Exponentialmatrix - Ungleichun < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Do 10.06.2010 | | Autor: | Storm |
| Aufgabe | | Es existieren Konstanten w>0 und [mm] M\ge1, [/mm] sodass [mm] |e^{At}|\le Me^{-wt} [/mm] mit [mm] A\in\mathbb{R}^{n,n} [/mm] gilt. |
Hallo,
kann mir einer einen Tipp geben, wie ich diese Ungleichung zeigen kann? Besuche derzeit ein Seminar und diese Ungleichung wird in meinem Artikel leider nur angegeben.
Vielen Dank
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Do 10.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es existieren Konstanten w>0 und [mm]M\ge1,[/mm] sodass [mm]|e^{At}|\le Me^{-wt}[/mm]
> mit [mm]A\in\mathbb{R}^{n,n}[/mm] gilt.
> Hallo,
>
> kann mir einer einen Tipp geben, wie ich diese Ungleichung
> zeigen kann? Besuche derzeit ein Seminar und diese
> Ungleichung wird in meinem Artikel leider nur angegeben.
Kann es sein, dass Du uns noch einige Voraussetzungen verschwiegen hast ?
Das
[mm]|e^{At}|\le Me^{-wt}[/mm]
gilt im allgemeinen nicht. Denn diese Ungleichung zieht nach sich:
[mm]e^{At} \to 0[/mm] für t [mm] \to \infty
[/mm]
Das ist für die Nullmatrix oder die Einheitsmatrix sicher nicht richtig
FRED
>
> Vielen Dank
> Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Do 10.06.2010 | | Autor: | Storm |
Leider steht in dem Artikel weiter nichts dazu, außer ein Verweis zu einer Übung, bloß hab ich den Teil nicht. Ich werd mal den Dozenten anschreiben und Fragen ob er mir die komplette Übungsaufgabe schicken kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Storm |
Hallo,
habe jetzt die Aufgabenstellung bekommen, welche wie folgt lautet:
Sei [mm] A\in\mathbb{R}^{n,n}, \sigma(A) [/mm] das Spektrum von A und w>s(A), wobei [mm] s(A):=max\{Re\lambda:\lambda\in\sigma(A)\}, [/mm] zeigen sie, dass es dann eine konstante M=M(w) gibt, mit [mm] |e^{At}|\le M*e^{wt} [/mm] für alle [mm] t\ge [/mm] 0.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Storm |
Geht das vlt. auf dem Weg? *editiert*
[mm] |e^{At}|=|\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^{n}t^{n}}{n!}|\le 1+|At|+\frac{1}{2}|A^{2}t^{2}|+...=1+|A|t+\frac{1}{2}|A^{2}|t^{2}+...
[/mm]
[mm] |A|=\sup_{|x|=1}|Ax|
[/mm]
[mm] |Ax|=|\lambda x|=|\lambda||x|=|\lambda|
[/mm]
Jetzt müsste man ja nur noch den Eigenwert abschätzen mit w
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