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Exponentialverteilung: Zufallsvariable
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:50 Fr 07.08.2020
Autor: teskiro

Aufgabe
Sei $L$ eine stetige Zufallsvariable, die eine Lebensdauer beschreibt. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) Die Verteilung der verbleibenden Lebensdauer eines Individuums hängt nicht von seinem Alter ab, d.h.

$P(L > x + [mm] t\; \vert \; [/mm] L > t) = P(L > [mm] x)\quad \forall [/mm] x, t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty)$ [/mm]

(ii) Es gibt ein [mm] $\lambda \in [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm] $ mit $ L [mm] \sim Exp(\lambda)$. [/mm]

Bevor ich mit meinem Ansatz anfange, möchte ich versuchen, die maßtheoretischen Begriffe aus unserer Vorlesung anhand dieser Aufgabe kurz einzuordnen. Ich verstehe da nämlich einiges nicht.


In der Vorlesung hatten wir folgende Definition:

Definition
________

Seien [mm] $(\Omega, \mathcal{F})$ [/mm] und [mm] $(\Omega', \mathcal{F}')$ [/mm] zwei Messräume.

a. Eine Abbildung  $f: [mm] \Omega \rightarrow \Omega'$ [/mm] heißt [mm] $\mathcal{F} [/mm] - [mm] \mathcal{F'}$ [/mm] - messbar, falls [mm] $f^{- 1} [/mm] (A') [mm] \in \mathcal{F}\quad \forall [/mm] A' [mm] \in \mathcal{F}'$. [/mm]

b. Sei auf [mm] $(\Omega, \mathcal{F})$ [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ definiert.
Eine Abbildung $X: [mm] \Omega \rightarrow \Omega'$ [/mm] heißt eine [mm] ($\Omega', \mathcal{F}')$ [/mm] - Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, [/mm] P)$, falls $X$  [mm] $\mathcal{F} [/mm] - [mm] \mathcal{F}' [/mm] $ - messbar ist.

c.  Falls [mm] $(\Omega', \mathcal{F}') [/mm] = [mm] (\mathbb{R} [/mm] , [mm] \mathcal{B})$, [/mm] spricht man von reellen messbaren Abbildungen bzw. Zufallsvariablen.
Falls [mm] $(\Omega', \mathcal{F}') [/mm] = [mm] (\mathbb{R}^{*} [/mm] , [mm] \mathcal{B}^{*})$ [/mm] spricht man von numerischen messbaren Abbildungen bzw. Zufallsvariablen.
Dabei sind [mm] $\mathbb{R}^{*} [/mm] := [mm] \mathbb{R} \cup \{ - \infty, \infty \}$ [/mm]  und  [mm] $\mathcal{B}^{*} [/mm] := [mm] \{ B, B \cup \{ - \infty \}, B \cup \{ \infty \}, B \cup \{ - \infty, \infty \}\; \vert \; B \in \mathcal{B} \}$ [/mm]

d. Für reelle (numerische) messbare Funktionen $f, g$ setze
[mm] $\{ f \in B \} [/mm] := [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; f(\omega) \in B \} [/mm] = [mm] f^{- 1}(B), \quad [/mm] B [mm] \in \mathcal{B}(\mathcal{B}^{\*})$ [/mm] und
$ [mm] \{ f \le g \} [/mm] := [mm] \{ \omega \in \Omega \; \vert \; f(\omega) \le g(\omega) \}$. [/mm]
Analog werden [mm] $\{ f \ge g \}, \{ f < g \}, \{ f > g \}$ [/mm] und [mm] $\{ f \neq g \}$ [/mm] definiert.

Damit also von einer Zufallsvariable die Rede ist, brauchen wir:

* Zwei Maßräume [mm] $(\Omega, \mathcal{F})$ [/mm] und [mm] $(\Omega', \mathcal{F}')$ [/mm]
* Ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ auf [mm] $(\Omega, \mathcal{F})$ [/mm]
* Eine Abbildung $X: [mm] \Omega \rightarrow \Omega'$, [/mm] die  [mm] $\mathcal{F} [/mm] - [mm] \mathcal{F}' [/mm] $ - messbar ist.

Erst dann ist von einer [mm] ($\Omega', \mathcal{F}')$ [/mm] - Zufallsvariable $X$ auf dem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, [/mm] P)$ die Rede.

In der Aufgabenstellung ist von einer stetigen Zufallsvariable $L$ die Rede.

Da frage ich mich, wie die Maßräume  [mm] $(\Omega, \mathcal{F})$ [/mm] und [mm] $(\Omega', \mathcal{F}')$ [/mm] in diesem Fall konkret aussehen und die Abbildung $L$. Zudem frage ich mich auch, wie $P$ konkret aussieht.

Vielleicht sind meine Fragen an dieser Stelle wirklich banal, aber ich tue mich unglaublich schwer damit, diese Begriffe richtig einzuordnen. Da wäre es gut, einmal das ganze an einem Beispiel gesehen zu haben.

Außerdem habe ich noch eine Frage zur Notation:

$P(L > x + t)$ ist doch eine Notation für $P( [mm] \{ L > x + t \} [/mm] )$.
In der Definition $d.$ haben wir die Definition [mm] $\{ f > g \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega \; \vert \; f(\omega) > g(\omega) \}$. [/mm]
In diesem Fall sind $f = L$ und $g = x + t$, oder wie ? Wobei $g$ hier eine zweidimensionale Funktion ist ?

Man merkt, ich habe noch Probleme mit diesen ganzen Begrifflichkeiten. Ich hoffe, mir kann das jemand verständlich erklären.

Meinen Ansatz zur Aufgabe poste ich heute Mittag, da ich  ihn noch weiter ausbauen will.

Ich würde mich aber freuen, wenn jemand mir die obigen Fragen beantworten könnte. Das wäre eine sehr große Hilfe!

Mfg, Tim

        
Bezug
Exponentialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 Fr 07.08.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorweg: Eine sehr schöne Frage!
Sowohl was die Art und Weise, als auch die Fragestellung beinhaltet.

>  Falls [mm](\Omega', \mathcal{F}') = (\mathbb{R}^{*} , \mathcal{B}^{*})[/mm]
> spricht man von numerischen messbaren Abbildungen bzw. Zufallsvariablen.

Bis hierhin war alles Standarddefiniton, normalerweise bezeichnet man die erweiterten reellen Zahlen mit [mm] $\overline{\IR}$ [/mm] und die dazugehörige [mm] Borelsche-$\sigma$-Algebra [/mm] analog mit [mm] $\overline{\mathcal{B}}$. [/mm]
Das ist aber ja nur Notation.

> Damit also von einer Zufallsvariable die Rede ist, brauchen wir:
>  
> * Zwei Maßräume [mm](\Omega, \mathcal{F})[/mm] und [mm](\Omega', \mathcal{F}')[/mm]
>  
> * Ein Wahrscheinlichkeitsmaß [mm]P[/mm] auf [mm](\Omega, \mathcal{F})[/mm]
>  
> * Eine Abbildung [mm]X: \Omega \rightarrow \Omega'[/mm], die  
> [mm]\mathcal{F} - \mathcal{F}'[/mm] - messbar ist.

[ok]

> In der Aufgabenstellung ist von einer stetigen
> Zufallsvariable [mm]L[/mm] die Rede.

Genau, und darum heißt es nachschlagen, wann wir eine ZV als "stetig" bezeichnen.
Du wirst feststellen: Das impliziert eine reellwertige ZV.

Wir haben also  $ [mm] (\Omega', \mathcal{F}') [/mm] = [mm] (\mathbb{R} [/mm] , [mm] \mathcal{B}) [/mm] $.

> Da frage ich mich, wie die Maßräume  [mm](\Omega, \mathcal{F})[/mm]
> und [mm](\Omega', \mathcal{F}')[/mm] in diesem Fall konkret aussehen
> und die Abbildung [mm]L[/mm]. Zudem frage ich mich auch, wie [mm]P[/mm]
> konkret aussieht.

Und jetzt kommt ein bisschen Verwirrung: Wie  [mm](\Omega, \mathcal{F}, P)[/mm] und L konkret aussehen ist völlig egal und uninteressant!

Interessant ist einzig, wie das sogenannte Bildmaß aussieht, d.h. das Maß [mm] $P_L$ [/mm] definiert über [mm] $P_L(A') [/mm] = [mm] P\left(L^{-1}(A')\right)$, [/mm] oder schöner geschrieben als $P(L [mm] \in [/mm] A)$.
Dies definiert ein WMaß auf dem Bildraum(!), d.h. auf [mm] $(\Omega', \mathcal{F}')$ [/mm] und wir bekommen einen Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega', \mathcal{F}', P_L)$ [/mm]

Und nur dieser Wahrscheinlichkeitsraum ist meistens interessant und gegeben.

So auch bei obiger Aussage: Die Aussage unter (i) ist eine Aussage über das Bildmaß und zwar für jedes Tupel  [mm](\Omega, \mathcal{F}, P, L)[/mm] für das [mm] $P_L$ [/mm] die oben genannte Eigenschaft hat.

> Vielleicht sind meine Fragen an dieser Stelle wirklich
> banal, aber ich tue mich unglaublich schwer damit, diese
> Begriffe richtig einzuordnen. Da wäre es gut, einmal das
> ganze an einem Beispiel gesehen zu haben.

Deine Fragen sind alles andere als banal und ich finde, jeder sollte sich mal so damit auseinandersetzen wie du…

Du kannst dir immer ein triviales Beispiel konstruieren, indem du  $ [mm] (\Omega, \mathcal{F}) [/mm] = [mm] (\mathbb{R} [/mm] , [mm] \mathcal{B}) [/mm] $ setzt und die gewünschte Verteilung als Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ definierst.
Dann ist die Identität eine Zufallsvariable mit den gewünschten Eigenschaften (kannst du gern mal nachrechnen).

> Außerdem habe ich noch eine Frage zur Notation:
>  
> [mm]P(L > x + t)[/mm] ist doch eine Notation für [mm]P( \{ L > x + t \} )[/mm].

Ja, oder noch anders geschrieben wie oben (zum späteren besseren Verständnis):
[mm] $P\left(L \in (x+t,\infty)\right)$ [/mm]

>  
> In der Definition [mm]d.[/mm] haben wir die Definition [mm]\{ f > g \} = \{ \omega \in \Omega \; \vert \; f(\omega) > g(\omega) \}[/mm].
>  
> In diesem Fall sind [mm]f = L[/mm] und [mm]g = x + t[/mm], oder wie ? Wobei [mm]g[/mm]
> hier eine zweidimensionale Funktion ist ?

Nein, viel trivialer: Ihr hattet bestimmt folgende Aussage: Für reellwertige (oder numerische) Funktionen gilt:
$f [mm] \text{ meßbar } \gdw \{f \le c\} \text{ meßbar } \forall c\in\IR$ [/mm]

Oder äquivalent dazu:
$f [mm] \text{ meßbar } \gdw \{f > c\} \text{ meßbar } \forall c\in\IR$ [/mm]

Was noch wichtig ist zum Verständnis: In der Aufgabe wird von Verteilung gesprochen. Wie ist denn die Verteilungsfunktion einer ZV definiert?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Exponentialverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:52 Sa 08.08.2020
Autor: teskiro

Vielen Dank für deine Erklärung und die nette Anmerkung.
Dann bin ich beruhigt, dass ich mir nicht über unnötige Fragestellungen den Kopf zerbrochen habe. Ich komme etwas spät mit meinen Ansatz, aber ich habe mir bei dieser Antwort sehr viel Zeit gelassen, um zu verstehen, was du meinst. Ich werde auf jeden Abschnitt detailliert eingehen und klar machen, wie ich das verstanden habe und wo ich noch Fragen habe.




> Und jetzt kommt ein bisschen Verwirrung: Wie  [mm](\Omega, \mathcal{F}, P)[/mm]
> und L konkret aussehen ist völlig egal und uninteressant!
>  
> Interessant ist einzig, wie das sogenannte Bildmaß
> aussieht, d.h. das Maß [mm]P_L[/mm] definiert über [mm]P_L(A') = P\left(L^{-1}(A')\right)[/mm],
> oder schöner geschrieben als [mm]P(L \in A)[/mm].
>  Dies definiert
> ein WMaß auf dem Bildraum(!), d.h. auf [mm](\Omega', \mathcal{F}')[/mm]
> und wir bekommen einen Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega', \mathcal{F}', P_L)[/mm]
>  
> Und nur dieser Wahrscheinlichkeitsraum ist meistens
> interessant und gegeben.
>  
> So auch bei obiger Aussage: Die Aussage unter (i) ist eine
> Aussage über das Bildmaß und zwar für jedes Tupel  
> [mm](\Omega, \mathcal{F}, P, L)[/mm] für das [mm]P_L[/mm] die oben genannte
> Eigenschaft hat.


Hier taucht der Begriff des "Bildmaßes" auf. Also tippe ich kurz ab, wie wir das Bildmaß und Verteilung einer Zufallsvariablen definiert haben.


Bildmaß
________

Sei [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ [/mm] ein [mm] \textbf{Maßraum}, $(\Omega', \mathcal{F}')$ [/mm] ein Messraum und $f$ eine [mm] $\mathcal{F} [/mm] - [mm] \mathcal{F}'$ [/mm] - messbare Abbildung. Durch [mm] $\mu_{f}(A') [/mm] := [mm] \left ( \mu \circ f^{- 1} \right [/mm] ) (A') [mm] \quad \forall [/mm] A' [mm] \in \mathcal{F}'$ [/mm] ist ein Maß [mm] $\mu_{f}$ [/mm] auf [mm] $(\Omega', \mathcal{F}')$ [/mm] definiert. Das Maß [mm] $\mu_{f}$ [/mm] heißt das Bildmaß von [mm] $\mu_{f}$ [/mm] unter $f$ oder auch das durch $f$ transponierte Maß.

Verteilung
___________

Falls [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, [/mm] P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $X$ eine reelle (numerische) Zufallsvariable ist, dann ist das transportierte Maß [mm] $P_{X}(B) [/mm] := P(X [mm] \in [/mm] B) = [mm] P(X^{- 1}(B))$, [/mm] $B [mm] \in \mathcal{B} (\mathcal{B}^{\*})$ [/mm] offenbar ein W - Maß auf [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ [/mm] (bzw. [mm] $(\mathbb{R}^{\*}, \mathcal{B}^{\*})$). $P_{X}$ [/mm] heißt die Verteilung der Zufallsvariablen $X$. Man schreibt $X [mm] \sim [/mm] D$, falls $D$ die Verteilung von $X$ ist.


In der Aufgabe haben wir es mit irgendeinem einem Wahrscheinlichkeitsmaß $P: [mm] \mathcal{F} \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] auf irgend einem Messraum [mm] $(\Omega, \mathcal{F})$ [/mm] zu tun. Der Messraum ist uns vollkommen unbekannt und $P$ auch, da wir die Abbildungsvorschrift nicht kennen. Aber wir haben bei i) eine Aussage über $P$.

Dann haben wir noch eine Zufallsvariable $L$. Da diese, nach Voraussetzung, stetig ist, ist sie reellwertig. Ich schätze mal, $L$ soll eine reelle Zufallsvariable auf [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, [/mm] P)$ sein (steht nämlich nirgends). Falls das so ist, dann muss $L$ aber [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] - [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] - messbar sein. Aber wie sieht man das, wenn [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] unbekannt ist ? Oder wird das irgendwo durch eine Eigenschaft angenommen ?


Du hast nun geschrieben, dass es vollkommen egal ist, wie $L$ und [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, [/mm] P)$ konkret aussehen. Interessant ist die Verteilung [mm] $P_{L}$ [/mm] von $L$. Diese ist definiert durch [mm] $P_{L}(B) [/mm] := [mm] P(L^{- 1} [/mm] (B))$ für $B [mm] \in \mathcal{B}$. [/mm] Warum gerade dieses Maß interessant ist und  nicht der Rest, weiß ich noch nicht. Vielleicht wird mir das später klarer.
Das Maß [mm] $P_{L}$ [/mm] kann ich aber, auf den ersten Blick, nicht bestimmen, da $P$ und $L$ nicht bekannt sind.

Die Aufgabe soll mir jetzt aber klar machen, dass wenn ich eine Eigenschaft (i) von $P$ kenne, dass ich dann in diesem Fall die Verteilung von $L$  trotzdem bestimmen kann, ohne zu wissen, wie $P$ und $L$ genau aussehen, oder ?







> > Außerdem habe ich noch eine Frage zur Notation:
>  >  
> > [mm]P(L > x + t)[/mm] ist doch eine Notation für [mm]P( \{ L > x + t \} )[/mm].
>  
> Ja, oder noch anders geschrieben wie oben (zum späteren
> besseren Verständnis):
>  [mm]P\left(L \in (x+t,\infty)\right)[/mm]
>  
> >  

> > In der Definition [mm]d.[/mm] haben wir die Definition [mm]\{ f > g \} = \{ \omega \in \Omega \; \vert \; f(\omega) > g(\omega) \}[/mm].
>  
> >  

> > In diesem Fall sind [mm]f = L[/mm] und [mm]g = x + t[/mm], oder wie ? Wobei [mm]g[/mm]
> > hier eine zweidimensionale Funktion ist ?
> Nein, viel trivialer: Ihr hattet bestimmt folgende Aussage:
> Für reellwertige (oder numerische) Funktionen gilt:
>  [mm]f \text{ meßbar } \gdw \{f \le c\} \text{ meßbar } \forall c\in\IR[/mm]
>  
> Oder äquivalent dazu:
>  [mm]f \text{ meßbar } \gdw \{f > c\} \text{ meßbar } \forall c\in\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Ja, wir hatten das so formuliert:

"Genau dann ist $f$ eine reelle (numerische) messbare Funktion, wenn $\{ f \le a \} \in \mathcal{F}\quad } \forall \; a \in \mathbb{R}$".

Aber was sagt mir das darüber, wie ich Definition d. anwenden kann ?
Weil wenn ich sie nicht anwende, dann erscheint sie mir abstrakt und unnötig.


> Was noch wichtig ist zum Verständnis: In der Aufgabe wird
> von Verteilung gesprochen. Wie ist denn die
> Verteilungsfunktion einer ZV definiert?


Ah! Danke, dass du den Begriff der Verteilung ansprichst! Dazu habe ich auch eine Frage:


In der Vorlesung haben wir zwei "Verteilungsbegriffe" eingeführt:

1.) Verteilungsfunktion $F(t)$ eines Wahrscheinlichkeitsmaßes $P$ auf einem Messraum  $(\Omega, \mathcal{F})$.
$F(t)$ ist definiert durch $F(t) = P((- \infty, t])\quaf \forall t \in \mathbb{R}$

2.) Verteilung $P_{X}$ einer reellen (numerischen)Zufallsvariablen $X$.
$P_{X}$ ist definiert durch $P_{X}(B) := P(X \in B) = P(X^{- 1}(B))\quad \;  } \forall \; B \in \mathcal{B} (\mathcal{B}^{\*})$.

Hier redet man über zwei verschiedene Abbildungen, aber sie heißen ähnlich. Worin besteht der Zusammenhang zwischen den beiden ?

Okay, das war's erstmal. Den Ansatz poste ich noch später, weil ich doch nicht so weit gekommen bin, wie ich am Anfang dachte. Diesen poste ich dann, glaube ich, getrennt (also also als zweite Frage unter dieser Frage). Sonst wird diese Frage zu lang.

Freue mich auf eine Rückmeldung.

mfg,

Tim

Bezug
                        
Bezug
Exponentialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:55 Sa 08.08.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Okay, das war's erstmal. Den Ansatz poste ich noch später, weil ich doch nicht so weit gekommen bin, wie ich am Anfang dachte. Diesen poste ich dann, glaube ich, getrennt (also also als zweite Frage unter dieser Frage). Sonst wird diese Frage zu lang.

Ja, wir sollten die generelle Thematik und deine konkreten Versuche zur Frage trennen.

> Bildmaß
>  ________
>  
> Sei [mm](\Omega, \mathcal{F}, \mu)[/mm] ein [mm]\textbf{Maßraum},[/mm]  
> [mm](\Omega', \mathcal{F}')[/mm] ein Messraum und [mm]f[/mm] eine [mm]\mathcal{F} - \mathcal{F}'[/mm]
> - messbare Abbildung. Durch [mm]\mu_{f}(A') := \left ( \mu \circ f^{- 1} \right ) (A') \quad \forall A' \in \mathcal{F}'[/mm]
> ist ein Maß [mm]\mu_{f}[/mm] auf [mm](\Omega', \mathcal{F}')[/mm] definiert.
> Das Maß [mm]\mu_{f}[/mm] heißt das Bildmaß von [mm]\mu_{f}[/mm] unter [mm]f[/mm]
> oder auch das durch [mm]f[/mm] transponierte Maß.

Oh, noch eine Schreibweise für das Bildmaß ;-)
Fassen wir jetzt mal zusammen, welche Schreibweisen wir alle kennengelernt haben und notieren sie gleich in den Variablen der Aufgabe wo wir ja [mm] $\mu [/mm] = P$ und $f=L$ gegeben haben. Es gilt also:

[mm] $\mu_f(A') [/mm] = [mm] P_L(A') [/mm] = (P [mm] \circ L^{-1})(A') [/mm] = [mm] P(L^{-1}(A')) [/mm] = P(L [mm] \in [/mm] A')$

und ist A' nun ein halboffenes Intervall, d.h. es gilt $A' = [mm] (-\infty,x]$ [/mm] kommt noch eine Schreibweise dazu, und wir erhalten folgende Gleichungskette:

[mm] $\mu_f((-\infty,x]) [/mm] = [mm] P_L((-\infty,x]) [/mm] = (P [mm] \circ L^{-1})((-\infty,x]) [/mm] = [mm] P(L^{-1}((-\infty,x])) [/mm] = P(L [mm] \in (-\infty,x]) [/mm] = P(L [mm] \le [/mm] x)$

Und wir halten fest: Überall dort dreht es sich NUR ums Bildmaß..
D.h. insbesondere, wenn dieses gegeben ist, ist die konkrete Form von P und L egal!
Wir wissen nur, wie [mm] P_L [/mm] aussieht.

> Verteilung
> ___________
>  
> Falls [mm](\Omega, \mathcal{F}, P)[/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum
> und [mm]X[/mm] eine reelle (numerische) Zufallsvariable ist, dann
> ist das transportierte Maß [mm]P_{X}(B) := P(X \in B) = P(X^{- 1}(B))[/mm],
> [mm]B \in \mathcal{B} (\mathcal{B}^{\*})[/mm] offenbar ein W - Maß
> auf [mm](\mathbb{R}, \mathcal{B})[/mm] (bzw. [mm](\mathbb{R}^{\*}, \mathcal{B}^{\*})[/mm]).
> [mm]P_{X}[/mm] heißt die Verteilung der Zufallsvariablen [mm]X[/mm]. Man
> schreibt [mm]X \sim D[/mm], falls [mm]D[/mm] die Verteilung von [mm]X[/mm] ist.

Zusammengefasst: Statt "Bildmaß" sagt man auch "Verteilung".
Es gilt immer $L [mm] \sim P_L$. [/mm] Nun haben bestimmte Maße einen Namen bekommen, wie bspw. "Normalverteilung" und "Exponentialverteilung".
Dies sind einfach nur fixe Bezeichnungen für bekannte Bildmaße.


> In der Aufgabe haben wir es mit irgendeinem einem
> Wahrscheinlichkeitsmaß [mm]P: \mathcal{F} \rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> auf irgend einem Messraum [mm](\Omega, \mathcal{F})[/mm] zu tun. Der
> Messraum ist uns vollkommen unbekannt und [mm]P[/mm] auch, da wir
> die Abbildungsvorschrift nicht kennen. Aber wir haben bei
> i) eine Aussage über [mm]P[/mm].

Nein! Wir haben eine Aussage über [mm] $P_L$! [/mm] Das ist essenziell hier.
Mach dir klar, dass die Aussage unter (i) eine bedingte Wahrscheinlichkeit unter [mm] $P_L$ [/mm] ist, dort steht nämlich, wenn wir es mit obiger Gleichungskette umschreiben:

[mm] $P_L((x+t,\infty) [/mm] | [mm] (t,\infty)) [/mm] = [mm] P_L((x,\infty))$ [/mm]

Und die Aussage unter ii) ist ebenfalls eine Aussage über [mm] $P_L$, [/mm] dort steht nämlich nach Definition der Verteilung, dass zu zeigen ist: [mm] $P_L [/mm] = [mm] Exp(\lambda)$ [/mm]


> Dann haben wir noch eine Zufallsvariable [mm]L[/mm]. Da diese, nach
> Voraussetzung, stetig ist, ist sie reellwertig. Ich
> schätze mal, [mm]L[/mm] soll eine reelle Zufallsvariable auf
> [mm](\Omega, \mathcal{F}, P)[/mm] sein (steht nämlich nirgends).
> Falls das so ist, dann muss [mm]L[/mm] aber [mm]\mathcal{F}[/mm] - [mm]\mathbb{R}[/mm] - messbar sein. Aber wie sieht man das, wenn [mm]\mathcal{F}[/mm]
> unbekannt ist ? Oder wird das irgendwo durch eine Eigenschaft angenommen ?

Ja, indem L  eine Zufallsvariable ist.
[mm]\mathcal{F}[/mm] ist zwar unbekannt, du weißt aber, da $L$ als ZV angenommen ist, dass [mm] $L^{-1}(B) \in \mathcal{F}$ [/mm] für [mm] $B\in\mathcal{B}$. [/mm]
Das ist aber auch nur eine notwendige Annahme, damit das Bildmaß überhaupt wohldefiniert ist. Ansonsten braucht man das (hier) nicht…

> Du hast nun geschrieben, dass es vollkommen egal ist, wie [mm]L[/mm]
> und [mm](\Omega, \mathcal{F}, P)[/mm] konkret aussehen. Interessant
> ist die Verteilung [mm]P_{L}[/mm] von [mm]L[/mm]. Diese ist definiert durch
> [mm]P_{L}(B) := P(L^{- 1} (B))[/mm] für [mm]B \in \mathcal{B}[/mm]. Warum
> gerade dieses Maß interessant ist und  nicht der Rest,
> weiß ich noch nicht. Vielleicht wird mir das später
> klarer.
>  Das Maß [mm]P_{L}[/mm] kann ich aber, auf den ersten Blick, nicht
> bestimmen, da [mm]P[/mm] und [mm]L[/mm] nicht bekannt sind.

Korrekt, das Maß [mm] P_L [/mm] wird meistens gegeben, in dem man die Verteilung der ZV explizit angibt.
Beispielsweise in dem man sagt "Sei die ZV normalverteilt", dann weiß man, wie das Bildmaß aussieht.
Wieso das Bildmaß von Interesse ist statt des eigentliches Maßes, klären wir, wenn die Aufgabe rum ist ;-)

> Die Aufgabe soll mir jetzt aber klar machen, dass wenn ich
> eine Eigenschaft (i) von [mm]P[/mm] kenne, dass ich dann in diesem
> Fall die Verteilung von [mm]L[/mm]  trotzdem bestimmen kann, ohne zu
> wissen, wie [mm]P[/mm] und [mm]L[/mm] genau aussehen, oder ?

Wie oben schon gesagt: Die Eigenschaft (i) ist eine bezüglich [mm] $P_L$. [/mm]
Bei der Aufgabe geht es um folgendes: Die Eigenschaft (i) nennt sich Gedächnislosigkeit. Überlege dir mal, warum man die Eigenschaft so bezeichnen könnte indem du dir klar machst, was sie eigentlich aussagt.

Zu zeigen ist in der Aufgabe: Die Exponentialverteilung ist die einzige stetige gedächnislose Verteilung.
D.h. allein durch die Annahme der Gedächnislosigkeit folgt bei einer stetigen Verteilung sofort, dass es die Exponentialverteilung sein muss.
Die Umkehrrichtung rechnet man einfach nach.

> Ja, wir hatten das so formuliert:
>  
> "Genau dann ist [mm]f[/mm] eine reelle (numerische) messbare
> Funktion, wenn [mm]\{ f \le a \} \in \mathcal{F}\quad } \forall \; a \in \mathbb{R}[/mm]".
>  
> Aber was sagt mir das darüber, wie ich Definition d. anwenden kann ?
> Weil wenn ich sie nicht anwende, dann erscheint sie mir abstrakt und unnötig.

Diese Definition ist sehr mächtig und du wendest sie praktisch IMMER an.
Mach dir klar, dass bei dieser Definition aus etwas sehr einfachem etwas sehr starkes folgt, nämlich:

Meßbar ist eine Funktion ja eigentlich dann, wenn [mm] $f^{-1}(B) \in \mathcal{F}$ [/mm] für beliebige $B [mm] \in \mathcal{B}$. [/mm]

Nun sagt obige Definition aber aus: Es reicht für die Meßbarkeit von f bereits zu zeigen, dass [mm] $\{f \le a\} [/mm] = [mm] f^{-1}((-\infty,a]) \in \mathcal{F}$ [/mm] gilt.
D.h. anstatt die Meßbarkeit für beliebige $B [mm] \in \mathcal{B}$ [/mm] zeigen zu müssen, kann man sich auf halboffene Intervalle beschränken.

Ist dir die Aussage jetzt klarer?
Und: Wenn du wirklich mal konkret zeigen will/sollst, dass eine Funktion meßbar ist, wirst du das in den seltensten Fällen wirklich für beliebige $B [mm] \in \mathcal{B}$ [/mm] zeigen können/wollen, sondern beschränkst dich auf Mengen obiger Art.

Man kann nun zeigen: Das reicht aber auch völlig aus!
ACHTUNG, WICHTIGER HINWEIS
Mehr noch: Jede [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] die alle halboffenen Intervalle enthält, ist mindestens so groß, wie die [mm] Borelsche-$\sigma$-Algebra. [/mm]
Umgekehrt enthält die [mm] Borelsche-$\sigma$-Algebra [/mm] alle halboffenen Intervalle.

Man kann nun zeigen: Die [mm] Borelsche-$\sigma$-Algebra [/mm] ist die kleinste Sigma-Algebra, die alle Intervalle enthält.
-----------------------------

D.h. die Definition ist alles andere als abstrakt, wie wir auch an der folgenden Definition von dir sehen:

> In der Vorlesung haben wir zwei "Verteilungsbegriffe" eingeführt:
>  
> 1.) Verteilungsfunktion [mm]F(t)[/mm] eines
> Wahrscheinlichkeitsmaßes [mm]P[/mm] auf einem Messraum  [mm](\Omega, \mathcal{F})[/mm].
>  
> [mm]F(t)[/mm] ist definiert durch [mm]F(t) = P((- \infty, t])\quaf \forall t \in \mathbb{R}[/mm]

Vorab: Hier finde ich die Notation deiner Vorlesung etwas ungünstig, denn: Du gar keinen beliebigen Messraum betrachten, wie man schon an der Definition von F(t) erkennt.
Man betrachtet dort nämlich $P((- [mm] \infty, [/mm] t])$, d.h. [mm] $(-\infty,t]$ [/mm] muss dafür eine meßbare Menge sein (für alle $t$) und nach obgiem folgt dann sofort, dass [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \IR$ [/mm] und [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] mindestens [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] ist.

Wir brauchen also einen reellen Maßraum.
Da man sich aber nicht einschränken möchte in der Wahl des Maßraums, benötigt man dafür eine ZV, die unseren beliebigen Maßraum in einen rellen Maßraum transformiert.

Wir haben bei einer rellen Zufallsvariable $X$ ja, dass [mm] $(\IR,\mathcal{B},P_X)$ [/mm] ein reller Maßraum ist, d.h. die dann folgende Definition
[mm]F(t) = P_X((- \infty, t])\quaf \forall t \in \mathbb{R}[/mm] macht dann wieder Sinn und wird als Verteilung von $X$ bezeichnet.
D.h. normalerweise betrachtet man Verteilungen für Bildmaße. Das ist auch keine Einschränkung, weil man jedes Maß (wie in meiner ersten Antwort schon erwähnt) als Bildmaß der Identität auf einem Maßraum ansehen kann.


> 2.) Verteilung [mm]P_{X}[/mm] einer reellen
> (numerischen)Zufallsvariablen [mm]X[/mm].
>   [mm]P_{X}[/mm] ist definiert durch [mm]P_{X}(B) := P(X \in B) = P(X^{- 1}(B))\quad \; } \forall \; B \in \mathcal{B} (\mathcal{B}^{\*})[/mm].
>  
> Hier redet man über zwei verschiedene Abbildungen, aber
> sie heißen ähnlich. Worin besteht der Zusammenhang
> zwischen den beiden ?

Wie oben bereits erwähnt, reicht für Meßbarkeit es ja bereits aus, die halboffenen Intervalle anstatt alle $B [mm] \in \mathcal{B}$ [/mm] zu betrachten.
Das tolle ist: Das gilt auch für Maße!
D.h. ein Maß ist eindeutig definiert über seine Werte auf den halboffenen Intervallen.
Mit dieser Eigenschaft sollte dir nun klar sein, dass 1.) und 2.) eigentlich dasselbe sind…

Gruß,
Gono

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Exponentialverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:46 Mo 10.08.2020
Autor: teskiro

Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Ich konnte erst jetzt mich wieder damit beschäftigen. Das meiste ist, danke dir, klar! Ich habe noch 2 - 3 Fragen zu Notationen und zur Verteilungsfunktion.

Aber ich muss sie später heute richtig in Ruhe formulieren, jetzt reicht das um die Uhrzeit nicht mehr. Vielleicht klären sich ein paar Fragen bis dahin.

mfg, Tim

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Bezug
Exponentialverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:58 Mo 10.08.2020
Autor: teskiro

So, da melde ich mich nochmal.
Vieles ist durch deine letzte Antwort endlich klar :-)

Mich verwirren nur noch ein paar Kleinigkeiten. Danach sollte, denke ich, erstmal alles geklärt sein und ich kann mit ruhigem Gewissen die Aufgabe bearbeiten.


>  Oh, noch eine Schreibweise für das Bildmaß ;-)
>  Fassen wir jetzt mal zusammen, welche Schreibweisen wir
> alle kennengelernt haben und notieren sie gleich in den
> Variablen der Aufgabe wo wir ja [mm]\mu = P[/mm] und [mm]f=L[/mm] gegeben
> haben. Es gilt also:
>  
> [mm]\mu_f(A') = P_L(A') = (P \circ L^{-1})(A') = P(L^{-1}(A')) = P(L \in A')[/mm]
>  
> und ist A' nun ein halboffenes Intervall, d.h. es gilt [mm]A' = (-\infty,x][/mm]
> kommt noch eine Schreibweise dazu, und wir erhalten
> folgende Gleichungskette:
>  
> [mm]\mu_f((-\infty,x]) = P_L((-\infty,x]) = (P \circ L^{-1})((-\infty,x]) = P(L^{-1}((-\infty,x])) = P(L \in (-\infty,x]) = P(L \le x)[/mm]


Ach so! Ich wusste nicht, dass $P(L [mm] \le [/mm] x)$  die Notation für $P(L [mm] \in (-\infty,x])$ [/mm] ist! Jetzt ist das glasklar....

Diese Notation wird aber nicht irgendwie von der Notation [mm] $\{ X \le Y \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X(\omega) \le Y(\Omega )\}$, [/mm] wobei $X, Y$ zwei reelle oder numerische ZV sind, abgeleitet oder ?
Ich möchte nämlich diese Notation im  Skript auch ins Spiel bringen.



> > Weil wenn ich sie nicht anwende, dann erscheint sie mir
> abstrakt und unnötig.
>  Diese Definition ist sehr mächtig und du wendest sie
> praktisch IMMER an.
> Mach dir klar, dass bei dieser Definition aus etwas sehr
> einfachem etwas sehr starkes folgt, nämlich:
>  
> Meßbar ist eine Funktion ja eigentlich dann, wenn
> [mm]f^{-1}(B) \in \mathcal{F}[/mm] für beliebige [mm]B \in \mathcal{B}[/mm].
>  
> Nun sagt obige Definition aber aus: Es reicht für die
> Meßbarkeit von f bereits zu zeigen, dass [mm]\{f \le a\} = f^{-1}((-\infty,a]) \in \mathcal{F}[/mm]
> gilt.
>  D.h. anstatt die Meßbarkeit für beliebige [mm]B \in \mathcal{B}[/mm]
> zeigen zu müssen, kann man sich auf halboffene Intervalle
> beschränken.
>  
> Ist dir die Aussage jetzt klarer?
> Und: Wenn du wirklich mal konkret zeigen will/sollst, dass
> eine Funktion meßbar ist, wirst du das in den seltensten
> Fällen wirklich für beliebige [mm]B \in \mathcal{B}[/mm] zeigen
> können/wollen, sondern beschränkst dich auf Mengen obiger
> Art.

Oh, danke! Die Aussage ist jetzt sehr klar :-)

$f$ ist, nach Voraussetzung, eine reelle Abbildung $f: [mm] \Omega \rightarrow \mathbb{R}$. [/mm] Und durch die zusätzliche Bedingung, ist $f$ messbar.

In der Vorlesung hatten wir einen allgemeineren Satz:

"Seien [mm] $(\Omega, \mathcal{F})$ [/mm] und [mm] $(\Omega', \mathcal{F}')$ [/mm] zwei Messräume und [mm] $\mathcal{E}'$ [/mm] ein Erzeuger von [mm] $\mathcal{F}'$, [/mm] d.h. [mm] $\mathcal{F}(\mathcal{E}') [/mm] = [mm] \mathcal{F}'$. [/mm]

Dann ist eine Abbildung $f: [mm] \Omega \rightarrow \Omega'$ [/mm] messbar genau dann, wenn [mm] $f^{- 1}(E') \in \mathcal{F}$ [/mm] für alle $E' [mm] \in \mathcal{E}'$." [/mm]

Da [mm] $\mathcal{E} [/mm] := [mm] \{ ( - \infty, x]\; \vert \; x \in \mathbb{R} \}$ [/mm] ein Erzeuger von [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] ist, sprich es gilt [mm] $\mathcal{F}(\mathcal{E}) [/mm] = [mm] \mathcal{B}$, [/mm] kann ich diesen Satz auf Funktionen $f: [mm] \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] anwenden.Damit erhalte ich die speziellere Aussage.


Ich habe auch hier ein Frage zur Notation:

Wieso ist eigentlich [mm] $\{ f \le a \} [/mm] = [mm] f^{- 1}((- \infty, [/mm] a])$ ?

So eine Notation haben wir im Skript nicht. Bezüglich der [mm] "\le" [/mm] - Relation haben nur die Notation [mm] $\{ X \le Y \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X(\omega) \le Y(\Omega )\}$, [/mm] wobei $X, Y$ zwei reelle oder numerische ZV sind. Gibt es da einen Zusammenhang ?


> kann.


> > In der Vorlesung haben wir zwei "Verteilungsbegriffe"
> eingeführt:
>  >  
> > 1.) Verteilungsfunktion [mm]F(t)[/mm] eines
> > Wahrscheinlichkeitsmaßes [mm]P[/mm] auf einem Messraum  [mm](\Omega, \mathcal{F})[/mm].
>  
> >  

> > [mm]F(t)[/mm] ist definiert durch [mm]F(t) = P((- \infty, t])\quaf \forall t \in \mathbb{R}[/mm]
>  
> Vorab: Hier finde ich die Notation deiner Vorlesung etwas
> ungünstig, denn: Du gar keinen beliebigen Messraum
> betrachten, wie man schon an der Definition von F(t)
> erkennt.
>  Man betrachtet dort nämlich [mm]P((- \infty, t])[/mm], d.h.
> [mm](-\infty,t][/mm] muss dafür eine meßbare Menge sein (für alle
> [mm]t[/mm]) und nach obgiem folgt dann sofort, dass [mm]\Omega = \IR[/mm] und
> [mm]\mathcal{F}[/mm] mindestens [mm]\mathcal{B}[/mm] ist.
>  
> Wir brauchen also einen reellen Maßraum.
> Da man sich aber nicht einschränken möchte in der Wahl
> des Maßraums, benötigt man dafür eine ZV, die unseren
> beliebigen Maßraum in einen rellen Maßraum transformiert.
>
> Wir haben bei einer rellen Zufallsvariable [mm]X[/mm] ja, dass
> [mm](\IR,\mathcal{B},P_X)[/mm] ein reller Maßraum ist, d.h. die
> dann folgende Definition
>   [mm]F(t) = P_X((- \infty, t])\quaf \forall t \in \mathbb{R}[/mm]
> macht dann wieder Sinn und wird als Verteilung von [mm]X[/mm]
> bezeichnet.
>  D.h. normalerweise betrachtet man Verteilungen für
> Bildmaße. Das ist auch keine Einschränkung, weil man
> jedes Maß (wie in meiner ersten Antwort schon erwähnt)
> als Bildmaß der Identität auf einem Maßraum ansehen
> kann.
>
>
> > 2.) Verteilung [mm]P_{X}[/mm] einer reellen
> > (numerischen)Zufallsvariablen [mm]X[/mm].
>  >   [mm]P_{X}[/mm] ist definiert durch [mm]P_{X}(B) := P(X \in B) = P(X^{- 1}(B))\quad \; } \forall \; B \in \mathcal{B} (\mathcal{B}^{\*})[/mm].
>  
> >  

> > Hier redet man über zwei verschiedene Abbildungen, aber
> > sie heißen ähnlich. Worin besteht der Zusammenhang
> > zwischen den beiden ?
> Wie oben bereits erwähnt, reicht für Meßbarkeit es ja
> bereits aus, die halboffenen Intervalle anstatt alle [mm]B \in \mathcal{B}[/mm]
> zu betrachten.
> Das tolle ist: Das gilt auch für Maße!
>  D.h. ein Maß ist eindeutig definiert über seine Werte
> auf den halboffenen Intervallen.
>  Mit dieser Eigenschaft sollte dir nun klar sein, dass 1.)
> und 2.) eigentlich dasselbe sind…


Entschuldige, ich hätte den Abschnitt mit der Verteilungsfunktion abtippen sollen. Denn der Maßraum ist nicht irgendeins. "Eine W-keit" $P$ auf [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ [/mm] ist durch ihre sog. Verteilungsfunktion $F$, $F(x) := P((- [mm] \infty, x])\quad \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] eindeutig bestimmt."

Der Maßraum steht also fest. Nun sehe ich bei dir, dass du $F(t) = [mm] P_{X}((- \infty, t])\quad \forall \; [/mm] t [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] geschrieben hast. Im Skript steht nur $F(t) = P((- [mm] \infty, t])\quad \forall \; [/mm] t [mm] \in \mathbb{R}$. [/mm] Im Skript wurde also die Zufallsvariable $X$ auf den Maßraum [mm] $(\mathbb{R}, \mathcal{B}, [/mm] P)$ nicht berücksichtigt. Welchen Grund hat das ? Zwar sagst du, dass man jedes Maß als Bildmaß der Identität auf einem Maßraum ansehen kann. Mir ist aber trotzdem noch nicht klar, warum im Skript keine Zufallsvariable $X$.

Ich glaube ich weiß jetzt, was mein Prof mir damals sagen wollte.

Sei [mm] $\mathcal{E} [/mm] := [mm] \{ ( - \infty, x]\; \vert \; x \in \mathbb{R} \}$. [/mm]
Dann ist $F(t)$ also eigentlich nichts anderes als [mm] $P_{X}$ [/mm] eingeschränkt auf [mm] $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{B}$. [/mm] Also $F = [mm] P_{X\; \vert \; \mathcal{E}}$. [/mm] Also nicht ganz das selbe, ist klar. Die Verteilungsfunktion kann man als eine Abbildung von [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] nach [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] ansehen (wenn man F(t) schreibt) oder als [mm] $P_{X\; \vert \; \mathcal{E}}$. [/mm]

Mein Prof meinte, dass man nicht die ganze Verteilung einer ZV $X$ kennen muss. Es reicht aus, ihre Verteilungsfunktion zu kennen.  Hat er das etwa gesagt, weil ich mit der Verteilungsfunktion in der Lage bin, die ganze Verteilung von $X$ zu rekonstruieren ? Wenn das so ist, geht das im Allgemeinen oder nicht immer ? Gibt es dafür eine systematische Methode ? (reine Neugier)


Freue mich auf eine Rückmeldung.

mfg, Tim
















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Exponentialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Do 13.08.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Diese Notation wird aber nicht irgendwie von der Notation $ [mm] $\{ X \le Y \} [/mm] $ = $ [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X(\omega) \le Y(\Omega )\}$, [/mm] $ wobei $X, Y$ zwei reelle oder numerische ZV sind, abgeleitet oder ?

Du kannst es daher ableiten, indem du $Y [mm] \equiv [/mm] x$ setzt.
Letztendlich sind alle Schreibweisen der Form [mm] $\{ f \in A\}$ [/mm] ja  eigentlich nur Kurznotationen für [mm] $\{\omega \in \Omega\;|\; f(\omega) \in A\}$ [/mm]

Und wenn man sich das nun genau anschaut, ist das exakt die Definition des Urbilds von A, was eben mit [mm] $f^{-1}(A)$ [/mm] bezeichnet wird.
Daher aufgepasst: [mm] $f^{-1}$ [/mm] meint in der bisherigen Betrachtung immer das Urbild, nicht die Umkehrfunktion oder gar [mm] $\frac{1}{f}$. [/mm]

> Wieso ist eigentlich $ [mm] \{ f \le a \} [/mm] = [mm] f^{- 1}((- \infty, [/mm] a]) $ ?

Ich hoffe das ist mit obigem jetzt klarer…

> Mir ist aber trotzdem noch nicht klar, warum im Skript keine Zufallsvariable $ X $.

Eure Definition ist etwas abstrakter, man kann so allgemein ohne ZV definieren, was eine Verteilung auf [mm] $\IR$ [/mm] ist. Im Normalfall betrachtet man bei Verteilungen aber immer die dazugehörige ZV, darum finde ich den Ansatz eigentlich nicht so schön…


> Ich glaube ich weiß jetzt, was mein Prof mir damals sagen wollte.

> Sei $ [mm] \mathcal{E} [/mm] := [mm] \{ ( - \infty, x]\; \vert \; x \in \mathbb{R} \} [/mm] $.

Dann ist $ F(t) $ also eigentlich nichts anderes als $ [mm] P_{X} [/mm] $ eingeschränkt auf $ [mm] \mathcal{E} \subseteq \mathcal{B} [/mm] $. Also $ F = [mm] P_{X\; \vert \; \mathcal{E}} [/mm] $. Also nicht ganz das selbe, ist klar. Die Verteilungsfunktion kann man als eine Abbildung von $ [mm] \mathbb{R} [/mm] $ nach $ [mm] \mathbb{R} [/mm] $ ansehen (wenn man F(t) schreibt) oder als $ [mm] P_{X\; \vert \; \mathcal{E}} [/mm] $.

> Mein Prof meinte, dass man nicht die ganze Verteilung einer ZV $ X $ kennen muss. Es reicht aus, ihre Verteilungsfunktion zu kennen.  Hat er das etwa gesagt, weil ich mit der Verteilungsfunktion in der Lage bin, die ganze Verteilung von $ X $ zu rekonstruieren ?

[ok]
Das ist eine wichtige Erkenntnis, mit einem kleinen Stolperstein.

1.) Um die Meßbarkeit einer Funktion nchzuweisen, reicht es,  die Meßbarkeit auf einem Erzeuger der Bild-Sigma-Algebra nachzuweisen.

2.) Um ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einer Sigma-Algebra zu kennen, reicht es, das Maß auf einem durchschnittsstabilen Erzeuger zu kennen.

Der kleine Zusatz ist wichtig und elementar. Durchschnittsstabil bedeutet, dass für zwei Mengen aus dem Erzeuger, auch deren Schnitt im Erzeuger liegt.
Das ist für Verteilungsfunktionen aber gegeben, und daher kennt man das WMaß auf ganz [mm] $\IR$. [/mm]

Wobei "kennen" hier auch sehr abstrakt ist, denn:

> Wenn das so ist, geht das im Allgemeinen oder nicht immer ? Gibt es dafür eine systematische Methode ? (reine Neugier)

Die Aussage gilt zwar immer, aber du wirst im Normalfall nicht für jede beliebige Menge aus [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] angeben können, wie $P(B)$ exakt aussieht. Das ist meistens aber auch gar nicht notwendig oder gewollt.

Nimm beispielsweise das Intervall $[0,1]$ mit dem Lebesgue-Maß , d.h. für jedes Intervall $[a,b] [mm] \subseteq [/mm] [0,1]$ ist $P([a,b])  = b - a$.

Selbst dort wird es Teilmengen $B [mm] \subseteq [/mm] [0,1]$ geben, so dass du $P(B)$ nicht angeben kannst, aber trotzdem würdest du doch behaupten, wir kennen das Wahrscheinlichkeitsmaß auf $[0,1]$.

Gruß,
Gono

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Bezug
Exponentialverteilung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Fr 14.08.2020
Autor: teskiro


> Hiho,
>  
> > Diese Notation wird aber nicht irgendwie von der Notation[mm][/mm][mm] \{ X \le Y \}[/mm]
>  [mm]=[/mm] [mm]\{ \omega \in \Omega\; \vert \; X(\omega) \le Y(\Omega )\}[/mm]
> [mm],[/mm] wobei [mm]X, Y[/mm] zwei reelle oder numerische ZV sind,
> abgeleitet oder ?
>  Du kannst es daher ableiten, indem du [mm]Y \equiv x[/mm] setzt.
> Letztendlich sind alle Schreibweisen der Form [mm]\{ f \in A\}[/mm]
> ja  eigentlich nur Kurznotationen für [mm]\{\omega \in \Omega\;|\; f(\omega) \in A\}[/mm]



Hallo!

Jetzt ist es, glaube ich, klar.

Ich habe die Definition von [mm] $\{ X \ge Y \}$, $\{ X \le Y \}$ [/mm] usw. aus meiner ersten Frage ergänzt. Nun habe ich folgende Definition:

Seien $X$ und $Y$ zwei [mm] \textbf{reelle} [/mm] bzw. [mm] \textbf{numerische} [/mm] Zufallsvariablen auf [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. [/mm]

Setze dann:

[mm] $\{ X \in B \} [/mm] :=  [mm] X^{- 1} [/mm] (B) = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X(\omega) \in B \}\quad$ [/mm] für $B [mm] \in \mathcal{B}$ [/mm] bzw. [mm] $\mathcal{B}^{*}$. [/mm]
[mm] $\{ X \le Y \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X(\omega) \ge Y(\omega) \} [/mm] =  [mm] X^{- 1} \left ( (- \infty, Y(\omega)] \right [/mm] )$
[mm] $\{ X \le Y \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X(\omega) < Y(\omega) \} [/mm] =   [mm] X^{- 1} \left ( (- \infty, Y(\omega)) \right [/mm] )$
[mm] $\{ X \ge Y \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X(\omega) \ge Y(\omega) \} [/mm] =  [mm] X^{- 1} \left ( [ Y(\omega)], \infty) \right [/mm] )$
[mm] $\{ X > Y \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X(\omega) > Y(\omega) \} [/mm] = [mm] X^{- 1} \left ( ( Y(\omega)], \infty) \right [/mm] )$

Passt die Definition so ? Oder muss man speziell für numerische ZV noch etwas abändern ?

Denn dann könnte ich die Notation $P(L [mm] \le [/mm] x)$ besser einordnen.

$L: [mm] \Omega \rightarrow \mathbb{R}, \omega \mapsto L(\omega)$ [/mm] ist eine reelle ZV auf [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. [/mm]

Die Konstante Abbildung $x: [mm] \Omega \rightarrow \mathbb{R}, \omega \mapsto x\quad [/mm]  (x [mm] \in \mathbb{R}$) [/mm] ist offensichtlich auch eine reelle ZV auf [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. [/mm]

Und dann ist $P(L [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(\{L \le x \}) [/mm] $ nach der obigen Definition einfach
$P(L [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(\{L \le x \}) [/mm]  = P [mm] \left ( L^{- 1} \left ( ( - \infty, x(\omega) ] \right ) \right [/mm] ) = P [mm] \left ( L^{- 1} \left ( ( - \infty, x] \right ) \right [/mm] ) $


Der Rest ist mir sonst etwas klarer. Vielen Dank!

Nun zur Aufgabe. Ich tippe sie zur besseren Übersicht nochmal kurz ab:


Sei $L$ eine stetige Zufallsvariable, die eine Lebensdauer beschreibt. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) Die Verteilung der verbleibenden Lebensdauer eines Individuums hängt nicht von seinem Alter ab, d.h.

$P(L > x + [mm] t\; \vert \; [/mm] L > t) = P(L > [mm] x)\quad \forall [/mm] x, t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty)$ [/mm]

(ii) Es gibt ein [mm] $\lambda \in [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm] $ mit $ L [mm] \sim Exp(\lambda)$. [/mm]


Ansatz
_______

Wir könnten $x + t$ als Summe zweier reeller Zufallsvariablen auffassen, oder ?
Das heißt, wir haben die reellen Zufallsvariablen

$L: [mm] \Omega \rightarrow \mathbb{R}, \omega \mapsto L(\omega)$ [/mm]

$x: [mm] \Omega \rightarrow \mathbb{R}, \omega \mapsto [/mm] x$ für $x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm]

$t: [mm] \Omega \rightarrow \mathbb{R}, \omega \mapsto [/mm] t$ für $t [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm]


(ii)  [mm] $\Rightarrow [/mm] (i)$

Sei $L$ exponentialverteilt mit Parameter [mm] $\lambda$. [/mm]

Dann gilt:

$P(L > x + [mm] t\; \vert \; [/mm] L > t) = [mm] \frac{P(L > x + t \cap L > t)}{P(L > t)} [/mm] = [mm] \frac{P(L > x + t)}{P (L > t)} [/mm] = [mm] \frac{1 - P(L \le x + t)}{ 1 - P(L \le t)} [/mm] = [mm] \frac{1 - (1 - e^{- \lambda (x + t)})}{1 - (1 - e^{- t})} [/mm] = [mm] e^{- \lambda x} [/mm] =  1 - P(L [mm] \le [/mm] x) = P(L > x)$


Mir fällt aber kein Ansatz zur Hinrichtung $(i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii)$. Hättest du da ein Tipp für mich ? :-)


mfg, Tim

Bezug
                                                        
Bezug
Exponentialverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 Sa 15.08.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich habe die Definition von [mm]\{ X \ge Y \}[/mm], [mm]\{ X \le Y \}[/mm] usw. aus meiner ersten Frage ergänzt.

Versuche mal nicht, alles immer auf obige Ausdrücke umzuformen.
Das macht es unnötig kompliziert und unnötig kompliziert führt zu Fehlern, wie ich dir unten gleich aufzeigen werde.

> [mm]\{ X \in B \} := X^{- 1} (B) = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X(\omega) \in B \}\quad[/mm]

[ok]
Das ist ok und ist das einzige, was du für die Aufgabe brauchst.

> Denn dann könnte ich die Notation [mm]P(L \le x)[/mm] besser einordnen.

Diese Notation kannst  du auch jetzt schon einordnen, denn es gilt ja $L [mm] \le [/mm] x [mm] \gdw [/mm] L [mm] \in (-\infty,x)$ [/mm] wobei [mm] $x\in\IR$ [/mm] nun einfach eine beliebige, aber fest Zahl ist.
Damit ist der Fall nach obiger Definition abgedeckt.

Weiterhin ist ja auch [mm] $\{X \le Y\} [/mm] = [mm] \{X - Y \le 0\} [/mm] = [mm] \{X - Y \in (-\infty,0]\}$ [/mm] und du kannst die obige Definition sofort wieder anwenden und du bekommst sofort euren Ausdruck für die Definition von [mm] $\{X \le Y\}$ [/mm] denn es ist nach obigem:

[mm] $\{X \le Y\} [/mm] = [mm] \{X - Y \le 0\} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X(\omega) - Y(\omega) \le 0 \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X(\omega) \le Y(\omega) \}$ [/mm]

D.h. du brauchst nur und nur

> [mm]\{ X \in B \} := X^{- 1} (B) = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X(\omega) \in B \}\quad[/mm]

Alles anders leitet sich sofort daraus ab.

> für [mm]B \in \mathcal{B}[/mm] bzw. [mm]\mathcal{B}^{*}[/mm].
>  [mm]\{ X \le Y \} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X(\omega) \ge Y(\omega) \} = X^{- 1} \left ( (- \infty, Y(\omega)] \right )[/mm]
>  
> [mm]\{ X \le Y \} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X(\omega) < Y(\omega) \} = X^{- 1} \left ( (- \infty, Y(\omega)) \right )[/mm]
>  
> [mm]\{ X \ge Y \} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X(\omega) \ge Y(\omega) \} = X^{- 1} \left ( [ Y(\omega)], \infty) \right )[/mm]
>  
> [mm]\{ X > Y \} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; X(\omega) > Y(\omega) \} = X^{- 1} \left ( ( Y(\omega)], \infty) \right )[/mm]

Das ist nun alles Schmu, warum?
Deine linken Seiten sind alles Teilmengen von [mm] $\Omega$ [/mm] und hängen von keinem speziellen [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] mehr ab.
Auf deinen rechten Seiten steht aber ein [mm] $Y(\omega)$, [/mm] d.h. da kommen im Allgemeinen unterschiedliche Ergebnisse raus, je nachdem welches [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] ich betrachte und damit was bei [mm] $Y(\omega)$ [/mm] herauskommt.

Klar?

> Wir könnten [mm]x + t[/mm] als Summe zweier reeller
> Zufallsvariablen auffassen, oder ?

Technisch ja, aber einfach unnötig. $x + t$ ist einfach irgendeine relle Konstante $c$, d.h. wir haben wieder den Ausdruck [mm] $\{ L > c\}$ [/mm] und den kennen wir.

> Sei [mm]L[/mm] exponentialverteilt mit Parameter [mm]\lambda[/mm].
>  
> Dann gilt:
>  
> [mm]P(L > x + t\; \vert \; L > t) = \frac{P(L > x + t \cap L > t)}{P(L > t)} = \frac{P(L > x + t)}{P (L > t)} = \frac{1 - P(L \le x + t)}{ 1 - P(L \le t)} = \frac{1 - (1 - e^{- \lambda (x + t)})}{1 - (1 - e^{- t})} = e^{- \lambda x} = 1 - P(L \le x) = P(L > x)[/mm]

[ok]
Das war auch die leichte Richtung, die man durch einfaches Nachrechnen zeigen konnte :-)


> Mir fällt aber kein Ansatz zur Hinrichtung [mm](i) \Rightarrow (ii)[/mm].
> Hättest du da ein Tipp für mich ? :-)

Das hängt nun davon ab, welches Wissen ihr verwenden dürft.

Definiere $G(x) = P(L > x)$
Welche Funktionalgleichung muss diese (stetige) Funktion $G$  dann laut den gegebenen Voraussetzungen erfüllen?
Diese schlägst du in den []Cauchyschen Funktionalgleichungen nach und hast deine Lösung.

Falls ihr die nicht benutzen dürft, zeige die folgenden Schritte:

1.) Es gibt ein [mm] $\lambda [/mm] > 0$, so dass $G(1) = [mm] e^{-\lambda}$ [/mm]
2.) Für ganze Zahlen n folgt aus der Funktionalgleichung dann $G(n) =  [mm] e^{-\lambda n}$ [/mm]
3.) Für rationale Zahlen [mm] \frac{p}{q} [/mm] folgt dann ebenfalls: [mm] $G\left(\frac{p}{q}\right) [/mm] =  [mm] e^{-\lambda \frac{p}{q}}$ [/mm]
4.) Folgere $G(x) = [mm] e^{-\lambda x}$ [/mm] für alle [mm] $x\in[0,\infty)$ [/mm]

Gruß,
Gono

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