Exponentialreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man zeige, dass für [mm] z\in \IC [/mm] gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{z}{n})^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!} [/mm] . (Tipp: Binomischer Lehrsatz) |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{z}{n})^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}
[/mm]
Beweis:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{z}{n})^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{z}{n})^n [/mm] = exp(z) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}
[/mm]
[mm] (1+\bruch{z}{n})^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} \bruch{z^k}{k!}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^n \bruch{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}*\bruch{z^k}{k!}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^n 1(1-\bruch{1}{n})...(1-\bruch{k-1}{n})*\bruch{z^k}{k!} \le [/mm] exp(z)
[mm] \Rightarrow [/mm] Folge [mm] ((1+\bruch{z}{n})^n)_n>1 (z\ge [/mm] 0) ist n.o.b. (nach oben beschränkt)
[mm] \Rightarrow [/mm] Folge ist monoton wachsend
[mm] \Rightarrow [/mm] Folge ist konvergent
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{z}{n})^n \le [/mm] exp(z)
Es gilt:
[mm] (1+\bruch{z}{n})^n \ge \summe_{k=o}^m 1(1-\bruch{1}{n}...(1-\bruch{k-1}{n})*\bruch{z^k}{k!} [/mm] für [mm] m\le [/mm] n
Es sei nun m fest und n laufe
[mm] \Rightarrow [/mm] l.S. konvergiert
[mm] \Rightarrow [/mm] r.S. konvergiert [mm] \Rightarrow [/mm] konvergiert gegen [mm] \summe_{k=0}^m \bruch{z^k}{k!}
[/mm]
Also gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{z}{n})^n \ge \summe_{k=0}^m \bruch {z^k}{k!} \forall m\in \IN
[/mm]
Also auch:
[mm] exp(z)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!} \le \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{z}{n})^n
[/mm]
Anmerkung: Ich hab diesen Beweis in einem Skript gefunden, jedoch bin ich mir nicht sicher ob der Beweis so geht (klar - was im Skript steht, sollte eigentlich stimmen), da aber im Skript von x die Rede ist, und nicht von z bin ich mir nicht sicher.
|
|
| |
|
Hallo,
einen Tippfehler habe ich gesehen und markiert, abgesehen davon könnte der Beweis (grob drübergeschaut) ganz schön sein - wenn es nicht um komplexe Zahlen ginge: [mm] \le [/mm] ist im Zusammenhang mit komplexen Zahlen recht unbrauchbar. Ich fürchte, ganz so, wie Du es Dir gedacht hast, geht es nicht...
Gruß v. Angela
> Man zeige, dass für [mm]z\in \IC[/mm] gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{z}{n})^n[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}[/mm] . (Tipp: Binomischer
> Lehrsatz)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{z}{n})^n[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}[/mm]
>
> Beweis:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{z}{n})^n[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{z}{n})^n[/mm]
> = exp(z) = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}[/mm]
>
> [mm](1+\bruch{z}{n})^n[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\
k} \bruch{z^k}{\red{k!}}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^n \bruch{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}*\bruch{z^k}{k!}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^n 1(1-\bruch{1}{n})...(1-\bruch{k-1}{n})*\bruch{z^k}{k!} \le[/mm]
> exp(z)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Folge [mm]((1+\bruch{z}{n})^n)_n>1 (z\ge[/mm] 0) ist
> n.o.b. (nach oben beschränkt)
> [mm]\Rightarrow[/mm] Folge ist monoton wachsend
> [mm]\Rightarrow[/mm] Folge ist konvergent
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{z}{n})^n \le[/mm]
> exp(z)
>
> Es gilt:
> [mm](1+\bruch{z}{n})^n \ge \summe_{k=o}^m 1(1-\bruch{1}{n}...(1-\bruch{k-1}{n})*\bruch{z^k}{k!}[/mm]
> für [mm]m\le[/mm] n
>
> Es sei nun m fest und n laufe
> [mm]\Rightarrow[/mm] l.S. konvergiert
> [mm]\Rightarrow[/mm] r.S. konvergiert [mm]\Rightarrow[/mm] konvergiert gegen
> [mm]\summe_{k=0}^m \bruch{z^k}{k!}[/mm]
> Also gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{z}{n})^n \ge \summe_{k=0}^m \bruch {z^k}{k!} \forall m\in \IN[/mm]
>
> Also auch:
> [mm]exp(z)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!} \le \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{z}{n})^n[/mm]
>
> Anmerkung: Ich hab diesen Beweis in einem Skript gefunden,
> jedoch bin ich mir nicht sicher ob der Beweis so geht (klar
> - was im Skript steht, sollte eigentlich stimmen), da aber
> im Skript von x die Rede ist, und nicht von z bin ich mir
> nicht sicher.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:48 Sa 27.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Man zeige, dass für [mm]z\in \IC[/mm] gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{z}{n})^n[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!}[/mm] . (Tipp: Binomischer Lehrsatz)
Man kann per Induktion (nach $k [mm] \le [/mm] n$) zeigen, dass $0 [mm] \le [/mm] 1 - [mm] \prod_{i=n-k+1}^n \frac{i}{n} \le \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k-1} [/mm] i = [mm] \frac{k (k - 1)}{2 n}$ [/mm] gilt.
Damit folgt (mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes) [mm] $\left| (1+\bruch{z}{n})^n - \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{z^k}{k!} \right| \le \sum_{k=2}^n \frac{|z|^k}{2 n (k - 2)!} [/mm] + [mm] \sum_{k=n+1}^\infty \frac{|z|^k}{k!}$.
[/mm]
Der hintere Teil geht fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen 0 (da die Exponentialreihe konvergiert).
Es reicht also aus, [mm] $\sum_{k=2}^n \frac{|z|^k}{2 n (k - 2)!} \to [/mm] 0$ zu zeigen fuer $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
(Jetzt braucht man nur noch etwas ueber die Konvergenz reeller Reihen zu wissen.)
LG Felix
|
|
|
|
