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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Exponentialgleichungen
Exponentialgleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Exponentialgleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 Sa 12.06.2004
Autor: Josef

Bei folgender Exponentialgleichung komme ich nicht auf die richtige Lösung x = 2.

[mm]\wurzel[5]{(\bruch{3}{4})^{2x+1}}[/mm] : [mm]\wurzel[-3]{(\bruch{16}{15})^{x+1}}[/mm] =  [mm]\wurzel{(\bruch{4}{5})^x[/mm]

Wurzelschreibweise umwandeln in die Potenzschreibweise:

[mm](\bruch{3}{4})^{\bruch{2x+1}{5}}[/mm] : [mm](\bruch{16}{15})^{\bruch{x+1}{-3}}[/mm] = [mm](\bruch{4}{5})^{\bruch{x}{²}}[/mm]

Der Nenner des Exponenten muss eine natürliche Zahl sein. Man setzt das Minus einfach vom Nenner in den Zähler:

[mm](\bruch{3}{4})^{\bruch{2x+1}{5}}[/mm] : [mm](\bruch{16}{15})^{-\bruch{(x+1)}{3}}[/mm] = [mm](\bruch{4}{5})^{\bruch{x}{2}}[/mm]


Potenz mit negativen Exponent umwandeln in Potenz mit positiven Exponenten:

[mm](\bruch{3}{4})^{\bruch{(2x+1)}{5}}[/mm] : 1: [mm](\bruch{16}{15})^{\bruch{x+1}{3}}[/mm] = [mm](\bruch{4}{5})^{\bruch{x}{2}}[/mm]

Gleichung mit dem Kehrwert von  1 : [mm](\bruch{16}{15})^{\bruch{x+1}{3}}[/mm] multiplizieren:


[mm](\bruch{3}{4})^{\bruch{2x+1}{5}}[/mm] = [mm](\bruch{4}{5})^{\bruch{x}{2}}[/mm] * [mm](\bruch{16}{15})^{\bruch{x+1}{3}}[/mm]

Eine Potenz kann in Faktoren aufgespaltet werden:

[mm](\bruch{3}{4})^\bruch{2x}{5}[/mm] * [mm](\bruch{3}{4})^\bruch{1}{5}[/mm] = [mm](\bruch{4}{5})^\bruch{x}{2}[/mm] * [mm](\bruch{16}{15})^\bruch{x}{3}[/mm] * [mm](\bruch{16}{15})^\bruch{1}{3}[/mm]

Exponenten vereinfachen:

[mm](\bruch{3}{4})^{0,4x}[/mm] * [mm](\bruch{3}{4})^{0,2}[/mm] = [mm](\bruch{4}{5})^{0,5x}[/mm] * [mm](\bruch{16}{15})^{0,333x}[/mm] * [mm](\bruch{16}{15})^{0,333}[/mm]

Basen vereinfachen:

[mm]0,75^{0,4x}[/mm] * [mm]0,75^{0,2}[/mm] = [mm]0,8^{0,5x}[/mm] * [mm]1,0666^{0,333x}[/mm] * [mm]1,0666^{0,333}[/mm]

weiter vereinfachen:

[mm]0,75^{0,4x}[/mm] * 0,944087 = [mm]0,8^{0,5x}[/mm] * [mm]1,0666^{0,333x}[/mm] * 1,0217

Gleichung dividieren durch 0,944087:

[mm]0,75^{0,4x}[/mm] = [mm]0,8^{0,5x}[/mm] * [mm]1,0666^{0,333x}[/mm] * 1,082209

Beiderseits wird logarithmiert:

0,4x*lg 0,75 = (0,5x * lg 0,8) + (0,333x * lg 1,0666) + lg 1,082209

ausmultiplizieren:

(0,4x*-0,124938) = (0,5x*-0,09691) + (0,333x*0,028) + 0,034311

-0,049978x = -0,048455x + 0,009324x + 0,034311

ordnen und zusammenfassen:



-0,010844x = 0,034311
x = -3,16405

Als Lösung muß jedoch ergeben: x = 2.

Was habe ich falsch gemacht?

        
Bezug
Exponentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:53 Sa 12.06.2004
Autor: Marc

Hallo Josef,

> Bei folgender Exponentialgleichung komme ich nicht auf die
> richtige Lösung x = 2.
>  
> [mm]\wurzel[5]{(\bruch{3}{4})^{2x+1}}[/mm] :
> [mm]\wurzel[-3]{(\bruch{16}{15})^{x+1}}[/mm] =  

Das sieht sehr "gewöhnungsbedürftig" aus, aber gut, warum nicht.

> [mm]\wurzel{(\bruch{4}{5})^x[/mm]
>  
> Wurzelschreibweise umwandeln in die Potenzschreibweise:
>  
> [mm](\bruch{3}{4})^{\bruch{2x+1}{5}}[/mm] :
> [mm](\bruch{16}{15})^{\bruch{x+1}{-3}}[/mm] =
> [mm](\bruch{4}{5})^{\bruch{x}{²}}[/mm]
>  
> Der Nenner des Exponenten muss eine natürliche Zahl sein.
> Man setzt das Minus einfach vom Nenner in den Zähler:
>  
> [mm](\bruch{3}{4})^{\bruch{2x+1}{5}}[/mm] :
> [mm](\bruch{16}{15})^{-\bruch{(x+1)}{3}}[/mm] =
> [mm](\bruch{4}{5})^{\bruch{x}{2}}[/mm]
>  
>
> Potenz mit negativen Exponent umwandeln in Potenz mit
> positiven Exponenten:
>  
> [mm](\bruch{3}{4})^{\bruch{(2x+1)}{5}}[/mm] : 1:
> [mm](\bruch{16}{15})^{\bruch{x+1}{3}}[/mm] =
> [mm](\bruch{4}{5})^{\bruch{x}{2}}[/mm]
>  
> Gleichung mit dem Kehrwert von  1 :
> [mm](\bruch{16}{15})^{\bruch{x+1}{3}}[/mm] multiplizieren:

Warum? Hier steckt der Fehler, denke ich. Auf der linken Seite wird doch bereits durch einen Kehrwert dividiert (": 1:..."); es müßte also heißen:

[mm](\bruch{3}{4})^{\bruch{(2x+1)}{5}}\red{*}(\bruch{16}{15})^{\bruch{x+1}{3}}=(\bruch{4}{5})^{\bruch{x}{2}}[/mm]

> [mm](\bruch{3}{4})^{\bruch{2x+1}{5}}[/mm] =
> [mm](\bruch{4}{5})^{\bruch{x}{2}}[/mm] *
> [mm](\bruch{16}{15})^{\bruch{x+1}{3}}[/mm]
>  
> Eine Potenz kann in Faktoren aufgespaltet werden:
>  
> [mm](\bruch{3}{4})^\bruch{2x}{5}[/mm] * [mm](\bruch{3}{4})^\bruch{1}{5}[/mm]
> = [mm](\bruch{4}{5})^\bruch{x}{2}[/mm] *
> [mm](\bruch{16}{15})^\bruch{x}{3}[/mm] *
> [mm](\bruch{16}{15})^\bruch{1}{3}[/mm]
>  
> Exponenten vereinfachen:
>  
> [mm](\bruch{3}{4})^{0,4x}[/mm] * [mm](\bruch{3}{4})^{0,2}[/mm] =

Dezimalzahlen würde ich versuchen zu vermeiden.

Magst du es erneut rechnen :-)?
Ich habe es noch nicht getan, ich würde aber direkt die zweite Gleichung logarithmieren, dann hat man direkt eine lineare Gleichung und kann sich die ganzen Potenzgesetz sparen.

Viel Spaß,
Marc





Bezug
                
Bezug
Exponentialgleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:00 So 13.06.2004
Autor: Josef

Hallo Marc,

vielen Dank für deine Hilfe. Ich habe deinen Tipp befolgt, bereits die zweite Gleichung zu logarithmieren. Dieser Rechenschritt führt zum richigen Lösungsergebnis. Damit erübrigen sich weitere Rechenschritte.

[mm]\wurzel[5]{(\bruch{3}{4})^{2x+1}}[/mm] : [mm]\wurzel[-3]{(\bruch{16}{15})^{x+1}}[/mm] =  [mm]\wurzel{(\bruch{4}{5})^x}[/mm]

Wurzelschreibweise umwandeln in die Potenzschreibweise:

[mm](\bruch{3}{4})^{\bruch{(2x+1)}{5}}[/mm] : [mm](\bruch{16}{15})^{\bruch{(x+1)}{-3}}[/mm] = [mm](\bruch{4}{5})^{\bruch{x}{2}}[/mm]

Der Nenner des Exponenten muss eine natürliche Zahl sein. Mann setzt das Minus einfach vom Nenner in den Zähler:

[mm](\bruch{3}{4})^{\bruch{(2x+1)}{5}}[/mm] : [mm](\bruch{16}{15})^{\bruch{-(x+1)}{3}}[/mm] = [mm](\bruch{4}{5})^\bruch{x}{2}}[/mm]

Beiderseits wird logarithmiert:

(0,4x+0,2)*lg 0,75 - (-0,333x-0,333)*lg 1,0666 = 0,5x*lg 0,8

(0,4x+0,2)*-0,124938 + (0,333x+0,333)*0,028 = 0,5x*-0,09691

ausmultiplizieren:

-0,049975x - 0,0249876 + 0,0093x + 0,0093 = -0,048455x

ordnen und zusammenfassen:

0,00778x = 0,0156876
x = 2

Gruß Josef,



Hallo aristoteles,

Mathematik hat mich schon immer fasziniert und ich habe seit ein paar Jahren Mathematik zu meinem Hobby gemacht. Das "www.matheraum.de"-Forum ist sehr hilfreich bei meinem Selbststudium.

Bezug
        
Bezug
Exponentialgleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:11 So 13.06.2004
Autor: aristoteles-

nur zum trost, josef: zk wird auf jeden fall einfacher

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