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| Aufgabe | Für welche Werte von t hat die Gleichung eine Lösung?
[mm] e^{tx}-te^x=0 [/mm] |
Hallo zusammen,
wir haben folgende Aufgabe erhalten (mit Lösung).
Wenn ich mir die Aufgabe anschaue, so kommt man doch automatisch auf t=1, da [mm] e^{1x}-1e^x=0.
[/mm]
Wenn man das ganze nun allerdings rechnerisch löst:
[mm] e^{tx}=te^x
[/mm]
[mm] ln(e^{tx})=ln(t)+ln(e^x)
[/mm]
tx=t+x
tx-x=ln(t)
x(t-1)=ln(t)
x=(ln(t))/(t-1)
Für t>0 und t ne 1 gibt es keine Lösung. Das ist rechnerisch auch klar.
Das ist auch die Lösung vom Lösungsbuch.
Wenn ich aber ja oben in der Gleichung t=1 einsetze, kommt ja eine wahre Aussage heraus.
Wo hab ich da meinen Denkfehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Fr 20.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Für welche Werte von t hat die Gleichung eine Lösung?
> [mm]e^{tx}-te^x=0[/mm]
>
> Hallo zusammen,
> wir haben folgende Aufgabe erhalten (mit Lösung).
> Wenn ich mir die Aufgabe anschaue, so kommt man doch
> automatisch auf t=1, da [mm]e^{1x}-1e^x=0.[/mm]
Also geht es hier um die Funktion
[mm] f(t):=e^{tx}-te^x [/mm] mit [mm] x\in\IR [/mm] beliebig, aber fest.
> Wenn man das ganze nun allerdings rechnerisch löst:
> [mm]e^{tx}=te^x[/mm]
> [mm]ln(e^{tx})=ln(t)+ln(e^x)[/mm]
> tx=t+x
Diese Zeile ist falsch.
> tx-x=ln(t)
Hier ist es wieder richtig.
> x(t-1)=ln(t)
> x=(ln(t))/(t-1)
> Für t>0 und t ne 1 gibt es keine Lösung. Das ist
> rechnerisch auch klar.
[mm] $t>0\$ [/mm] muss wegen dem Logarithmus gelten.
> Das ist auch die Lösung vom Lösungsbuch.
> Wenn ich aber ja oben in der Gleichung t=1 einsetze, kommt
> ja eine wahre Aussage heraus.
> Wo hab ich da meinen Denkfehler?
Hier stand nicht viel richtiges.
Gruß
DieAcht
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Aber im Lösungsbuch steht genau dieser Lösungsweg drin (also nach x auflösen) und die Fragestellung habe ich genau so aus dem Buch übernommen.
Ich hätte dann die Gleichung nach t auflösen müssen, um die Frage richtig zu beantworten? Dann würde auch t=1 gehen, oder?
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Hallo,
> Aber im Lösungsbuch steht genau dieser Lösungsweg drin
> (also nach x auflösen) und die Fragestellung habe ich
> genau so aus dem Buch übernommen.
> Ich hätte dann die Gleichung nach t auflösen müssen, um
> die Frage richtig zu beantworten? Dann würde auch t=1
> gehen, oder?
Zunächst hast du im Themenstart ein paar Tipp- und Formulierungsfehler drin. Du meinst sicherlich dass für t>0 und [mm] t\ne{1} [/mm] Lösungen existieren.
Weshalb du für t=1 dennoch eine Lösung erhältst? Ganz einfach: der Term
[mm] \bruch{ln(t)}{t-1}
[/mm]
führt für t=1 zu dem unndefinierten Ausdruck 0/0, so dass hier auf Grund deiner richtigen Gleichung keine Aussage möglich ist. Da du durch Einsetzen von t=1 jedoch offensichtlich die Gleichung löst, kommt jetzt die Interpretationsfrage: für t=1 steht links immer 0, so dass es unendlich viele Lösungen gibt. Im allgemeinen wird in der Mathematik die Frage nach einer Lösung so verstanden, dass auch mehrere Lösungen den Fall abdecken. Sonst würde es etwa heißen: für welche t besitzt die Gleichung genau eine LÖsung oder etwas in der Art.
Die Antwort von Die Acht ist an dieser Stelle falsch und ich werde das gleich auch noch anmerken.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:34 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo DieAcht,
> Du hast nach [mm]x\[/mm] aufgelöst. Eigentlich hättest du nach [mm]t\[/mm]
> auflösen müssen, denn du betrachtest [mm]f(t)\[/mm] und nicht
> [mm]f(x)\[/mm].
> Nach [mm]t\[/mm] kann man übrigens hier nicht "analytisch"
> umformen.
>
> Meine Annahme ist, dass ihr
>
> [mm]f(x):=e^{tx}-te^x[/mm] mit [mm]t\in\IR[/mm] beliebig, aber fest
>
> betrachtet und du hast einfach für [mm]t=1\[/mm] eine Lösung
> angegeben, obwohl du für [mm]x\[/mm] eine Lösung finden musst.
>
> Dann passt auch
>
> [mm]x=\frac{\ln(t)}{t-1},[/mm]
>
> aber es existiert trotzdem kein [mm]x\in\IR[/mm] mit
>
> [mm]f(x)=e^{tx}-te^x=0.[/mm]
>
Ab hier ist deine Antwort leider völlig falsch. Ich habe das weiter unten erläutert.
Gruß, Diophant
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