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An alle lieben Mathefreunde! Ich möchte folgende Gleichung nach S auflösen:
[mm]E = 20 * S * 1,1^{S}[/mm]
"E" soll unbestimmt bleiben, d.h. ich hätte als Lösung gerne eine neue Funktion (heißt das Umkehrfunktion?). Ich habe schon verschiedenes ausprobiert, mit Logarithmen etc., aber ich komme nicht auf den entscheidenden Trick. Mein Problem ist, dass das S sowohl als Potenz als auch als Faktor auftritt. Vielleicht brauche ich irgendeine Substitution, um das aufzulösen. Kann jemand helfen?
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Hallo Friedemann!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> An alle lieben Mathefreunde! Ich möchte folgende Gleichung
> nach S auflösen:
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> [mm]E = 20 * S * 1,1^{S}[/mm]
>
> "E" soll unbestimmt bleiben, d.h. ich hätte als Lösung
> gerne eine neue Funktion (heißt das Umkehrfunktion?). Ich
> habe schon verschiedenes ausprobiert, mit Logarithmen etc.,
> aber ich komme nicht auf den entscheidenden Trick.
Der entscheidene Trick existiert in diesem Falle nicht! Du kannst in diesem Falle nur eine Näherungslösung für S bestimmen (z.B. durch das Newton-Verfahren oder die Fixpunktiteration). Möglicherweise hilft dir in diesem Zusammenhang auch die Lambertsche W-Funktion.
Ok, jetzt ein ...
Beispiel zum Newtonverfahren:
Sei also [m]E\left(S\right) := 20*S*1.1^S[/m]. Wir benutzen für die Ableitung folgende Formel: [m]\blue{a^x = e^{\ln\left(a^x\right)} = e^{x\ln\left(a\right)}}[/m]. Dann gilt nämlich:
[m]E\left(S\right) = 20*S*1.1^S = 20*S*e^{S\ln\left(1.1\right)}[/m]
Jetzt leiten wir einmal ab:
[m]E'\left(S\right) \mathop=\limits_{\text{Produktregel; Kettenregel}} 20\left(e^{S\ln\left(1.1\right)}+S\ln\left(1.1\right)e^{S\ln\left(1.1\right)}\right)[/m]
Und damit erhalten wir eine Iterationsformel zur näherungsweisen Berechnung "von S" (also eigentlich von den Nullstellen von E):
[m]S_{i+1} := S_i - \bruch{E\left(S_i\right)}{E'\left(S_i\right)}[/m]
Du mußt hier jetzt nur noch die konkreten Formeln einsetzen, und kannst dann eine Lösung deiner Gleichung näherungsweise berechnen, indem Du für [mm] $S_0$ [/mm] rechts einen konrekten Anfangswert deiner Wahl einsetzt, so daß [mm] $E'\left(S_0\right) \ne [/mm] 0$ und das Ergebnis [mm] $S_1$ [/mm] wieder als neuen Anfangswert einsetzt, u.s.w. .
Ich hoffe, ich konnte Dir helfen.
Viele Grüße
Karl
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Herzlichen Dank erstmal für die ausführliche Antwort!
Schade, dass es nicht anders geht. Schön wäre es gewesen, wenn ich eine neue Funktion herausbekommen hätte, die ich einfach in meine Excel-Tabelle hier reinkopieren kann (das geht bei einer Näherungsformel wohl nicht so leicht).
Aber mich freut die Lösung insofern, weil sie erklärt, warum ich alles probiert habe, was die Schulmathematik hergibt, und doch keine Lösung gefunden habe. In diesem Sinne, vielen Dank!
Eine Frage hätte ich noch - würde sich etwas ändern, wenn S ganzzahlig wäre?
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> Eine Frage hätte ich noch - würde sich etwas ändern, wenn S
> ganzzahlig wäre?
Na ja, ehrlich gesagt, wüßte ich nicht, was das ändern sollte. Die einzige Nullstelle, die E hier hat ist doch in diesem Falle sowieso 0 für S = 0. 
(Ich habe die Sache mit der Näherung ja nur als generelles Beispiel bringen wollen.). Was Du versuchen könntest, wäre vielleicht wirklich diese Lambertsche W-Funktion, wobei das eigentlich auch nur eine Art Numerik-"Trick" ist, weil Du mit ihr auch andere Werte für deine Umkehrfunktion für konkrete Werte von E gewinnen könntest. Sonst ist der einzige Weg für dich deine Gleichung erstmal folgendermaßen umzuformen:
[m]E_{\text{konstant}} = 20*S*1.1^S \gdw 0 = 20*S*1.1^S - E_{\text{konstant}}[/m]. Jetzt nimmst Du dir einfach die rechte Seite der Gleichung und bastelst dir daraus nach dem gleichen Schema, wie ich das gemacht habe, eine allgemeine Iterationsformel mit dem freien Parameter E. Dann schreibst Du eine kleine C-Routine, die als einzigen Parameter eine Zahl E entgegennimmt und darauf das Iterationsverfahren losläßt und somit ungefähr das passende S bestimmt. So dürfte das eigentlich funktionieren.
Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Di 10.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du mit ganzen n arbeitest und Exel benutzt, mach einfach ne Tabelle mit den möglichen n und such dann die möglichen E raus. Für kontinuierliche S würd ich, falls du's nur praktisch brauchst E(S) möglichst genau, d.h. groß zeichnen lassen und dann S(E) ablesen. Für praktisch Zwecke ist umformeln oft gar nicht so nützlich! Oder zu was brauchst du das in Musik? viele math. Fragen beantworten sich verschieden, je nach ihrem Umfeld und Ziel!
Gruss leduart
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Ja, es genügen mir ganzzahlige S. Es geht also provisorisch auch, wenn ich alle möglichen E-s in einer Tabelle auflisten lasse. Ich hätt's nur halt gern in einer handlichen Formel gehabt, ohne eine seitenlange Tabelle, in der man immer noch extra nachschauen muss. Na, man kann wohl nicht alles haben.
Letztlich will ich Excel nur ein E vorgeben und von ihm das entsprechende S ausgegeben bekommen. Man kann nun irgendwie die Tabelle so gestalten, dass Excel automatisch in der Wertetabelle nach den richtigen Werten sucht. Aber dazu bräuchte ich jetzt wohl einen Excel- bzw. OpenOffice-Experten.
Auf jeden Fall vielen vielen Dank für Eure Mühe! :D
Friedemann
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