Exponentialverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Sa 10.11.2012 | | Autor: | amwall |
Hallo zusammen,
habe leider mal wieder ein Problem mit einer Aufgabe.
Es geht um eine Versicherung die Schäden begleichen muss.
Es gibt 5000 Verträge, von denen bei 3000 Stück kein Schaden aufgetreten ist (bei 2000 also schon).
Der durchschnittliche Schaden beträgt 1667 € (unter Ausschluss der schadenfrei gebliebenen).
Die Schadenhöhe X ist exponentialverteilt.
a) Zuerst soll man Lambda bestimmen unter der Annahme, dass der Erwartungswert von X der durchschnittlichen Schadenshöhe entspricht und X in 1000€ angegeb ist.:
Habe das folgendermaßen gemacht: [mm] E(X)=1/\lambda
[/mm]
komme dann auf:1/1.6667= [mm] \lambda=0,5999
[/mm]
b) Nun soll man die Prämie bestimmen, die die Versicherung mindestens fordern soll
Mein Lösungsansatz: (1667*2000)/5000 = 666,80€. Der ist allerdings so banal, dass ich mir nicht vorstellen kann, dass er richtig ist.
c) Abschließend soll man die neue Schadenshöhe bestimmen, wenn die Versicherung Schäden von 0-500€ nicht bezahlt, ab 500€ aber die Gesamtschadenshöhe übernimmt.
Habe dazu: P(X>500)=e^(1/1667*500)= 0,740863
Dann: 0,740863*3334000€ = 2469927€
Glaube hier aber auch nicht an die Richtigkeit der Lösung.
Könnt ihr mir helfen? Bin unsicher ob ich komplett auf dem Holzweg bin, oder teile davon stimmen.
Vielen Dank!
|
|
| |
|
Hallo,
> Es geht um eine Versicherung die Schäden begleichen muss.
>
> Es gibt 5000 Verträge, von denen bei 3000 Stück kein
> Schaden aufgetreten ist (bei 2000 also schon).
>
> Der durchschnittliche Schaden beträgt 1667 € (unter
> Ausschluss der schadenfrei gebliebenen).
>
> Die Schadenhöhe X ist exponentialverteilt.
>
> a) Zuerst soll man Lambda bestimmen unter der Annahme, dass
> der Erwartungswert von X der durchschnittlichen
> Schadenshöhe entspricht und X in 1000€ angegeb ist.:
>
> Habe das folgendermaßen gemacht: [mm]E(X)=1/\lambda[/mm]
>
> komme dann auf:1/1.6667= [mm]\lambda=0,5999[/mm]
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(Vermutlich ist das so gedacht, dass man auf 0.6 rundet).
>
> b) Nun soll man die Prämie bestimmen, die die Versicherung
> mindestens fordern soll
>
> Mein Lösungsansatz: (1667*2000)/5000 = 666,80€. Der ist
> allerdings so banal, dass ich mir nicht vorstellen kann,
> dass er richtig ist.
Banal oder nicht, auch das ist richtig.
>
> c) Abschließend soll man die neue Schadenshöhe bestimmen,
> wenn die Versicherung Schäden von 0-500€ nicht bezahlt,
> ab 500€ aber die Gesamtschadenshöhe übernimmt.
>
> Habe dazu: P(X>500)=e^(1/1667*500)= 0,740863
>
> Dann: 0,740863*3334000€ = 2469927€
>
> Glaube hier aber auch nicht an die Richtigkeit der
> Lösung.
Eine Wahrscheinlichkeit der Form P(X>c) muss ja (wenn F die zugehörige Verteilung ist) so gerechnet werden:
[mm] P(X>c)=1-P(X\le{c})=1-F(c)
[/mm]
Besser wäre es auch, wenn du weiterhin in 1000-Euro-Einheiten rechnen würdest, im Exponenten hast du jedoch den Faktor [mm] 1/\lambda [/mm] entsprechend angepasst, so dass das auch nichts ändern würde, es wäre nur konsequenter.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Beim Punkt a) habe ich ebenfalls [mm] \lambda [/mm] = 0.6 erhalten. Die gesamte Schadenhöhe (bei N=2000 Stück) würde dementsprechend:
1.667 Tsd. € * 2000 Stück = 3334 Tsd. € betragen.
Beim Punkt b): Welche Prämie (pro Stück) sollte die Versicherung mindestens fordern, habe ich in Tsd.-Euro gerechnet und als Antwort 0.6668 erhalten.
Beim Punkt c) hatte ich in Tsd. Euro und [mm] \lambda [/mm] = 0.6 für P(X>0.5) den Wert 0.74082. Gefragt wird nach "dem neuen erwarteten Schadenaufwand".
Durchschnittliche Schadenhöhe (in Tsd. Euro) also 3334 * P(X>0.5)?
Dann kommt man auf: 2469,9 Tsd. Euro.
Gruß,
Kathi
|
|
|
| |
|
Hallo Kathi und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Beim Punkt c) hatte ich in Tsd. Euro und [mm]\lambda[/mm] = 0.6 für
> P(X>0.5) den Wert 0.74082. Gefragt wird nach "dem neuen
> erwarteten Schadenaufwand".
>
> Durchschnittliche Schadenhöhe (in Tsd. Euro) also 3334 *
> P(X>0.5)?
> Dann kommt man auf: 2469,9 Tsd. Euro.
ja, das habt ihr beide richtig gemacht, ich hatte mich verrechnet. Sorry. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hmm... Ich überlege die ganze Zeit, ob die Lösung beim Punkt c) evtl. nicht zu einfach ist...
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hmm... Ich überlege die ganze Zeit, ob die Lösung beim
> Punkt c) evtl. nicht zu einfach ist...
jetzt wo du das nochmal geschrieben hast muss ich das einräumen. Du hast Recht: man muss erst einmal die Gesamthöhe der Schäden von 0 bis 500 Euro ermitteln und von der gesamten Schadenshöhe abziehen. Diesen Betrag dann mit der bereits errechneten Wahrscheinlichkeit multiplizieren sollte das geforderte Ergebnis liefern.
Alternativ kann man sich hier auch eine neue Verteilungsfunktion basteln, das wäre sogar der elegantere Weg.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Also doch, wie ich es mir gedacht habe. Nur, eins ist immer noch für mich unklar... Sie schreiben: Man muss erst einmal die Gesamthöhe der Schäden von 0 bis 500 Euro ermitteln.
Wie mache ich das? Integrale von 0 bis 500 aber von welcher Funktion???
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Also doch, wie ich es mir gedacht habe. Nur, eins ist immer
> noch für mich unklar... Sie schreiben: Man muss erst
> einmal die Gesamthöhe der Schäden von 0 bis 500 Euro
> ermitteln.
>
> Wie mache ich das? Integrale von 0 bis 500 aber von welcher
> Funktion???
sagen wir mal: mit der gleichen Logik wie beim Erwertungswert. Jeder einzelne Wert zwischen 0 und 500 (und wir sprechen hier über reelle Zahlen!) muss noch mit seinem Dichtewert gewichtet werden, also hätte man
[mm]\integral_{0}^{500}{x*f(x) dx}[/mm]
wobei f(x) die Dichtefunktion der zugrundeliegenden Exponentialverteilung wäre.
Ich kann mich aber dunkel erinnern, diesen Typ Aufgabe schon einmal woanders diskutiert zu haben und damit verbunden ist die Erinnerung, dass der eher üblichere Weg der wäre, für die neue Situation eine neue Wahrscheinlichkeitsfunktion zu bilden, was weiter oben ja mein zweiter Vorschlag war.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Ich zweifle mittlerweile wieder an der Richtigkeit der von Ihnen vorgeschlagenen Lösung. Liegt der Schaden unter 500 €, dann zahlt der Kunde. Übersteigt der Schaden 500 €, dann zahl die Versicherung und zwar den vollständigen Schadenbetrag... ! Wenn ich das Integrale ausrechne, bekomme ich einen Wert von 0.1026 in Tsd. Euro (falls ich mich nicht verrechnet habe...) Was nützt mir das jetzt?
Wir haben ja die Wahrscheinlichkeit, dass X>500€. Reicht das doch nicht?
|
|
|
| |
|
Hallo,
a) wir duzen uns hier eigentlich alle (muss man aber nicht, wenn man nicht möchte)
b)
> Ich zweifle mittlerweile wieder an der Richtigkeit der von
> Ihnen vorgeschlagenen Lösung. Liegt der Schaden unter 500
> €, dann zahlt der Kunde. Übersteigt der Schaden 500 €,
> dann zahl die Versicherung und zwar den vollständigen
> Schadenbetrag... ! Wenn ich das Integrale ausrechne,
> bekomme ich einen Wert von 0.1026 in Tsd. Euro (falls ich
> mich nicht verrechnet habe...) Was nützt mir das jetzt?
>
> Wir haben ja die Wahrscheinlichkeit, dass X>500€. Reicht
> das doch nicht?
Nein, denn die Wahrscheinlichkeiten jhaben sich geändert.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Ok, kann man denn hier Beiträge löschen? Wäre jetzt sehr wichtig!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Di 13.11.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Ok, kann man denn hier Beiträge löschen? Wäre jetzt sehr
> wichtig!
man darf es nicht. Lies bitte hierzu die Forenregeln durch. Es macht auch keinen Sinn, es zu versuchen, denn wir werden es rückgängig machen.
Ich verstehe auch nicht, weshalb hier keinerlei ernsthafte Bemühung deinerseits mehr kommt, die Aufgabe zu Ende zu besprechen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Di 13.11.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo katinka!
Das ist ohne triftige Gründe nicht üblich oder gar gewollt. Siehe auch hier.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
