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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Exponentielles Wachstum
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Exponentielles Wachstum: Tipp
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:25 Mo 13.07.2009
Autor: Mathe-Alfi

Aufgabe
a)Eine Population hat zum Zeitpunkt t=0 die Größe x(0)=1000. Pro Individuum und Jahr gibt es durchschnittlich 1,5 Geburten. Wie groß wäre die Population nach 10 Jahren, wenn sie unter gleichen Umweltbedingungen weiterwachsen könnte?
b)Eine logistisch wachsende Population in einer Umwelt mit der Kapazität K=100 hat zur Zeit t=0 die größe [mm] x_{0}=10. [/mm] Zu welchem Zeitpunkt hat die Population 90 Prozent ihrer maximalen Größe erreicht, wenn die Wachstumsgeschwindigkeit im Zeitpunkt t=0 gleich 1 ist?

Hallo und Hilfe! :)

Also bei der a) hab ich die Formel (EW) [mm] x(t)=x_{0}*e^{a*t} [/mm] aus dem Skript entnommen. Ist die Lösung dann einfach: [mm] x(10)=1000*e^{1.5*10} [/mm]
=3269017372

Bei der b) komme ich leider nicht sehr weit. Ich hab nur die Formel:
[mm] x(t)=K/(1+((K-x_{0}/x_{0}))*e^{-c*k*t}) [/mm]
Kann mir jemand weiterhelfen?
Lg
MatheAlfi

        
Bezug
Exponentielles Wachstum: Aufgabe a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 Mo 13.07.2009
Autor: Loddar

Hallo Mathe-Alfi!


> Also bei der a) hab ich die Formel (EW) [mm]x(t)=x_{0}*e^{a*t}[/mm]
> aus dem Skript entnommen. Ist die Lösung dann einfach:
> [mm]x(10)=1000*e^{1.5*10}[/mm] =3269017372

[notok] Das kannst Du doch schnell selber überpfüfen. Erhältst Du uber diesen Ansatz $x(1) \ = \ 1000*1{,}5 \ = \ 1500$ ?

Der Ansatz muss lauten:
$$x(t) \ = \ [mm] x_0*1{,}5^t$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Exponentielles Wachstum: Aufgabe b.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 Mo 13.07.2009
Autor: Loddar

Hallo Mathe-Alfi!


> Bei der b) komme ich leider nicht sehr weit. Ich hab nur die Formel:
> [mm]x(t)=K/(1+((K-x_{0}/x_{0}))*e^{-c*k*t})[/mm]

Wo hast Du diese her?


Siehe mal []hier.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Exponentielles Wachstum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:00 Di 14.07.2009
Autor: Mathe-Alfi

Die Formel habe ich aus unserem Skript. Ich komme mit den Formel aus Wiki leider nicht weiter, da ich ja keine Scharanke und kein k gegeben habe. Ich weiß wirklich nicht wie ich an die Aufgabe ran soll und brauche Hilfe.....

Lg

Bezug
                        
Bezug
Exponentielles Wachstum: editiert
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:24 Di 14.07.2009
Autor: Loddar

Hallo Mathe-Alfi!


> da ich ja keine Scharanke und kein k gegeben habe.

Das stimmt nicht. Die Schranke / Kapazität ist in der Aufgabenstellung genannt.

Und Du kannst folgende Darstellung wählen (siehe Wikipedia)


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Exponentielles Wachstum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 Di 14.07.2009
Autor: Mathe-Alfi

Ok, die Formel ist zwar nicht in unserem Skript, aber ich benutzte sie jetzt einfach mal ;)
Also [mm] B(t)=S-(S-B(0))*q^{t}=100-(100-10)*q^{t}=10*q^{t} [/mm]
Da die Wachstumsgeschwindigkeit gleich 1 ist im Zeitpunkt t=0 gilt:
B'(t)=1 also [mm] B'(t)=lnq*q^{t} [/mm] Also B'(0): [mm] lnq*q^{0}=1 [/mm] Also ist lnq=1 und somit q=e
Damit: [mm] B(t)=10*e^{t} [/mm]
(Zwischenfrage: Das war ja jetzt eigentlich beschränktes Wachstum und kein logistisches oder ist das gleich?)
Da 90% ihrer max Größe 90 entspricht gilt:
B(t): [mm] 10*e^{t} \gdw e^{t}=9 \gdw [/mm] t=ln9 [mm] \gdw [/mm] t [mm] \approx [/mm] 2


Bezug
                                        
Bezug
Exponentielles Wachstum: mein Fehler!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:56 Di 14.07.2009
Autor: Loddar

Hallo Mathe-Alfi!


[bonk]

Jetzt dreht sich der Spieß gegen mich um, dass man doch bitte genau lesen möge! [peinlich]

Aus welchen Gründen auch immer habe ich das Wort "logistisch" gekonnt ignoriert.

[sorry]


Deine o.g. Formel (1. Post) ist korrekt und deckt sich auch mit der Formel bei []Wikipedia.

Die Werte $K_$ und [mm] $x_0$ [/mm] kennst Du ja. Die restlichen Werte erhältst Du auf dem gleichem Rechenweg wie Du gerade vorgeführt hast.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Exponentielles Wachstum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:02 Di 14.07.2009
Autor: Mathe-Alfi

Jetzt habe ich es wenigstens vom Prinzip her verstanden und rechne es einfach nochmal mit der anderen Formel durch. :)))

Vielen Dank und schöne Woche noch.
Lg
Mathe-Alfi

Bezug
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