Exponentielle Abnahme < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Mi 29.03.2006 | | Autor: | JFG |
| Aufgabe | Cäsium 137 hat eine Halbwertzeit von 30,17 Jahren.
Nach wieviel Jahren sind noch 25%; 12,5%, 10%, 5%; 2% vorhanden?
Grafisch mit Jahreszahlen abbilden |
Hi,
welche Formel muß ich hier benutzen, die von expon. Abnhame kenne ich aber irgendwie komme ich mit den 30,17 Jahren nicht klar. Am Anfang sind es doch 100 % , Endwert 25 % also 1/4... aber wie weiter ???
Danke für schnelle hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Disap |
(Diese Antwort ist evtl. nicht 8Klässler gerecht, falls also jemand irgendeine 'schlauere' Lösung einfällt, soll er die bitte melden)
> Cäsium 137 hat eine Halbwertzeit von 30,17 Jahren.
>
> Nach wieviel Jahren sind noch 25%; 12,5%, 10%, 5%; 2%
> vorhanden?
>
> Grafisch mit Jahreszahlen abbilden
> Hi,
Moin.
>
> welche Formel muß ich hier benutzen, die von expon. Abnhame
> kenne ich aber irgendwie komme ich mit den 30,17 Jahren
Welche Funktionsgleichung der Exponentialfunktion kennst du denn?
vermutlich doch die [mm] a*b^t [/mm] ?
Du weißt, am Anfang, nach dem Zeipunkt t=0; hast du noch 100% (also 1) übrig. A könnte genauso gut eine Menge sein, z. B. 450 Atomkerne (ist in diesem Fall aber nicht angegeben, daher muss man 1 verwenden)
Punkt P (0|1)
f(t) = [mm] a*b^t
[/mm]
f(0) = [mm] a*b^0 [/mm] = 1 => a=1
Und nach 30,17 ist die Hälfte zerfallen, da hast du nur noch 50% (sprich 0.5).
A(30.17|0.5)
Setzt man dieses in die Funktionsgleichung ein
f(30.17) = [mm] 1*b^{30.17} [/mm] = 0.5 => b = [mm] \wurzel[30.17]{0.5} \approx [/mm] 0.977
Die Formel lautet also
f(t) = [mm] 0.977^t
[/mm]
> nicht klar. Am Anfang sind es doch 100 % , Endwert 25 %
> also 1/4... aber wie weiter ???
> Danke für schnelle hilfe
Okay? Noch Fragen?
mfG!
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Mi 29.03.2006 | | Autor: | JFG |
Danke für Deine schnelle Antwort. Ganz klar ist mir das leider noch nicht. Ich muß lauft Aufg. ja die Zeit ausrechnen/darstellen,nach der noch 25 % 10%, 5% und 2% vorhanden sind. In der Formel hast Du die Gleichung [mm] 0.977^t [/mm] angebeben, wie komme ich damit zu meinen Ergebnissen,denn die Zeit kenne ich doch nicht, nur das was von 100 bzw. 1 übrig ist... Danke nochmals für schnelle Antwort
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Disap |
> Danke für Deine schnelle Antwort. Ganz klar ist mir das
> leider noch nicht. Ich muß lauft Aufg. ja die Zeit
> ausrechnen/darstellen,nach der noch 25 % 10%, 5% und 2%
> vorhanden sind. In der Formel hast Du die Gleichung [mm]0.977^t[/mm]
> angebeben, wie komme ich damit zu meinen Ergebnissen,denn
> die Zeit kenne ich doch nicht, nur das was von 100 bzw. 1
> übrig ist... Danke nochmals für schnelle Antwort
Sagt dir der ln (oder überhaupt der Logarithmus) denn etwas?
Du suchst t, kennst aber nur den Y-Wert, nämlich die Anzahl der Atome in %. Es sind beispielsweise 25% = 0.25
Dann setzt du das mit der Gleichung gleich
0.25= [mm] 0.977^t [/mm] (und löst das dann über den ln)
Die 0.977 sind allerdings stark gerundet, sodass bei [mm] 0.5=0.977^t [/mm] für t nur 29,8 herausbekommst. Das heißt, eine zu 100% genaue Antwort wirst du so nicht kriegen. Allerdings gibt es eine physikalische Fertigformel, die Sinn machen würde, wenn du den ln kennst bzw. die E-Funktion.
Statt 0.977 könnte man besser [mm] (\wurzel[30.17]{0.5})^t [/mm] schreiben. Wäre genauer. Der Wert der Wurzel beträgt ungefähr 0,977
Also sagt dir der Logarithmus etwas? Ansonsten muss ich da noch einmal anders denken...
LG
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mi 29.03.2006 | | Autor: | JFG |
Der Logarithmus fängt erst auf der nächsten Seite im Mathe Buch an, haben wir noch nicht durchgenommen. Evtl. soll ich hier nur den grafen anahand der logischen überlegungen Zeichnen und nichts rechnen... Wobei das natürlich super, super ungenau wird,vorallem bei der Frage, wann sind nur noch 2% vorhanden. Gibt es eine Lösung ohne logarithmus?
Danke !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Mi 29.03.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo JFG
Wenn du die Funktion als [mm] f(t)=0,5^{\bruch{t}{30,17}} [/mm] schreibst und dann [mm] x=\bruch{t}{30,17} [/mm] nimmst kannst du [mm] 0,5^{x} [/mm] auftragen und dann bestimmen, wo [mm] \bruch{1}{2^x}=0.02=1/50 [/mm] ist dann siehst du direkt es muss zwischen x=5 und x=6 (1/32 bzw 1/64) liegen und aus x kannst du t ausrechnen t=x*30.17 rechnen. Ich hoffe, das hilft dir.
Ohne log kannst du nicht genau rechnen, aber vielleicht soll das deinem Lehrer ja grade zum Einstieg in das Thema log dienen und deshalb die ungefähre Rechnung, bzw ablesen aus der Graphik!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Mi 29.03.2006 | | Autor: | jospeed |
Hallo,
also ich kann nur die Berechnung, wie bereits genannet über
F(x) = m * ( [mm] \wurzel[n]{0,5} [/mm] ) ^x
bestätigen, wobei m die Masse ist (bei dir 1), n die Halbwertszeit, x Die gesuchten Tage / Jahre.
Da dies aber wahrscheinlich für dich nicht möglich ist, wenn ihr das noch nicht behandelt habt, musst du es wohl über eine einfachere Möglichkeit berechnen.
Dazu folgende Überlegung:
nach 0 Jahren hast du 100
nach 30,17 Jahren noch 50% der ursprünglichen Masse
nach 60,34 J. noch 25%
nach 90,51 J. noch 12,5%
usw.
Auf jeden Fall kannst du davon ausgehen, dass du nie 0 erreichen wirst, da es sich beim Graphen um eine Asympthote handelt.
Grüße, jospeed
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo JFG,
> Cäsium 137 hat eine Halbwertzeit von 30,17 Jahren.
>
> Nach wieviel Jahren sind noch 25%; 12,5%, 10%, 5%; 2%
> vorhanden?
>
> Grafisch mit Jahreszahlen abbilden
> Hi,
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> welche Formel muß ich hier benutzen, die von expon. Abnhame
> kenne ich aber irgendwie komme ich mit den 30,17 Jahren
> nicht klar. Am Anfang sind es doch 100 % , Endwert 25 %
> also 1/4... aber wie weiter ???
Halbwertszeit 30,17 Jahre heißt ja, dass nach 30,17 Jahren nur noch die Hälfte des Materials vorhanden ist. Nach weiteren 30,17 (also insgesamt 2*30,17) Jahren ist von dieser Hälfte nur noch die Hälfte (also von der ursprünglichen Menge nur 1/4 = 25%) vorhanden. Wenn du noch mal 30,17 Jahre wartest ist von diesen 25% nur noch die Hälfte, also 12,5%, vorhanden.
Du kannst mit diesen Werten jetzt eine Zeichnung anlegen, was du ja auch machen sollst, und für 10%, 5% und 2% die Zeitwerte ablesen.
Wenn du eine Formel haben möchtest, so kannst du außer der von Disap angegebenen, auch die Formel
[mm] m(t) =( \bruch{1}{2})^t [/mm] (Die Einheit für t ist hier nicht Jahre, sondern die Halbwertszeiten)
nehmen. Für t=2 erhälst du dann gerade [mm] \bruch{1}{4} [/mm], d.h. nach 2 Halbwertszeiten, also 60,34 Jahren hast du noch 25%. Da du das t wohl noch nicht ausrechnen kannst müsstest du ein bisschen mit deinem Taschenrechner spielen, und sehen, wann z.B. [mm] \bruch{1}{10} [/mm], also 10% herauskommt. Den Wert für t multiplizierst du dann mit 30,17 Jahren.
Aber wenn ich deine Aufgabenstellung richtig verstehe, geht es um die zeichnerische Lösung.
Passt das zu dem, was ihr im Unterricht gemacht habt?
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Mi 29.03.2006 | | Autor: | JFG |
Hey, danke an Euch !
Habe dass nun mal zeichnerisch gelöst und sieht nicht so schlecht aus. Passt zumindest zu dem, was wir bisher so gemacht haben,aber trotzdem komisch, denke mal, kaum einer meiner Klassenkamarden wird das verstanden haben.
Gruß
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