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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Exponentialverteilung
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Exponentialverteilung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Sa 11.03.2017
Autor: aurora42

Aufgabe
Der Studienleiter für Maschinenbau kann es nicht lassen und inspiziert den Maschinenraum des Schiffs. Der Maschinist ist froh, endlich einmal wieder fachsimpeln zu können und erzählt: „Schiffsmotoren  wie unserer sind sehr verbreitet; es ist bekannt, dass 50% dieses Typs eine Lebensdauer von mindestens fünf Jahren haben.“ Den Studienleiter beruhigt diese Aussage nicht sehr, denn er weiß, dass die Lebensdauer solcher Motoren als exponentialverteilte Zufallsgröße aufzufassen ist.
Bestimmen Sie den Erwartungswert für die Lebensdauer dieses Motorentyps.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich habe die Aufgabe wie folgt gelöst:

p(X≥5 Jahre)=0,5
Die Lebensdauer X der Schiffsmotoren ist eine exponentialverteilte Zufallsgröße.
Die Verteilungsfunktion für eine exponentialverteilte Zufallsgröße lautet:
FX(x)=∫fX(t)dt=1-e^(-αx)  für x≥0
Es gilt:
p(X≥5 Jahre)=1-p(X<5 Jahre)=1-FX (5 Jahre)=1-(1-e^(-α5) )=0,5
Hieraus folgt:
e^(-α5)=0,5,also-α*5=ln⁡(0,5)
Daraus folgt dann:
α=0,1386
Für den Erwartungwert erhält man dann
E(X)=1/α=1/0,1386=7,21 Jahre
Der Erwartungswert E(X) für diesen Motortyp beträgt 7,21 Jahre.

Ich habe für diese Lösung 0 Punkte bekommen und kann leider nicht nachvollziehen, was ich falsch gemacht habe.
Das einzige, was mich etwas verwundert ist, das der Studienleiter durch diese Aussage nicht beruhigt ist. Aufgrund des sehr kleinen α ist die Exponentialfunktion sehr langsam fallend und somit der errechnete Erwartungswert nicht so schlecht. Aber wahrscheinlich liegt hier mein Problem.

Ich wäre sehr dankbar für einen Hinweis, wie die Aufgabe korrekt zu lösen ist, bzw. wenn mir jemand mitteilen könnte, wo der Fehler liegt.

Vielen Dank
Melanie



        
Bezug
Exponentialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Sa 11.03.2017
Autor: Diophant

Hallo,

>

> Ich habe für diese Lösung 0 Punkte bekommen und kann
> leider nicht nachvollziehen, was ich falsch gemacht habe.

Deine Rechnung ist richtig. Die Ursache für die 0 Punkte muss also eine andere sein. Deine Frage lässt erahnen, dass es etwas mit falschen Schreibweisen zu tun haben könnte.

Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Exponentialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:59 Sa 11.03.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

Diophant hat das wesentliche schon gesagt, aber noch 2 Anmerkungen:


>  Hieraus folgt:
>  e^(-α5)=0,5,also-α*5=ln⁡(0,5)
>  Daraus folgt dann:
>  α=0,1386

Nein!
Denn offentsichtlich ist $-0,1386*5 = -0.693 [mm] \not= \ln(0,5)$ [/mm]
Korrekt wäre: $a = [mm] \frac{\ln 2}{5}$ [/mm]

Dieses Ergebnis kommt man aber auch schneller, wenn man weiß, was der Median der Exponentialverteilung ist.
Der Median ist dabei genau der Wert, für den 50% der Werte kleinergleich diesem Wert sind und das wurde hier in der Aufgabenstellung angegeben.

Allgemein gilt nämlich für den Mediam m der Exponentialverteilung: $m = [mm] \frac{\ln 2}{a}$ [/mm]

Nach Aufgabenstellung gilt $m=5$ und daraus erhält man sofort (wieder):
$a = [mm] \frac{\ln 2}{5}$ [/mm]

Und damit als Erwartungswert: [mm] $\frac{5}{\ln 2} \approx [/mm] 7,21$

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Exponentialverteilung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Sa 11.03.2017
Autor: aurora42

Hallo Diophant, hallo Gono,
vielen Dank für Eure Antworten.

Leider bin ich jetzt noch mehr verwirrt als vorher.

@Gono: Warum schreibst Du, dass
$ [mm] -0,1386\cdot{}5 [/mm] = -0.693 [mm] \not= \ln(0,5) [/mm] $

Sofern mein Taschenrechner korrekt rechnet, gilt:
[mm] \ln(0,5) [/mm]  = -0.693

Das mit dem Median ist sehr interessant. War mir so noch nicht bekannt und wurde im Skript auch nicht so gelehrt, so dass eine entsprechende Lösung hoffentlich nicht erwartet wurde.

Was mich nur sehr ärgert und wundert ist, dass ich 0 Punkte für die Aufgabe bekommen habe, weil sie komplett falsch sein soll.

Das kann ich leider immer noch nicht nachvollziehen :-(

Schöne Grüße
Melanie


Bezug
                        
Bezug
Exponentialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 Sa 11.03.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> @Gono: Warum schreibst Du, dass
> [mm]-0,1386\cdot{}5 = -0.693 \not= \ln(0,5)[/mm]

weil es so ist!

> Sofern mein Taschenrechner korrekt rechnet, gilt:
>  [mm]\ln(0,5)[/mm]  = -0.693

Dein Taschenrechner kann gar nicht korrekt "rechnen". [mm] $\ln(0,5)$ [/mm] ist eine irrationale Zahl, d.h. ihre Dezimaldarstellung ist unendlich lang und nichtperiodisch… offenbar scheitert es schon an der Länge, wenn man behauptet, dass das "= -0.693" ist. Es ist höchstent [mm] $\ln(0,5) \approx [/mm] -0.693$.
Da du aber mit dem Wert weiter rechnest, solltest du keine gerundeten Werte, sondern mit korrekten Werten weiterrechnen und in diesem Sinne ist der korrekte Wert eben [mm] $\ln(0,5)$ [/mm] und nicht $-0.693$

> Das mit dem Median ist sehr interessant. War mir so noch
> nicht bekannt und wurde im Skript auch nicht so gelehrt, so
> dass eine entsprechende Lösung hoffentlich nicht erwartet
> wurde.

Wenn ihr das nicht hattet, kannst du das tatsächlich ignorieren.
  

> Was mich nur sehr ärgert und wundert ist, dass ich 0
> Punkte für die Aufgabe bekommen habe, weil sie komplett falsch sein soll.

Sie ist nicht komplett falsch gelöst, d.h. dies kann nicht der Grund für deine 0 Punkte sein.
Sofern die Aufgabe so gestellt war, wie du sie zitiert hast, und du sie so gelöst hast, wie beschrieben, hätte ich dir für die oben beschriebene Ungenauigkeit einen Punkt abgezogen… je nachdem, wie viele Punkte es auf die Aufgabe gab, bleiben da mehr oder weniger viele Punkte übrig…

Aber wir können hier nur orakeln, warum du 0 Punkte bekommen hast… wie wäre es mal damit, beim Korrektor nachzufragen, denn nur der kann dir das sicher beantworten…

Gruß,
Gono

Bezug
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