Exponentialgleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Do 18.06.2009 | | Autor: | lalalove |
Hii Leute :D
Hab Fragen zur folgender Textaufgabe:
Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe exponentiell ab.
Während auf Meereshöhe ein Druck von 1010 mbar herrscht,
beträgt der Luftdruck in 500m Höhe noch 940mbar.
In welcher Höhe befindet man sich, wenn der Luftdruck 950 mbar bzw. 900mbar beträgt?
Muss ich hier 2 Gleichungen aufstellen?
Einmal für 950mbar und einmal für 900 mbar?
[mm] 950^{n} [/mm] * 1010 = ..
ich weiß nicht wie ich die gleichung aufstellen soll.
HOFFE UM hILFE! Dannnke =)
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Hallo lalalove!
Die allgemeine Expontialfunktion sieht so aus:
$$p(h) \ = \ [mm] p_0*e^{k*h}$$
[/mm]
Dabei ist $h_$ unsere Variable.
Bestimme nun durch Einsetzen zunächst [mm] $p_0$ [/mm] sowie den Wert $k_$ :
$$p(0) \ = \ [mm] p_0*e^{k*0} [/mm] \ = \ ... \ = \ 1010 \ [mm] \text{mbar}$$
[/mm]
$$p(500) \ = \ [mm] p_0*e^{k*500} [/mm] \ = \ ... \ = \ 940 \ [mm] \text{mbar}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Do 18.06.2009 | | Autor: | lalalove |
> Die allgemeine Expontialfunktion sieht so aus:
> [mm]p(h) \ = \ p_0*e^{k*h}[/mm]
> Dabei ist [mm]h_[/mm] unsere Variable.
für was stehen die ganzen abkürzungen?
p(h) / Po / [mm] e^{k*h}
[/mm]
h = Höhe oder?
und der rest?
> Bestimme nun durch Einsetzen zunächst [mm]p_0[/mm] sowie den Wert [mm]k_[/mm]
> :
> [mm]p(0) \ = \ p_0*e^{k*0} \ = \ ... \ = \ 1010 \ \text{mbar}[/mm]
>
> [mm]p(500) \ = \ p_0*e^{k*500} \ = \ ... \ = \ 940 \ \text{mbar}[/mm]
>
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Hallo
p(h) der Druck p in Abhängigkeit der Höhe h
[mm] p_0 [/mm] der Druck in Meeresspiegelhöhe
[mm] e^{k*h} [/mm] es handelt sich ja um eine Exponentialfunktion
k eine zu ermittelnde Konstante
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Do 18.06.2009 | | Autor: | lalalove |
>
> Bestimme nun durch Einsetzen zunächst [mm]p_0[/mm] sowie den Wert [mm]k_[/mm]
> :
> [mm]p(0) \ = \ p_0*e^{k*0} \ = \ ... \ = \ 1010 \ \text{mbar}[/mm]
>
> [mm]p(500) \ = \ p_0*e^{k*500} \ = \ ... \ = \ 940 \ \text{mbar}[/mm]
wie/ was denn einsetzen?wie kann man denn bei den gleichungen hier werte bestimmen, wenn bei der 1.gleichung bis zu 4unbekannte vorhanden sind?
(Po / e/ k / o)
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Hallo, e ist hier aber keine Unbekannt!!!
überlege dir [mm] e^{k*0}=e^{0}=1 [/mm] sofort hast du [mm] p_0= [/mm] ...., jetzt fehlt nur noch k
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Do 18.06.2009 | | Autor: | lalalove |
> Hallo, e ist hier aber keine Unbekannt!!!
>
> überlege dir [mm]e^{k*0}=e^{0}=1[/mm] sofort hast du [mm]p_0=[/mm] ....,
> jetzt fehlt nur noch k
[mm] e^{0} [/mm] = 1
ok.
aber dann hat man doch jetzt:
p(0) = p0 [mm] *1^{k}
[/mm]
2 unbekannte .
p(0) und p0 sind nicht das gleiche oder?
..bei dem einen sind klammern..
ich versteh die aufgabe nicht wirklih
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Do 18.06.2009 | | Autor: | abakus |
> > Hallo, e ist hier aber keine Unbekannt!!!
> >
> > überlege dir [mm]e^{k*0}=e^{0}=1[/mm] sofort hast du [mm]p_0=[/mm] ....,
> > jetzt fehlt nur noch k
>
> [mm]e^{0}[/mm] = 1
>
> ok.
>
> aber dann hat man doch jetzt:
> p(0) = p0 [mm]*1^{k}[/mm]
>
> 2 unbekannte .
Hallo
p(0) bzw. [mm] p_0 [/mm] ist der Druck in der Höhe 0 Meter (Meereshöhe),
und den hast du uns selbst gepostet (ist also keine Unbekannte)
>
> p(0) und p0 sind nicht das gleiche oder?
> ..bei dem einen sind klammern..
>
> ich versteh die aufgabe nicht wirklih
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Do 18.06.2009 | | Autor: | lalalove |
achsoo.
gut, dann habe ich die gleichungen:
Po = po [mm] *e^{k*o}
[/mm]
1010mbar = 1010mbar [mm] *1^{k} [/mm] ||:1010mbar
[mm] 1=1^{k}
[/mm]
und dann lg und ich hab k raus?
2.gl..:
p500 = [mm] po*e^{k*500}
[/mm]
irgendwas hab ich glaub ich falsch gemacht..
Könnt ihr mir bitte die aufgabe von anfang erklären,
wie man auf die gleichungen kommt und wie man hieer vorgeht?
Das wäre sehr lieb und mir eine große hilfe!
Danke =)
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Zu dem [mm] p_0 [/mm] und p(0) siehe erstmal meinen anderen Beitrag. Vielleicht wird es dann ja auch klarer.
Ausgangspunkt ist die Gleichung von Roadrunner:
$ p(h) \ = \ [mm] p_0\cdot{}e^{k\cdot{}h} [/mm] $
Du weißt p(0) und p(500) und bekommst damit zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten [mm] p_0 [/mm] und k.
Mit der p(0) Gleichung kannst du [mm] p_0 [/mm] sofort ablesen.
Damit wird die zweite Gleichung auch sehr einfach und du kannst damit k ausrechnen.
Dann hast du eine allgemeine Vorschrift, mit der du für jede beliebige Höhe den Luftdruck ausrechnen kannst, d.h. dann rechnest du mit [mm] p(h_1)=900 [/mm] und [mm] p(h_2)=940 [/mm] die Höhen aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Do 18.06.2009 | | Autor: | lalalove |
also nochmal:
allg. formel:
p(0) = po * e * ^{k*0}
p(0) = 1010 * [mm] 1^{k} [/mm] || : 1010
[mm] \bruch{0}{100} [/mm] = [mm] 1^{k}
[/mm]
0 = [mm] 1^{k}
[/mm]
k = 0 ?
p(500) = p940 * [mm] e^{0*500} [/mm] ||:p 940
[mm] \bruch{500}{940} [/mm] = [mm] e^{0*500}
[/mm]
so?
Ist irgendwie immer noch falsch.. o.O
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Hallo, sortieren wir
die allgemeine Formel lautet
[mm] p(h)=p_0*e^{k*h}
[/mm]
[mm] p_0=1010mbar [/mm] das ist der Druck in Meeresspiegelhöhe
[mm] p(h)=1010*e^{k*h}
[/mm]
jetzt ist in der Aufgabe gegeben, der Druck in h=500 Meter Höhe beträgt 940mbar, also ist p(500)=940mbar, wieder einsetzen
[mm] 940=1010*e^{k*500}
[/mm]
jetzt ist dein Zoel, k zu bestimmen
[mm] \bruch{940}{1010}=e^{k*500}
[/mm]
so ähnlich, aber nur so ähnlich hast du es, hast du diese Schritte verstanden, so lagarithmiere die Gleichung
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Do 18.06.2009 | | Autor: | lalalove |
> jetzt ist dein Zoel, k zu bestimmen
>
> [mm]\bruch{940}{1010}=e^{k*500}[/mm]
ist e nicht auch eine Unbekannte?
e und k = Unbekannt
Was ist hier e?
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Hallo, e ist keine Unbekannte, wie offenbar vermutest, sondern die ![[]](/images/popup.gif) Eulersche Zahl, du hast also nur die Unbekannte k, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Do 18.06.2009 | | Autor: | lalalove |
kann man dise Zahl mit Hilfe des Taschenrechners errechnen, und wenn ja..
wiee denn?
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Hallo
Nun, wie man diese Zahl mit dem Taschenrechner eigibt, kommt auf den Rechner drauf an...
Bei einem Taschenrechner, welches beispielsweise auch die Trigonometrischen Funktionen ausgeben kann, kann man die Eulerzahl finden.
Vielleicht (hoffentlich :)) hast du einen Taschenrechner mit einer doppelten Tastenbelegung. Die zweite Funktion einer Taste findest du, wenn du zuerst die Taste "2nd" drückst und dann die beliebige Taste.
Nun, jetzt musst du nur die Taste finden, bei welcher "e" steht (Bei mir wäre dies gerade bei der Taste, mit welcher man das [mm] \pi [/mm] eingibt).
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Do 18.06.2009 | | Autor: | lalalove |
[...]
lg(0,93) = lg [mm] (2,718^{k*500})
[/mm]
lg(0,93) = (k*500) * lg 2,718 || : lg 2,718
k= [mm] \bruch{lg 0,93}{lg 2,718} [/mm] :500
k= [mm] -1,451564361^{-04}
[/mm]
dann kann auch nicht stimmen oder?
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Hallo, fast, du solltest wissen was dein Taschenrechner macht [mm] k=-1,436514691*10^{-04}, [/mm] berechne [mm] ln(\bruch{940}{1010}), [/mm] du hast schon gerundete Werte, noch ein Hinweis, beutze besser den natürlichen Logarithmus ln(e)=1, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Do 18.06.2009 | | Autor: | lalalove |
und was muss ich jetzt machen?
p(h) = po [mm] *e^{k*h}
[/mm]
k einsetzen, und an sttatt po setzt man jetzt einmal 950 und 900 ein?
und was kommt bei p(h) hin?
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Hallo, du hast jetzt das nötige Werkzeug, sprich deine vollständige Formel
[mm] p(h)=1010mbar*e^{-1,4365...*10^{-4}*h}
[/mm]
jetzt ist zu lösen
[mm] 900mbar=1010mbar*e^{-1,4365...*10^{-4}*h}
[/mm]
[mm] 950mabr=1010mbar*e^{-1,4365...*10^{-4}*h}
[/mm]
du bekommst also die jeweiligen Höhen, bedenke den Überschlag, dir ist bekannt, in 500m Höhe sind es 940mbar, [mm] p_0 [/mm] der Druck in Meerespiegelhöhe verändert sich doch nicht, sei denn, du hast eine Wetterveränderung mit Veränderung vom Luftdruck, spielt aber in deiner Aufgabe keine Rolle,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Do 18.06.2009 | | Autor: | lalalove |
0,891 = [mm] 0,9998^{h}
[/mm]
als zwischenrechnung ?
dann krirge ich für h = 576,99
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Hallo, du hast logarithmiert
[mm] ln(\bruch{900}{1010})=-1,4365*10^{-4}*h*ln(e)
[/mm]
[mm] ln(\bruch{900}{1010})=-1,4365*10^{-4}*h
[/mm]
die Höhe h tritt somit als Faktor auf, bei dir steht sie noch im Exponenten
somit hast du einen Luftdruck von 900mbar in einer Höhe von 802,7m,
Steffi
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Vielleicht noch ein paar Kommentare:
p(0) ist eigentlich nur die "mathematische" Schreibweise für die Worte "Der Druck in der Höhe 0", genauso p(500) steht für "Der Druck in der Höhe 500m".
Wie du jetzt schon weißt, kann man das ganz allgemein mit der Formel
[mm]p(x)=A*e^{k*x}[/mm] beschreiben (ich nehme extra mal andere Buchstaben).
Die Höhe 0 einsetzen liefert dir dann [mm]p(0)=A*1[/mm], also "Der Druck in der Höhe 0 ist gleich A". Und du hast gegeben, dass der Druck in der Höhe 0 1010mbar beträgt. Also muss A genau diese 1010 sein.
Die Bezeichnung [mm] p_0 [/mm] hat sich eingebürgert, weil man daran genau diesen "Startwert" (in deinem Fall den Druck auf Meereshöhe) ablesen kann. Kurz gesagt versteckt sich hinter p(0) und [mm] p_0 [/mm] die gleiche Zahl, nur anders aufgeschrieben.
Vielleicht werden die sehr guten Hinweise der anderen für dich noch besser lesbar.
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Mir scheint die Aufgabe überhaupt nicht sinnvoll für dich zu sein. Du kennst die Eulersche Zahl nicht, hast keine Routine im Umgang mit Funktionen und mit dem Einsetzen von Werten. Eigentlich kann ich mir nicht vorstellen, dass du eine Aufgabe gestellt bekommst, bei der du die Eulersche Zahl brauchst (und du sinnvollerweise mit dem ln rechnest) und ihr habt da noch nie drüber gesprochen. Und ich kann mir nicht vorstellen, dass ihr das besprochen habt, sonst wüsstest du doch zumindest, was mit e gemeint ist.
Wenn du dir die Aufgabe selbst ausgesucht hast, dann würde ich sagen: lieber ein paar Schritte zurück gehen, die notwendigen theoretischen Grundlagen erarbeiten und dann wieder an den Luftdruck begeben.
Wenn du diese zwei, drei "Kleinigkeiten" kennst, dann ist die Aufgabe nämlich ziemlich einfach und du wirst die in 5 Minuten selbst lösen können.
Mittlerweile gibt es hier über 20 Beiträge, in denen klar wird, wo es noch an Wissen fehlt - und das bekommst du auch nicht, wenn dann irgendwann mal alles vorgerechnet ist (häppchenweise).
Mein Vorschlag:
1. Falls es eine HA war, dem Lehrer sagen, wo du noch Mängel hast (wird anderen sicher auch so gehen) - die Stellen weißt du ja jetzt hoffentlich genau.
2. Falls du es "nur so zur Übung" machen wolltest: lass die Aufgabe liegen, bis du die nötigen Grundlagen kennst.
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Hallo,
möglicherweise wäre die Aufgabe für lalalove deutlich
einfacher gewesen mit einem anderen Ansatz, nämlich
[mm] p(h)=p_0*a^h
[/mm]
mit [mm] p_0=1010 [/mm] . Einsetzen in die Gleichung $\ p(500)=940$
führt dann auf die Gleichung
$\ [mm] a^{500}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{94}{101}$
[/mm]
also $\ a\ =\ [mm] \left(\bruch{94}{101}\right)^{0.002}\ \approx\ [/mm] 0.9998564$
(ausnahmsweise ist es hier einmal kein Luxus, recht
viele Dezimalen zu berücksichtigen)
Für den Luftdruck $\ 900\ mbar$ kommt man dann auf die
Gleichung
$\ [mm] p(x)\,=\,1010*0.9998564^x\,=\ [/mm] 900$
die man z.B. auch mittels Zehnerlogarithmen lösen
kann:
$\ log(1010)+x*log(0.9998564)\ =\ log(900)$
$\ x\ =\ [mm] \bruch{log(900)-log(1010)}{log(0.9998564)}\ \approx\ [/mm] 800$
(hier eher wieder etwas großzügig runden)
LG Al-Chwarizmi
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