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Exponentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 Mo 28.07.2008
Autor: tedd

Aufgabe
Geben Sie alle Lösungen für folgende Gleichung an:

[mm] e^{2x^2+x+x}+4*e^{x^2-x}=e^{1-3x} [/mm]

Bin mir mit der Lösung nicht 100% sicher...

[mm] e^{2x^2+x+x}+4*e^{x^2-x}=e^{1-3x} [/mm]

ln(x) anwenden:

[mm] ln(e^{2x^2+x+x})+ln(4)+ln(e^{x^2-x})=ln(e^{1-3x}) [/mm]

[mm] 2x^2+x+x+x^2-x+ln(4)=1-3x [/mm]

[mm] 3x^2+3x+ln(4)=0 [/mm]

[mm] x^2+x+\bruch{ln(4)}{3}=0 [/mm]

p/q-Formel:

[mm] x_{1/2}=-\bruch{1}{2}\pm\sqrt{\bruch{1}{4}-\bruch{ln(4)}{3}} [/mm]

Und da die Wurzel negativ wird, gibt es keine Lösungen für die Gleichung.

Ist das so richtig?

Besten Gruß,
tedd

        
Bezug
Exponentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:26 Mo 28.07.2008
Autor: Fulla

Hallo ted,

> Geben Sie alle Lösungen für folgende Gleichung an:
>  
> [mm]e^{2x^2+x+x}+4*e^{x^2-x}=e^{1-3x}[/mm]
>  Bin mir mit der Lösung nicht 100% sicher...
>  
> [mm]e^{2x^2+x+x}+4*e^{x^2-x}=e^{1-3x}[/mm]
>  
> ln(x) anwenden:
>  
> [mm]ln(e^{2x^2+x+x})+ln(4)+ln(e^{x^2-x})=ln(e^{1-3x})[/mm]
>  
> [mm]2x^2+x+x+x^2-x+ln(4)=1-3x[/mm]
>  
> [mm]3x^2+3x+ln(4)=0[/mm]
>  
> [mm]x^2+x+\bruch{ln(4)}{3}=0[/mm]
>  
> p/q-Formel:
>  
> [mm]x_{1/2}=-\bruch{1}{2}\pm\sqrt{\bruch{1}{4}-\bruch{ln(4)}{3}}[/mm]
>  
> Und da die Wurzel negativ wird, gibt es keine Lösungen für
> die Gleichung.
>  
> Ist das so richtig?

Leider nein. So einfach kannst du den Logarithmus nicht anwenden.

[mm] $\ln\left(e^{x^2+2x}+4e^{x^2-x}\right)\neq\ln\left(e^{x^2+2x}\right)+\ln\left(4e^{x^2-x}\right)$ [/mm]

Siehe auch []hier.

Bei solchen Aufgaben musst du erst durch geschicktes Umformen ein Produkt erzeugen - dann kannst du den Logarithmus drauf loslassen:
[mm] $\ln(a*b)=\ln(a)+\ln(b)$ [/mm]

Könnte es sein, dass du die Aufgabe falsch abgeschrieben hast? Weil so, wie sie dasteht komme ich auch nicht ohne weiteres auf die Lösung...


Liebe Grüße,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Exponentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 Mo 28.07.2008
Autor: tedd

Ja stimmt!
Das [mm] ln(a+b)\not=ln(a)+ln(b) [/mm] ist habe ich gerade rausgefunden, als du die Antwort schon geschrieben hast :(...

Und dann habe ich die Aufgabe auch noch tatsächlich falsch abgeschrieben.

Sorry!

Es muss richtig heissen:

[mm] e^{2x^2+x+\color{red}1}+4\cdot{}e^{x^2-x}=e^{1-3x} [/mm]

aber beim Produkt formen hatte ich jetzt gerade auch kein Glück.
Ist das ein erster Ansatz?

[mm] e^{2x^2+x+1}+4\cdot{}e^{x^2-x}=e^{1-3x} [/mm]
[mm] e^{2x^2+x+1}+4\cdot{}e^{x^2-x}-e^{1-3x}=0 [/mm]
[mm] e^{x^2}*e^{x^2}*e^x*e^1+4\cdot{}(e^{x^2}*e^{-x})-e^{1}*e^{-3x}=0 [/mm]

Irgendwie krieg ich es grad nicht hin das weiter umzuformen, werde mich gleich aber nochmal dran machen...


Bezug
                        
Bezug
Exponentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Mo 28.07.2008
Autor: abakus


> Ja stimmt!
>  Das [mm]ln(a+b)\not=ln(a)+ln(b)[/mm] ist habe ich gerade
> rausgefunden, als du die Antwort schon geschrieben hast
> :(...
>  
> Und dann habe ich die Aufgabe auch noch tatsächlich falsch
> abgeschrieben.
>  
> Sorry!
>  
> Es muss richtig heissen:
>  
> [mm]e^{2x^2+x+\color{red}1}+4\cdot{}e^{x^2-x}=e^{1-3x}[/mm]
>  
> aber beim Produkt formen hatte ich jetzt gerade auch kein
> Glück.
>  Ist das ein erster Ansatz?
>  
> [mm]e^{2x^2+x+1}+4\cdot{}e^{x^2-x}=e^{1-3x}[/mm]
>  [mm]e^{2x^2+x+1}+4\cdot{}e^{x^2-x}-e^{1-3x}=0[/mm]
>  
> [mm]e^{x^2}*e^{x^2}*e^x*e^1+4\cdot{}(e^{x^2}*e^{-x})-e^{1}*e^{-3x}=0[/mm]
>  
> Irgendwie krieg ich es grad nicht hin das weiter
> umzuformen, werde mich gleich aber nochmal dran machen...

Hallo,
man könnte die Gleichung durch [mm] e^{1-3x} [/mm] teilen und erhält
[mm] e^{2x^2+4x}+4*e^{x^2+2x-1}=1 [/mm]

[mm] e^{2x^2+4x}+\bruch{4}{e}*e^{x^2+2x}=1 [/mm]

[mm] (e^{x^2+2x})^2+\bruch{4}{e}*e^{x^2+2x}-1=0 [/mm]

Ich kann mich des Eindrucks nicht erwehren, dass das eine quadratische Gleichung ist.
Gruß Abakus



>  


Bezug
                                
Bezug
Exponentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:06 Mo 28.07.2008
Autor: tedd

Wie "sieht" man denn sowas? Übung/Erfahrung?
Nunja... :)


[mm] (e^{x^2+2x})^2+\bruch{4}{e}\cdot{}e^{x^2+2x}-1=0 [/mm]

Dann substituiere ich: [mm] e^{x^2+2x}:=z [/mm]

[mm] z^2+\bruch{4}{e}*z-1=0 [/mm]

p/q-Formel: [mm] z_{1/2}=-\bruch{2}{e}\pm\sqrt{\bruch{4}{e^2}+1} [/mm]

[mm] z_1\approx0,51 [/mm]
[mm] z_2\approx-1,98 [/mm]

Rücksubstituieren: [mm] z=e^{x^2+2x} [/mm]
[mm] 0,51=e^{x^2+2x} [/mm]
[mm] ln(0,51)=x^2+2x [/mm]
[mm] 0=x^2+2x+0,68 [/mm]

p/q-Formel:
[mm] x_{1/2}=-1\pm\sqrt{1-0,68} [/mm]

[mm] x_1=-0,44 [/mm]
[mm] x_2=-1,56 [/mm]

und [mm] z_2 [/mm] kann nicht rücksubstituiert werden weil [mm] z_2<0... [/mm]

;)
Danke für eure Mühe,
besten Gruß,
tedd

Bezug
                                        
Bezug
Exponentialgleichung: sieht gut aus ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:21 Mo 28.07.2008
Autor: Loddar

Hallo Tedd!


Ja, da spielt dann schon etwas Erfahrung mit ...


Deine Rechnung sieht nunmehr gut aus - ich konnte keinen Fehler entdecken.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Exponentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:14 Mo 28.07.2008
Autor: tedd

Hey!
Danke für's drüber schauen Loddar!
[ok]
tedd

Bezug
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