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Exponentialgleichung Summanden: Tipp zur Zerlegung von Summand
Status: (Question) answered Status 
Date: 23:04 Do 16/04/2015
Author: IainMBC

Aufgabe
[mm] 2^{x+1}-3*2^x+5*2^{x-1}=48 [/mm]

Guten Abend allerseits,

ich habe das Problem einen Umformungsschritt nachzuvollziehen.
Laut meinem Lehrbuch ist der kleinste der mit x behaftete Summanden in der obigen Gleichung [mm]2^{x-1}[/mm], also werden die anderen beiden wie folgt zerlegt:

[mm]4*2^{x-1}-3*2*2^{x-1}+5*2^{x-1}=48[/mm]

Ich kann nicht nachvollziehen, wie die ersten beiden Summanden mit 2^(x-1) zerlegt wurden. Ich hatte es mit umformen lt. den Potenzgesetzen versucht, aber das gab nicht das selbe Ergebnis. Kann mir jemand sagen, wie der Autor von der obigen Ausgangsgleichung auf diesen ersten Zwischenschritt mit der Zerlegung kommt?

Es soll dabei keine Logarithmusfunktion verwendet werden.

Viele Grüße
Iain

P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Exponentialgleichung Summanden: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 00:32 Fr 17/04/2015
Author: DieAcht

Hallo Iain und [willkommenmr]


> [mm]2^{x+1}-3*2^x+5*2^{x-1}=48[/mm]
>  Guten Abend allerseits,
>
> ich habe das Problem einen Umformungsschritt
> nachzuvollziehen.
> Laut meinem Lehrbuch ist der kleinste der mit x behaftete
> Summanden in der obigen Gleichung [mm]2^{x-1}[/mm], also werden die
> anderen beiden wie folgt zerlegt:
>
> [mm]4*2^{x-1}-3*2*2^{x-1}+5*2^{x-1}=48[/mm]
>  
> Ich kann nicht nachvollziehen, wie die ersten beiden
> Summanden mit 2^(x-1) zerlegt wurden. Ich hatte es mit
> umformen lt. den Potenzgesetzen versucht, aber das gab
> nicht das selbe Ergebnis. Kann mir jemand sagen, wie der
> Autor von der obigen Ausgangsgleichung auf diesen ersten
> Zwischenschritt mit der Zerlegung kommt?

Es gibt viele Möglichkeiten hier mit den Potenzgesetzen zu
arbeiten. Die meiner Meinung nach passende Darstellung ist

      [mm] 2^{x+1}=2^{x-1+2}=2^{x-1}*2^2=4*2^{x-1}. [/mm]

Ich habe diese Darstellung mit Absicht gewählt, da man hier
das *Ziel* im Exponenten, also [mm] $(x-1)\$, [/mm] sofort erkennt. Das
zweite Problem solltest du nun selbst lösen können.

Du kannst auch mal zur Probe andersrum rechnen. Es ist

      [mm] 4*2^{x-1}=2^2*2^{x-1}=2^{x-1+2}=2^{x+1}. [/mm]

Das hilft dann aber nicht um selbst darauf zu kommen. Hier
dienst es nur als Beweis der Äquivalenz.

(Übrigens: Das *Ziel* muss nicht unbedingt [mm] $(x-1)\$ [/mm] sein. Du
kannst es zur Übung auch mit [mm] $(x+1)\$ [/mm] oder [mm] $x\$ [/mm] probieren. Beim
ziehen des Logarithmus dann aber auf den Definitionsbereich
achten.)

> Es soll dabei keine Logarithmusfunktion verwendet werden.

Richtig. Klammere zunächst [mm] 2^{x-1} [/mm] aus.


Gruß
DieAcht


Bezug
                
Bezug
Exponentialgleichung Summanden: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 06:55 Fr 17/04/2015
Author: IainMBC

Guten Morgen und vielen Dank für den Willkommensgruß.

Damit ich das richtig verstehe.

Weil [mm]2^{x-1}[/mm] der kleinste x behaftete Summand ist, muss ich mir die anderen Exponenten wiefolgt anschauen:

Wie komme ich bei [mm]2^{x-1}[/mm] auf [mm]2^{x+1}[/mm]?
Ich muss also schauen, was der Ergebnis x-1 erzeugt mit Hilfe der Potzenzgesetze. Liege ich da richtig?

Bei dem zweiten Fall wäre es also

[mm]2^1 * 2^{x-1} = 2^{x-1+1}=2^x [/mm]

Habe ich das richtig verstanden?

Viele Grüße
Iain

Bezug
                        
Bezug
Exponentialgleichung Summanden: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 07:07 Fr 17/04/2015
Author: meili

Hallo Iain,

> Guten Morgen und vielen Dank für den Willkommensgruß.
>  
> Damit ich das richtig verstehe.
>
> Weil [mm]2^{x-1}[/mm] der kleinste x behaftete Summand ist, muss ich
> mir die anderen Exponenten wiefolgt anschauen:
>  
> Wie komme ich bei [mm]2^{x-1}[/mm] auf [mm]2^{x+1}[/mm]?
>  Ich muss also schauen, was der Ergebnis x-1 erzeugt mit
> Hilfe der Potzenzgesetze. Liege ich da richtig?

[ok]

>
> Bei dem zweiten Fall wäre es also
>  
> [mm]2^1 * 2^{x-1} = 2^{x-1+1}=2^x[/mm]

[ok]

>  
> Habe ich das richtig verstanden?

Ja.

>
> Viele Grüße
>  Iain

Gruß
meili

Bezug
                                
Bezug
Exponentialgleichung Summanden: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 07:25 Fr 17/04/2015
Author: IainMBC

Hallo meili,

vielen Dank!

Grüße
Iain

Bezug
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