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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Exponentialgleichung
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Exponentialgleichung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:03 So 03.06.2012
Autor: lenovo

Aufgabe
Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen (G=R)

g)  4*lnx + 14/lnx = 30

Könntet Ihr mir Tipps geben wie ich so eine Aufgabe lösen könnte ? Schritt für Schritt, wenns geht :). Die Lösung der Aufgabe:  [mm] D=R+\{1} [/mm]      L={e; [mm] e^7} [/mm]



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Exponentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 So 03.06.2012
Autor: MathePower

Hallo lenovo,

> Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen (G=R)
>  
> g)  4*lnx + 14/lnx = 30
>  Könntet Ihr mir Tipps geben wie ich so eine Aufgabe
> lösen könnte ? Schritt für Schritt, wenns geht :). Die
> Lösung der Aufgabe:  [mm]D=R+\{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

      L={e; [mm]e^7}[/mm]

>  


Ersetze zunächst [mm]\ln\left(x\right)[/mm] durch z
und löse die entstehende Gleichung nach z auf.


>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.



Gruss
MathePower

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Exponentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:17 So 03.06.2012
Autor: lenovo

Die Lösung ist nicht [mm] L={e;e^7} [/mm]   SONDERN   L={wurzel aus e ; [mm] e^7} [/mm]

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Exponentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:22 So 03.06.2012
Autor: lenovo

ich habe die gleichung nun nach z aufgestellt:

4*z + 14/z = 30
z + 14/z = 7,5
z + z = 105
2z = 105
z = 52,5

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Exponentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:32 So 03.06.2012
Autor: DM08

4*z + 14/z = 30

Mach hier ersteinmal | * z
und dann | : 4

Gruß

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Exponentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:48 So 03.06.2012
Autor: lenovo

Also dann so :

4*z + 14/z = 30
4*z + 14 = 30z
14 = 26z
z = 0,54

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Exponentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 So 03.06.2012
Autor: DM08

4*z + 14/z = 30
4*z^2 + 14 = 30z

Gruß

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Exponentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:56 So 03.06.2012
Autor: lenovo

aber wieso  [mm] "z^2" [/mm] ?????

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Exponentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:56 So 03.06.2012
Autor: lenovo

aber wieso [mm] z^2 [/mm]   ?

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Exponentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 So 03.06.2012
Autor: DM08

$4z + [mm] \bruch{14}{z} [/mm] = 30$

[mm] \gdw [/mm] $4z * z + [mm] \bruch{14}{z} [/mm] *z = 30 * z$

[mm] \gdw $4z^2 [/mm] + 14 = 30z$

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Exponentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:06 So 03.06.2012
Autor: lenovo

aber wie kommst du darauf von :  4*z + 14/z = 30

das zu machen : 4*z*z + 14/z * z = 30*z   zu machen ?

also es hieß ja von Mathepower, ich solle ln x umstellen in z.

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Exponentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:20 So 03.06.2012
Autor: DM08

Das musst du dann umstellen und die pq-Formel benutzen oder von mir aus die Quadratische Ergänzung oder Mitternachtsformel oder sonstwas..

4*z + 14/z = 30
[mm] 4z^2 [/mm] - 30z + 14 = 0
[mm] z^2 [/mm] - 15/2 z + 7/2 = 0

-> pq Formel -> Rücksubstituieren - > Auf Definition von ln achten -> fertig

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Exponentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Mo 04.06.2012
Autor: lenovo

ja ich weiß schon, wie ich das mit der pq-formel lösen kann. ich sollte doch laut mathepower "lnx" mit "z" ersetzen. das habe ich dann getan und die gleichung gelöst. dann hast du daraus 4*z*z ........ gemacht ??? den schritt versteh ich nicht..

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Exponentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:53 Mo 04.06.2012
Autor: Marc

Hallo,

> ja ich weiß schon, wie ich das mit der pq-formel lösen
> kann. ich sollte doch laut mathepower "lnx" mit "z"
> ersetzen. das habe ich dann getan und die gleichung
> gelöst. dann hast du daraus 4*z*z ........ gemacht ??? den
> schritt versteh ich nicht..

bitte stelle Fragen, auf die du eine Reaktion von uns wünschst, als Frageartikel und nicht als Mitteilung.

Die eigentliche Frage müsste sich mit meiner Antwort eben erledigt haben, falls nicht, frage bitte nochmal nach :-)

Viele Grüße
Marc


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Exponentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Mo 04.06.2012
Autor: lenovo

danke, das habe ich nun verstanden. doch ich habe noch eine frage und zwar, wie kommt man überhaupt auf die idee erst mal "lnx" mit "z" zu ersetzen und dazu das ganze nochmal mit "z" zu multiplizieren ?

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Exponentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Mo 04.06.2012
Autor: schachuzipus

Hallo lenovo,


> danke, das habe ich nun verstanden. doch ich habe noch eine
> frage und zwar, wie kommt man überhaupt auf die idee erst
> mal "lnx" mit "z" zu ersetzen

Das kommt mit der Erfahrung; die Ersetzung von [mm] $\ln(x)$ [/mm] durch $z$ "vereinfacht" die Gleichung, man kann einfacher weiterrechnen.

> und dazu das ganze nochmal
> mit "z" zu multiplizieren ?

Nun, weil du nach $z$ auflösen musst und da [mm] $4z+\frac{14}{z}=30$ [/mm] steht, also ein $z$ im Nenner, das wirst du nunmal los, wenn du (die ganze Gleichung) mit $z$ multiplizierst ...

Gruß

schachuzipus

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Exponentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Mo 04.06.2012
Autor: lenovo

aber das müsste doch dann so aussehen oder ?

4z + 14/z = 30        l *z
4z + 14 = 30z
.
.
.


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Exponentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Mo 04.06.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> aber das müsste doch dann so aussehen oder ?
>  
> 4z + 14/z = 30        l *z
>  4z + 14 = 30z

Nein, was ist mit dem 4z?

Das musst du doch auch mit z multiplizieren!

[mm]4z+14/z=30 \ \ \ \mid\cdot{}\red{z}[/mm]

[mm]\red{z}\cdot{}\left(4z+14/z\right)=30\red z[/mm]

[mm]4z\cdot{}\red z+14=30z[/mm]

Also [mm]4z^2+14=30z[/mm]

Gruß

schachuzipus

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Exponentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Mo 04.06.2012
Autor: lenovo

Ahh, stimmt :)  nachdem ich mit der a,b,c-formel die gleichung gelöst habe, bekomme ich als x1= 7   und x2 = 3/4.   was soll ich jetzt machen, weil das kann ja nicht alles gewesen sein, da ja die lösung L={wurzel aus e ; [mm] e^7 [/mm] } ist ?

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Exponentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Mo 04.06.2012
Autor: MathePower

Hallo lenovo,

> Ahh, stimmt :)  nachdem ich mit der a,b,c-formel die
> gleichung gelöst habe, bekomme ich als x1= 7   und x2 =
> 3/4.   was soll ich jetzt machen, weil das kann ja nicht


Die Lösung [mm]x_{2}[/mm] stimmt nicht.


> alles gewesen sein, da ja die lösung L={wurzel aus e ; [mm] e^7 [/mm]  } ist ?  


Führe jetzt die Rücktransformation durch.

[mm]x_{1}=\ln\left(z_{1}\right)[/mm]

[mm]x_{2}=\ln\left(z_{2}\right)[/mm]


Gruss
MathePower

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Exponentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 Di 05.06.2012
Autor: lenovo

Ich habe das jetzt mit der abc-formel gelöst und bekomme für x1=4 und x2=3,5 . jedoch habe ich den schritt mit der rücksubtitation nicht verstanden und zwar wenn ich jetzt x1 oder x2 einsetze bekomme ich die gleichung:

4*ln 4 + 14/ln 4 = 30      

nach was soll ich denn nun auflösen ?


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Exponentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Di 05.06.2012
Autor: Steffi21

Hallo,

du hast ja Substitution gemacht

z:=ln(x)

dann die quadratische Gleichung

[mm] 4z^2+14=30z [/mm]

[mm] z^2-7,5z+3,5=0 [/mm]

gelöst, mit der p-q-Formel ergibt

[mm] z_1=7 [/mm] und [mm] z_2=0,5 [/mm] (überprüfe die Ergebisse), jetzt die Rücksubstitution

[mm] 7=ln(x_1) [/mm]

[mm] 0,5=ln(x_2) [/mm]

[mm] x_1=e^7 [/mm]

[mm] x_2=e^0^,^5 [/mm]

Steffi



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Exponentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:20 Fr 08.06.2012
Autor: lenovo

ja aber ln 7 ist nicht gleich wurzel aus e oder [mm] e^7 [/mm]
und ln 0,5 ist auch nicht gleich wurzel aus e oder [mm] e^7 [/mm] ??

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Exponentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:39 Fr 08.06.2012
Autor: chrisno

Der natürliche Logarithmus, "ln" hat erst einmal nichts mit einer Wurzel zu tun. Bitte frage genauer, damit man versteht, was Du wissen willst.

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Exponentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:53 Fr 08.06.2012
Autor: lenovo

Als erstes habe ich doch die Substitution gemacht und habe dann mit der abc-formel z1= 0,5 und z2=7 herausbekommen. Nun hieß es ja von Steffi 21, dass ich die Rücksubstitution vornehmen solle, einmal 7=lnx1 und 0,5=lnx2.
Aber ich weiß nicht genau was ich da jetzt machen soll? Wie kann ich nun die Rücksubstitution machen?

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Bezug
Exponentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 Fr 08.06.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

bitte Fragen auch als Fragen stellen und nicht als Mitteilungen!


> Als erstes habe ich doch die Substitution gemacht und habe
> dann mit der abc-formel z1= 0,5 und z2=7 herausbekommen.
> Nun hieß es ja von Steffi 21, dass ich die
> Rücksubstitution vornehmen solle, einmal 7=lnx1 und
> 0,5=lnx2.
>  Aber ich weiß nicht genau was ich da jetzt machen soll?
> Wie kann ich nun die Rücksubstitution machen?

Nun, die Lösungen in [mm]z[/mm] habe ich nicht nachgerechnet, aber wir hatten doch [mm]z:=\ln(x)[/mm] substituiert.

Also [mm]z_1=0,5=\ln(x_1)[/mm]

Nun wende die Exponentialfunktion an, die die Umkehrfunktion zum [mm]\ln[/mm] ist:

[mm]\Rightarrow e^{0,5}=e^{\ln(x_1)}=x_1[/mm]

Also [mm]x_1=e^{0,5}=\sqrt{e}[/mm]

Nun bestimme du aus [mm]z_2[/mm] mal [mm]x_2[/mm]

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                                                                                                                        
Bezug
Exponentialgleichung: "Danke"
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:42 Fr 08.06.2012
Autor: Loddar

.

Schon toll, wie Du gegebene Hinweise / Bitten befolgst!
[kopfschuettel]



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Bezug
Exponentialgleichung: allgemeiner Hinweis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:43 Mo 04.06.2012
Autor: Loddar

Hallo lenovo!


Bitte stelle Deine Rückfragen auch an der entsprechenden Antwort, auf welche Du Dich gerade beziehst (und nicht blind bzw. irgendwo im Thread). Danke.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Exponentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:15 Sa 09.06.2012
Autor: lenovo

ok kommt nicht mehr vor .. :)

Bezug
                                                                        
Bezug
Exponentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Mo 04.06.2012
Autor: Marc

Hallo,

> aber wie kommst du darauf von :  4*z + 14/z = 30
>  
> das zu machen : 4*z*z + 14/z * z = 30*z   zu machen ?

Eine Gleichung mit einer Zahl z zu multiplizieren, heißt doch, auf beiden Seiten der Gleichung mit z zu mutliplizieren:

$4*z + [mm] \frac{14}z [/mm] = 30$   [mm] |$*\red{z}$ [/mm]

[mm] $\gdw$ [/mm] $(4*z + [mm] \frac{14}z)*\red{z}=30*\red{z}$ [/mm]

Hier siehst du, dass beide Seiten mit [mm] $\red{z}$ [/mm] multipliziert wurden. Nun löse auf der linken Seite die Klammern auf:

[mm] $\gdw$ $4*z*\red{z} [/mm] + [mm] \frac{14}z*\red{z}=30*\red{z}$ [/mm]

[mm] $\gdw$ $4*z^2 [/mm] + [mm] \frac{14}z*\red{z}=30*z$ [/mm]

Nun z kürzen im Term [mm] $\frac{14}z*\red{z}$: [/mm]

[mm] $\gdw$ $4*z^2 [/mm] + 14=30*z$

> also es hieß ja von Mathepower, ich solle ln x umstellen
> in z.

Das war der erste Schritt, dann ist wie oben die Gleichung nach z aufzulösen.

Viele Grüße
Marc

Bezug
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