Exponentialverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Sa 29.12.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | X sei eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter [mm] \lambda [/mm] = 2. Die Zufallsvariable Y sei definiert durch Y:=2X. Bestimmen Sie die Verteilung (Dichte und Verteilungsfunktion von Y). |
Hi Leute!
Ich hab für diese Aufgabe nun erstmal die Definition der Exponentialverteilung zu bieten:
[mm] $Y=f_{\lambda}(X)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & \mbox{für } x \geq 0 \\ 0, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}$
[/mm]
Nun heißt es ja in der Aufgabe, dass [mm] \lambda [/mm] = 2 gewählt ist; somit setze ich ein und gelange zu:
$Y= [mm] f_2(X) [/mm] = [mm] \begin{cases} 2e^{-2 x}, & \mbox{für } x \geq 0 \\ 0, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}$
[/mm]
Die Definition Y:=2X verstehe ich nun als:
$Y = 2 [mm] \cdot f_2(X) [/mm] = 2 [mm] \cdot 2e^{-2 x} [/mm] = [mm] 4e^{-2 x}$
[/mm]
Wie aber geht's hier nun weiter? Hab ich schon alleine durch die Definition der Exponentialverteilung und Einsetzen des Parameters die Dichtefunktion "gefunden"? Muss ich diese Dichtefunktion nun nur Integrieren um zur Verteilungsfunktion zu gelangen?
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Hallo bandchef,
> X sei eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit
> Parameter [mm]\lambda[/mm] = 2. Die Zufallsvariable Y sei definiert
> durch Y:=2X. Bestimmen Sie die Verteilung (Dichte und
> Verteilungsfunktion von Y).
>
> Hi Leute!
>
> Ich hab für diese Aufgabe nun erstmal die Definition der
> Exponentialverteilung zu bieten:
>
> [mm]Y=f_{\lambda}(X)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & \mbox{für } x \geq 0 \\
0, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}[/mm]
>
>
>
> Nun heißt es ja in der Aufgabe, dass [mm]\lambda[/mm] = 2 gewählt
> ist; somit setze ich ein und gelange zu:
>
> [mm]Y= f_2(X) = \begin{cases} 2e^{-2 x}, & \mbox{für } x \geq 0 \\
0, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}[/mm]
>
>
>
> Die Definition Y:=2X verstehe ich nun als:
>
> [mm]Y = 2 \cdot f_2(X) = 2 \cdot 2e^{-2 x} = 4e^{-2 x}[/mm]
Nein, du musst schon den Transformationssatz für Dichten bemühen ...
Wenn $X$ die Dichte $p$ hat, so hat $2X$ noch lange nicht die Dichte $2p$ 
Da musst du schon etwas rechnen ...
Den o.e. Satz solltest du in deiner Mitschrift finden oder im Internet.
ALternativ kannst du die Berechnung über die zugeh. VF machen, ist aber aufwendiger ...
>
>
>
> Wie aber geht's hier nun weiter? Hab ich schon alleine
> durch die Definition der Exponentialverteilung und
> Einsetzen des Parameters die Dichtefunktion "gefunden"?
> Muss ich diese Dichtefunktion nun nur Integrieren um zur
> Verteilungsfunktion zu gelangen?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Sa 29.12.2012 | | Autor: | bandchef |
> Den o.e. Satz solltest du in deiner Mitschrift finden oder im Internet.
> ALternativ kannst du die Berechnung über die zugeh. VF machen, ist aber aufwendiger ...
Entschuldige bitte, aber den ersten Satz konnte ich noch lesen. o.e. = oben erwähnt. Aber was du mit "die zugeh. VF machen" meinst, verstehe ich nicht.
Ich werde mich jetzt über den Transformationssatz für Dichten informieren.
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Hallo nochmal,
> > Den o.e. Satz solltest du in deiner Mitschrift finden oder
> im Internet.
> > ALternativ kannst du die Berechnung über die zugeh. VF
> machen, ist aber aufwendiger ...
>
> Entschuldige bitte, aber den ersten Satz konnte ich noch
> lesen. o.e. = oben erwähnt. Aber was du mit "die zugeh. VF
> machen" meinst, verstehe ich nicht.
Oh, sorry, ich meinte: die zugehörige Verteilungsfunktion ...
>
> Ich werde mich jetzt über den Transformationssatz für
> Dichten informieren.
Ja, das habe ich gerade eben auch mal ausgerechnet, geht recht schnell und angenehm
Probiere einfach mal, dann können wir ja nachher vergleichen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Sa 29.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Hm, mein Skript gibt zu einem Transformationssatz leider nix her. Den Satz den ich in Wikipedia unter dem Begriff finde, kapiere ich ehrlich gesagt nicht. Da steht dann gleich so ein mörder Doppelintegral...
Was ich damit sagen will: Ich glaub ich hab die richtige Formel noch nicht gefunden. Auch diverse Uni-Skripts die man unter google findet geben nix her, dass ich jetzt so ad hoc ohne weitere Vorwissen anwenden könnte...
Vielleicht hilfst du mir ein bisschen drauf?
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Hallo nochmal,
ich kann dir unser Skript dazu verlinken:
http://www.mi.uni-koeln.de/~wefelm/10w/einf10w.pdf
Dort auf Seite 24 intern unter Proposition 13.4 (Trafo für VF) und Proposition 13.5 (Trafo für Dichten)
Beispiele sind auch dabei ...
Das sollte dir helfen!
Viel Erfolg!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Sa 29.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Ich hab mich dann mal eingelesen:
Ich komme ehrlich gesagt mit deinem Skript nicht zurecht.
Ich kann schon alleine diese Definition nicht richtig deuten:
[mm] $F^T(y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } \leq a \\ F(T^{-1}(y)), & \mbox{für } y \in (a,b) \\ 1, & \mbox{für } \geq b \end{cases}$
[/mm]
Wo muss ich da jetzt meine Exponentialverteilung einsetzen? Was muss ich damit überhaupt machen? Ist das überhaupt das Richtige?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Sa 29.12.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
schachuzipus schrieb:
ALternativ kannst du die Berechnung über die zugeh. VF machen, ist aber aufwendiger ...
Dieser Meinung bin ich ueberhaupt nicht, wie du dem Folgenden entnehmen kannst.
Vielleicht findest du in deinem Skript, wie die Verteilungsfunktion (VF) der Exponentialverteilung aussieht, naemlich
$ [mm] F(x)=P(X\le x)=\begin{cases} 1- e^{-\lambda x}, & \mbox{für } x \geq 0 \\ 0, & \mbox{für } x < 0 \end{cases} [/mm] $
Kommen wir nun zur VF [mm] $P(Y\le [/mm] y)$ von $Y=2X$. Es ist
[mm] $P(Y\le y)=P(X\le y/2)=\begin{cases} 1- e^{-(\lambda/2)y }, & \mbox{für } y \geq 0 \\ 0, & \mbox{für } y < 0 \end{cases} [/mm] $.
Das war's. Nun noch Ableiten, und schon haben wir die Dichte einer Exponentialverteilung mit Parameter [mm] $\lambda/2$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 So 30.12.2012 | | Autor: | bandchef |
An Luis:
Die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung ist mir auch in meinem Skript gegeben, da hast du Recht. Somit kann ich mit der Angabe weitermachen:
$ [mm] P(Y\le y)=P(X\le y/2)=\begin{cases} 1- e^{-(\lambda/2)y }, & \mbox{für } y \geq 0 \\ 0, & \mbox{für } y < 0 \end{cases} [/mm] $
In meiner Lösung zu meiner Angabe ist aber F(x) = 2 angegeben.
Ich hab nun mal im Intervall von 0..x über die Dichtefunktion integriert, die ich durch Ableitung der angegebenen Verteilungsfunktion erhalten habe:
[mm] $F'_{\frac{1}{2}(y)} [/mm] = [mm] f_{\frac{1}{2}(y)} [/mm] = [mm] \frac{d}{dy} \left( -e^{-\frac12}+1 \right)' [/mm] = ... = [mm] \frac12 e^{-\frac12 y}$
[/mm]
Nun intergriere ich die "neue" Dichtefunktion:
[mm] $F_{\frac{1}{2}(y)} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{x} f_{\frac{1}{2}(y)} [/mm] dx = [mm] \frac12 \lim_{x \to \infty} \left( \left[-2e^{-\frac12y}\right]_{0}^{x} \right) [/mm] = ... = 2$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 So 30.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Nun intergriere ich die "neue" Dichtefunktion:
>
> [mm]F_{\frac{1}{2}(y)} = \integral_{0}^{x} f_{\frac{1}{2}(y)} dx = \frac12 \lim_{x \to \infty} \left( \left[-2e^{-\frac12y}\right]_{0}^{x} \right) = ... = 2[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] $\int_{-\infty}^{+\infty}f_y(y)\,dy=\int_{0}^{+\infty}\frac12 e^{-\frac12 y}\,dy=1 [/mm] $.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 So 30.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Mir ist gerade aufgefallen, dass ich das eigentlich richtige Ergebnis an meine Integration rangeschrieben habe, aber wie du richtig erkannt hast, ist natürlich =1 falsch, was ich auch wirklich rausbringe...; und nicht =2 was ja richtig wäre.
Aber was ist hier dann falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 So 30.12.2012 | | Autor: | luis52 |
>
> Aber was ist hier dann falsch?
Wo ist das Problem? Die Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie die Verteilung (Dichte und Verteilungsfunktion von Y).
Beides liegt vor:
[mm] $F_y(y)= P(Y\le y)=P(X\le y/2)=\begin{cases} 1- e^{-(\lambda/2)}y=1- e^{-y }, & \mbox{für } y \geq 0 \\ 0, & \mbox{für } y < 0 \end{cases} [/mm] $
und
[mm] $f_y(y)=\begin{cases} e^{-y }, & \mbox{für } y \geq 0 \\ 0, & \mbox{für } y < 0 \end{cases} [/mm] $
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 30.12.2012 | | Autor: | bandchef |
$ [mm] \int_{-\infty}^{+\infty}f_y(y)\,dy=\int_{0}^{+\infty}\frac12 e^{-\frac12 y}\,dy=1 [/mm] $
Ich bekomme nun das gleich Ergebnis raus wie du.
Aber anscheinend ist das ja falsch? Ist an der Dichtefunktion was falsch? Oder hab ich da einen Rechenfehler drin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 So 30.12.2012 | | Autor: | luis52 |
>
> [mm]\int_{-\infty}^{+\infty}f_y(y)\,dy=\int_{0}^{+\infty}\frac12 e^{-\frac12 y}\,dy=1[/mm]
>
> Ich bekomme nun das gleich Ergebnis raus wie du.
>
> Aber anscheinend ist das ja falsch? Ist an der
> Dichtefunktion was falsch? Oder hab ich da einen
> Rechenfehler drin?
>
Das Ergebnis ist korrekt.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 So 30.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Warum sagt dann aber meine Lösung, dass das Ergebnis F(x)=2 sein soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 So 30.12.2012 | | Autor: | luis52 |
Was bitte ist denn $F$? Die Verteilungsfunktion? Dann kann $F(X)=2$ nicht stimmen, da $F(x)$ eine Wahrscheinlichkeit ist.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 So 30.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ja genau, das ist ja das komische. In meiner Lösung wird über die Dichte $f(x)=4\cdot e^{2t}$ integriert. Wenn man darüber integriert, kommt man auf 2 als Ergebnis.
$F_y(t) = P(y \leq t) = P(2X \leq t) = P(X \leq \frac12 t) = F_x(\frac12 t)$
$=\begin{cases} 1-e^{-2 \cdot \frac12 t, & \mbox{für } x\leq 0 \\ 0, & \mbox{für } x<0 \end{cases}$
Und dann F(x) = \integral_0^x 4\cdot e^{2t} = ... = 2$
GENAU SO steht es in meiner Lösung zu dieser Aufgabe. Und ich kapiere das so nicht. Da macht mir dein bzw. euer Lösungsvorschlag wesentlich mehr Sinn, den ich auch verstehe. Was ich vor allem überhaupt nicht verstehe, ist, wo auf einmal die 4 aus dem Himmel fällt...
Was sagst du zu dieser Lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 So 30.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ja genau, das ist ja das komische. In meiner Lösung wird
> über die Dichte [mm]f(x)=4\cdot e^{2t}[/mm] integriert. Wenn man
> darüber integriert, kommt man auf 2 als Ergebnis.
>
> [mm]F_y(t) = P(y \leq t) = P(2X \leq t) = P(X \leq \frac12 t) = F_x(\frac12 t)[/mm]
>
> [mm]=\begin{cases} 1-e^{-2 \cdot \frac12 t, & \mbox{für } x\leq 0 \\ 0, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
> [mm]F_y(t) = P(y \leq t) = P(2X \leq t) = P(X \leq \frac12 t) = F_x(\frac12 t)[/mm]
>
Hier hast du dich anscheinend vertippt:
[mm]=\begin{cases} 1-e^{-2 \cdot \frac12 t, & \mbox{für } \red{t\red\geq 0} \\ 0, & \mbox{für } \red{t<0} \end{cases}[/mm]
Ansonsten *unser* Ergebnis.
> Und dann F(x) = [mm]\integral_0^x 4\cdot e^{2t}[/mm] = ... = 2$
>
> GENAU SO steht es in meiner Lösung zu dieser Aufgabe. Und
> ich kapiere das so nicht. Da macht mir dein bzw. euer
> Lösungsvorschlag wesentlich mehr Sinn, den ich auch
> verstehe. Was ich vor allem überhaupt nicht verstehe, ist,
> wo auf einmal die 4 aus dem Himmel fällt...
>
> Was sagst du zu dieser Lösung?
Es bleibt dabei, was ist $F$? In deiner Herleitung ist von [mm] $F_x$ [/mm] und [mm] $F_y$ [/mm] die Rede. Die Musterloesung macht keinen Sinn.
Merke: Trau keiner Musterloesung, die du nicht selber versaubeutelt hast.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Mo 31.12.2012 | | Autor: | bandchef |
> Es bleibt dabei, was ist F?
Naja F soll in der Musterlösung (wahrscheinlich) die Verteilungsfunktion sein.
Also sagst, du dass "unsere" Lösung die richtige ist hingegen die Musterlösung falsch?
Ich bin nun gerade nochmal unsere Lösung durchgegangen und habe dann ein Problem damit bekommen:
Wie komme ich auf den Anfang der Gleichungskette: $P(Y [mm] \leq [/mm] y) = ...$ Die weiteren Schritte sind dann klar, denn durch die Angabe weiß ich ja, dass $Y=2X$ gilt.
Hier nochmal die gesamte Kette für $Y=2X$ und [mm] $\lambda [/mm] = 2$:
P(Y [mm] \leq [/mm] y) = P(2X [mm] \leq [/mm] y) = P(x [mm] \leq \frac12 [/mm] y) = [mm] F_{\lambda}(Y)=\begin{cases} -e^{-\frac12y}+1, & \mbox{für } y \geq 0 \\ 0, & \mbox{für } y<0 \end{cases}
[/mm]
Was ich hier nun nicht kapiere ist wann und wo und überhaupt das [mm] \lambda [/mm] = 2 zum Einsatz kommt und vor allem warum das durch die Definition angegebene x auf einmal durch ein [mm] $\frac12 [/mm] y$ ersetzt wird, denn laut Angabe ist ja [mm] \lambda [/mm] = 2 und wir haben in den Argumenten der Gleichungskette ja gesagt, dass $x [mm] \leq \frac12 [/mm] y$ gilt. Somit müsste doch die Funktion so lauten: [mm] F_2(Y)=\begin{cases} -e^{-\frac12 \red{\cdot 2} y}+1, & \mbox{für } y \geq 0 \\ 0, & \mbox{für } y<0 \end{cases}
[/mm]
Irgendwie kapiere ich den Zusammenhang nicht. Es würde mich freuen, wenn wir da nochmal einsetzen könnten!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mo 31.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ich bin nun gerade nochmal unsere Lösung durchgegangen und
> habe dann ein Problem damit bekommen:
>
>
> Wie komme ich auf den Anfang der Gleichungskette: [mm]P(Y \leq y) = ...[/mm]
> Die weiteren Schritte sind dann klar, denn durch die Angabe
> weiß ich ja, dass [mm]Y=2X[/mm] gilt.
>
> Hier nochmal die gesamte Kette für [mm]Y=2X[/mm] und [mm]\lambda = 2[/mm]:
>
> P(Y [mm]\leq[/mm] y) = P(2X [mm]\leq[/mm] y) = P(x [mm]\leq \frac12[/mm] y) =
> [mm]F_{\lambda}(Y)=\begin{cases} -e^{-\frac12y}+1, & \mbox{für } y \geq 0 \\ 0, & \mbox{für } y<0 \end{cases}[/mm]
Allgemeiner Fall: $X$ ist exponentialverteilt mit Parameter [mm] $\lambda>0$. [/mm] Gesucht ist die Verteilung von $Y=2X$.
Verteilungsfunktion:
[mm] $F_y(y)=P(Y \leq [/mm] y) = P(2X [mm] \leq [/mm] y) = [mm] P(X\leq \frac12y) [/mm] = [mm] \red{F_{x}(y/2)=\begin{cases}1 -e^{-\lambda(y/2)}, & \mbox{für } y \geq 0 \\ 0, & \mbox{für } y<0 \end{cases}}$
[/mm]
Setze nun noch [mm] $\lambda=2$ [/mm] ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Mo 31.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Die exponential Verteilungsfunktion ist mir in meinem Skript allgemeint so gegeben:
$ [mm] F_{\lambda}(x)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, & \mbox{für } x \geq 0 \\ 0, & \mbox{für } x<0 \end{cases} [/mm] $
Nun soll Y=2X und [mm] \lambda [/mm] = 2 sein:
[mm] $F_{2}(y) [/mm] = [mm] F_2(Y \leq [/mm] y) = [mm] F_2(2X \leq [/mm] y) = [mm] F_2\left(X \leq \frac12 y\right) [/mm] = [mm] F_2\left(\frac12 y\right) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1-e^{-2 \frac12 y} = 1-e^{-y}, & \mbox{für } y \geq 0 \\ 0, & \mbox{für } y<0 \end{cases} [/mm] $
So verstehe ich das nun.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Mo 31.12.2012 | | Autor: | luis52 |
Wenn [mm] $F_2$ [/mm] die Verteilungsfunktion von $Y$ ist, so stimmt's.
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mo 31.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Mit F_2 ich habe eigentlich bisher immer gedacht, dass ein großer Buchstabe (meistens eben F) laut Konvention in der Statistik für Verteilungsfunktion reserviert ist. Aber anscheinend ist das nicht so, weil du schon öfter nachgefragt hast. Wie hätte ich es schreiben sollen, dass du nicht nachgefragt hättest? Hätt ich ausführlich hinschreiben sollen: F_2 ist die Verteilungsfunktion der exp.-Verteilung mit Parameter \lambda = 2?
Übrigens: Wenn ich nun $F_2(y)$ differenziere, dann komm ich auf $f_2(y) = e^{-y)$.
Wenn ich dann das Integral berechne: $F_2(y) \integral_0^x e^{-y} dx = ... = 1$
Richtig? Sollte wohl, weil ja das Integral (=Fläche) über eine Dichtefunktion immer 1 sein muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mo 31.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Mit [mm]F_2[/mm] ich habe eigentlich bisher immer gedacht, dass ein
> großer Buchstabe (meistens eben F) laut Konvention in der
> Statistik für Verteilungsfunktion reserviert ist. Aber
> anscheinend ist das nicht so, weil du schon öfter
> nachgefragt hast. Wie hätte ich es schreiben sollen, dass
> du nicht nachgefragt hättest?
"Reserviert" ist etwas zu viel gesagt. Ich haben mich nur gewundert,warum du auf einmal mit [mm] $F_2$ [/mm] hantierst. Ich hatte naemlich in meinem Beitrag mit [mm] $F_y$ [/mm] bzw. bzw. [mm] $F_x$ [/mm] gearbeitet als Verteilungsfunktion von $Y=2X$ bzw. von $X$. Es war mir unklar, warum du nun ein [mm] $F_2$ [/mm] eingefuehrt hast.
> Hätt ich ausführlich
> hinschreiben sollen: [mm]F_2[/mm] ist die Verteilungsfunktion der
> exp.-Verteilung mit Parameter [mm]\lambda[/mm] = 2?
Das stimmt ja nicht, unser Ergenbnis besagt, dass $Y$ eine Exponentialvertialverteilung mit [mm] $\lambda=1$ [/mm] besitzt, wenn $X$ eine Exponentialvertialverteilung mit [mm] $\lambda=2$ [/mm] besitzt.
>
>
> Übrigens: Wenn ich nun [mm]F_2(y)[/mm] differenziere, dann komm ich
> auf [mm]f_2(y) = e^{-y)[/mm].
Etwas ausfuehrlicher bitte:
$ [mm] f_2(y)=\begin{cases} e^{-y }, & \mbox{für } y \geq 0 \\ 0, & \mbox{für } y < 0 \end{cases} [/mm] $
[mm] $f_2$ [/mm] ist also Dichte einer Exponentialvertialverteilung mit [mm] $\lambda=1$.
[/mm]
>
> Wenn ich dann das Integral berechne: [mm]F_2(y) \integral_0^x e^{-y} dx = ... = 1[/mm]
>
> Richtig?
[mm] $\integral_0^{\red{\infty}} e^{-y}\, \red{dy}=1$
[/mm]
> Sollte wohl, weil ja das Integral (=Fläche) über
> eine Dichtefunktion immer 1 sein muss.
Ja.
vg Luis
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Hiho,
alternativ kannst du die Dichte auch einfach konkret berechnen!
Es gilt nämlich:
[mm] f_Y(y) [/mm] = [mm] \left(\IP(Y \le y)\right)' [/mm] = [mm] \left(\IP(2X \le y)\right)' [/mm] = [mm] \left(\IP(X \le \bruch{y}{2})\right)'
[/mm]
Na und jetzt einfach ausrechnen, denn den Ausdruck kennst du bereits.
MFG,
Gono.
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