Exponentialrechnung Hühner < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Auf einer Geflügelfarm mit 1000 Hühnern erkrankten an einem Tag 50 Hühner an einer Virusinfektion. Für die Überlegung wie sich die Infektion ausbreiten könnte, wurden unterschiedliche Modelle erstellt. Die Besitzerin der Farm rechnet mit 50 weiteren erkrankten Hühnern pro Tag. Ihr Mann meint, da 5% der Hühner erkrankt sind, könnte es sein, dass sich täglich 5% der gesunden Hühner neu infizieren könnten.
a) Wie viele Hühner sind nach den einzelnen Vorhersagen am zweiten, fünften bzw. zehnten Tag krank? Stelle für jedes Modell zur Berechnung der Anzahl der erkrankten Hühner eine Gleichung auf. |
Meine Idee:
Das Wachstumsgesetz nach der Frau:
N(t)=50*t
Nach dem Mann:
N(t)= [mm] 50*1,05^t
[/mm]
Nach Mann:
[mm] N(2)=50*1,05^2=55,125 [/mm] ~ 55 Hühner
N(5)= [mm] 50*1,05^5= [/mm] 63,814078 = 63 Hühner
N(10)= [mm] 50*1,05^{10} [/mm] =81,444= 81 Hühner
Nach Frau:
N(2)=50*2=100 Hühner
N(5)=50*5= 250 Hühner
N(10)= 50*10= 500 Hühner
Stimmt meine Überlegung, ich bin mir nämlich nicht sicher, ob ich den ersten Tag als N0 oder als N1 rechnen soll?
|
|
| |
|
Hallo!
Die Rechnung der Frau stimmt so. Ggf kann man das noch etwas schleifen, siehe dazu unten.
Allerdings hast du bei der Rechnung des Mannes ein Problem.
Am Anfang (t=0) sind 50 Hühner krank. Am nächsten Tag sind es 50*1,05= ~53 Hühner, und nach 62 Tagen sind es 1030 Hühner.
Das passt also nicht, denn am nächsten Tag müssten wieder etwa 50 Hüher erkranken, denn 5% von 995 ist immernoch knapp 50. Und natürlich können nicht mehr Hühner krank sein, als überhaupt existieren.
Das Problem ist, daß die Grundmenge nicht die Anzahl der kranken Hühner ist, sondern die Anzahl der gesunden. Von denen erkranken täglich 5%.
Was nun die mathematische Formulierung angeht: Mit [mm] K_0 [/mm] (Ich benutz das K mal für "krank") meint man ja die Anzahl der kranken Hühner bei t=0, Und [mm] K_1 [/mm] bzw K(1) ist dann der Zustand nach einem Tag.
Jetzt sind am erstem Morgen [mm] K_0=50 [/mm] Hühner krank. Die Formel für die Frau kannst du also besser so schreiben:
[mm] K(t)=K_0+K_0*t=K_0*(t+1)
[/mm]
Der Mann rechnet mit den gesunden Tieren. Am ersten Morgen sind [mm] G_0=995 [/mm] Tiere gesund, und diese Anzahl wird kleiner:
[mm] G(t)=G_0*0,95^t
[/mm]
Krank sind demnach
[mm] K(t)=1000-G(t)=K_0-G_0*0,95^t
[/mm]
|
|
|
|
