@Loddar

ich habe den letzten Schritte von Dir weggelassen ( mit 4 durch dividieren), da ich nicht die p/q-Formel anwende, sondern die Mitternachtsformel.
Ergebnis kam das gleiche raus.


Nochmals vielen Dank an beide!

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Exponentialgleichung: Rücksubstitution
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Di 10.01.2006
Autor: Icheee

Hallo,

Ich hab die Aufgabe wie oben beschrieben durchgerechnet

Mitternachtsformel an der Gleichung u²-9u+18=0
a=1 ; b=-9 ; c=18

[mm]{{{{u}_{{1}{,}}_{2}}}{=}}{\frac{{{9}{\pm}}{\sqrt{{{{-9}^{2}}{{-}{{4}{*}}}}{{{1}{*}}{18}}}}}{{2}{{*}{1}}}}[/mm]

danach kam ich auf die Ergebnisse [mm] u_{1}=6 [/mm] und [mm] u_{2}=3 [/mm]
Jetzt komme ich allerdings nicht weiter und weiß nicht wie eine mögliche Rücksubstitution funktioniert? Ist eine Rücksubstitution überhaupt möglich?


Bitte um Hilfe...

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Exponentialgleichung: Resubstitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Di 10.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Icheee,

[willkommenmr] !!


Klar funktioniert hier die Resubstitution (und man muss sie auch durchführen, da wir ja nicht $u_$ sondern $x_$ suchen ...).


[mm] $u_1 [/mm] \ = \ [mm] 2^{x+1} [/mm] \ = \ 6$

Nun auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus [mm] $\ln(...)$ [/mm] anwenden und anschließend das MBLogarithmusgesetz [mm] $\log_b\left(a^m\right) [/mm] \ = \ [mm] m*\log_b(a)$ [/mm] :

[mm] $\ln\left(2^{x+1}\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(6)$ [/mm]

[mm] $(x+1)*\ln(2) [/mm] \ = \ [mm] \ln(6)$ [/mm]


Schaffst Du den Rest nun alleine?


Gruß
Loddar


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Exponentialgleichung: Resubstitution
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:14 Di 10.01.2006
Autor: Icheee

Danke Lothar...

die Lösung ist jetzt klar... einfach noch die Gleichung umstellen

[mm](x+1)*\ln(2) \ = \ \ln(6)[/mm]

[mm] \to [/mm] x=....



oder??? Ich denke so geht's... Ich komme zumindestens auf die richtigen Ergebnisse.


Gruß und nochmals Danke,
Icheee

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Exponentialgleichung: Genau so geht's ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:19 Di 10.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Icheee!


> die Lösung ist jetzt klar... einfach noch die Gleichung umstellen

[daumenhoch] Völlig richtig!


Gruß
Loddar


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