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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Exponentialgleichung
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Exponentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 Do 15.01.2009
Autor: ChopSuey

Aufgabe
$\ [mm] 7^{2x+1}-3^{x-1} [/mm] = [mm] 7^{2x+3}-3^{x+1}$ [/mm]

Hallo,

ich kann's nicht lösen.
Mein größtes Hindernis ist der Faktor $\ 2x $ im Exponenten von $\ 7 $.

Mein Ansatz:

$\ [mm] 7^{2x+1}-3^{x-1} [/mm] = [mm] 7^{2x+3}-3^{x+1}$ [/mm]

$\ [mm] 7^{2x+1} [/mm] - [mm] 7^{2x+3} [/mm] = [mm] 3^{x-1} -3^{x+1}$ [/mm]

$\ [mm] 7^{2x}*7 [/mm] - [mm] 7^{2x}*7^3 [/mm] = [mm] 3^{x}*3^{-1} -3^{x}*3$ [/mm]

$\ [mm] 7^{2x}(7 [/mm] - [mm] 7^3) [/mm] = [mm] 3^{x}(3^{-1} [/mm] -3)$

Weiter komm ich leider nicht...

Würde mich über einen Hinweis sehr freuen,
Viele Grüße
ChopSuey
        
Bezug
Exponentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Do 15.01.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]\ 7^{2x+1}-3^{x-1} = 7^{2x+3}-3^{x+1}[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich kann's nicht lösen.
>  Mein größtes Hindernis ist der Faktor [mm]\ 2x[/mm] im Exponenten
> von [mm]\ 7 [/mm].
>  
> Mein Ansatz:
>  
> [mm]\ 7^{2x+1}-3^{x-1} = 7^{2x+3}-3^{x+1}[/mm]
>  
> [mm]\ 7^{2x+1} - 7^{2x+3} = 3^{x-1} -3^{x+1}[/mm]
>  
> [mm]\ 7^{2x}*7 - 7^{2x}*7^3 = 3^{x}*3^{-1} -3^{x}*3[/mm]
>  
> [mm]\ 7^{2x}(7 - 7^3) = 3^{x}(3^{-1} -3)[/mm]
>  
> Weiter komm ich leider nicht...
>  
> Würde mich über einen Hinweis sehr freuen,
>  Viele Grüße
>  ChopSuey


Hallo ChopSuey,

dies ist jedenfalls einmal ein sehr guter Anfang !

Bringe als nächsten Schritt alles mit x auf eine
Seite und die konstanten Terme (ausrechnen !)
auf die andere Seite der Gleichung. Du kommst
auf eine Gleichung der Form

     [mm] \left(\bruch{49}{3}\right)^x=const [/mm]

die leicht zu lösen ist.


Gruß    Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
Exponentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:27 Do 15.01.2009
Autor: ChopSuey

Hallo Al-Chwarizmi,

> > [mm]\ 7^{2x+1}-3^{x-1} = 7^{2x+3}-3^{x+1}[/mm]
>  >  Hallo,
>  >  
> > ich kann's nicht lösen.
>  >  Mein größtes Hindernis ist der Faktor [mm]\ 2x[/mm] im
> Exponenten
> > von [mm]\ 7 [/mm].
>  >  
> > Mein Ansatz:
>  >  
> > [mm]\ 7^{2x+1}-3^{x-1} = 7^{2x+3}-3^{x+1}[/mm]
>  >  
> > [mm]\ 7^{2x+1} - 7^{2x+3} = 3^{x-1} -3^{x+1}[/mm]
>  >  
> > [mm]\ 7^{2x}*7 - 7^{2x}*7^3 = 3^{x}*3^{-1} -3^{x}*3[/mm]
>  >  
> > [mm]\ 7^{2x}(7 - 7^3) = 3^{x}(3^{-1} -3)[/mm]
>  >  
> > Weiter komm ich leider nicht...
>  >  
> > Würde mich über einen Hinweis sehr freuen,
>  >  Viele Grüße
>  >  ChopSuey
>  
>
> Hallo ChopSuey,
>  
> dies ist jedenfalls einmal ein sehr guter Anfang !
>  
> Bringe als nächsten Schritt alles mit x auf eine
>  Seite und die konstanten Terme (ausrechnen !)
> auf die andere Seite der Gleichung. Du kommst
>  auf eine Gleichung der Form
>  
> [mm]\left(\bruch{49}{3}\right)^x=const[/mm]
>  
> die leicht zu lösen ist.

Ohhhmann! Jetzt seh' ich das Ganze erst. Ich kanns nicht fassen.
Vielen vielen Dank für die schnelle Antwort ! :-)

Mein Problem war nämlich, und das hab ich erst jetzt gesehen, dass ich die ganze Zeit damit beschäftigt war die 2 vom x zu trennen und das Potenzgesetz

$\ [mm] (a^n)^m [/mm] = [mm] a^{n*m} [/mm] $ in den verschiedensten Varianten nutzen wollte, doch die 2 in die Klammer reinzunehmen und aus $\ [mm] 7^2 [/mm] $ einfach $\ 49 $ zu machen kam mir die ganze Zeit nicht in den Sinn.
Hab das gänzlich übersehen.

>
>
> Gruß    Al-Chwarizmi
>  

Vielen Dank :-)
Ich war schon ganz verzweifelt.

Viele Grüße,
ChopSuey
Bezug
                
Bezug
Exponentialgleichung: Die Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:38 Do 15.01.2009
Autor: ChopSuey

Die Lösung sieht bei mir nun wie folgt aus:

$ \ [mm] 7^{2x}(7 [/mm] - [mm] 7^3) [/mm] = [mm] 3^{x}(3^{-1} [/mm] -3) $

$ \ [mm] \bruch{7^{2x}}{3^{x}} =\bruch{(3^{-1} -3)}{(7 - 7^3)} [/mm] $

$ \ [mm] \left(\bruch{49}{3}\right)^x =\bruch{(3^{-1} -3)}{(7 - 7^3)} [/mm] $

$ \ [mm] \left(\bruch{49}{3}\right)^x =\bruch{(3^{-1} -3)}{(7 - 7^3)} [/mm] $

$ \ [mm] \left(\bruch{49}{3}\right)^x [/mm] = [mm] \bruch{1}{126} [/mm] $

$ \ [mm] x\lg\bruch{49}{3} [/mm] = [mm] \lg \bruch{1}{126}$ [/mm]

$ \ x*1,213075 = -2,003705$

$ \ x = --1,73144 $

Was auch mit der Lösung aus dem Buch übereinstimmt.
Danke :-)

Gruß
ChopSuey


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