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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Eine Funktion f ist gegeben durch [mm] f(x)=e^x+1. [/mm] Die Tangente in einem Punkt P des Graphen der e-Funktion schneidet die x-Achse im Punkt Q. Wie muss die Lage von P gewählt werden, damit die Länge der Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] möglichst klein wird.
Bild: http://imageshack.us/f/835/20111109204328023.jpg/ |
Hallo,
ich würde jetzt sagen, dass der Punkt P an der nahsten Stelle auf dem Graphen zur x-Achse liegen sollte. Aber ich bin mir da ehrlich gesagt auch nicht sehr sicher und sehe keinen anderen Ansatz. Kann man den Punkt P überhaupt genau berechnen? Man hat ja zumindest die e-Funktion.
Danke.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Mi 09.11.2011 | | Autor: | abakus |
> Eine Funktion f ist gegeben durch [mm]f(x)=e^x+1.[/mm] Die Tangente
> in einem Punkt P des Graphen der e-Funktion schneidet die
> x-Achse im Punkt Q. Wie muss die Lage von P gewählt
> werden, damit die Länge der Strecke [mm]\overline{PQ}[/mm]
> möglichst klein wird.
>
> Bild: http://imageshack.us/f/835/20111109204328023.jpg/
> Hallo,
>
> ich würde jetzt sagen, dass der Punkt P an der nahsten
> Stelle auf dem Graphen zur x-Achse liegen sollte. Aber ich
> bin mir da ehrlich gesagt auch nicht sehr sicher und sehe
> keinen anderen Ansatz. Kann man den Punkt P überhaupt
> genau berechnen? Man hat ja zumindest die e-Funktion.
Dann nutze sie und betreibe keine Kaffeesatzleserei.
Ermittle die Gleichung der Tangente im Punkt [mm] P(x|e^x+1).
[/mm]
Wenn du die Gleichung dieser Geraden (eine lineare Funktion) hast, ermittle die Nullstelle. Damit hast du die Koordinaten des Punktes Q.
Mache erst mal bis dahin weiter.
Gruß Abakus
>
> Danke.
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Mathics |
Die Tangentengleichung lautet ja allgemein:
t(x)=m*x+c
Mit dem GTR habe ich herausbekommen, dass die Tangentengleichung
t(x)=x+2
Die Nullstelle bedeute ja Q(0|y), also: t(0)=0+2 =2
also: Q(0|2)
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Hallo mathics,
> Die Tangentengleichung lautet ja allgemein:
>
> t(x)=m*x+c
>
> Mit dem GTR habe ich herausbekommen, dass die
> Tangentengleichung
>
> t(x)=x+2
Richtig. Das hätte man wohl auch ohne GTR noch hinbekommen, oder?
> Die Nullstelle bedeute ja Q(0|y), also: t(0)=0+2 =2
>
> also: Q(0|2)
So, und nun? Wo willst Du hin? Was musst Du dafür berechnen?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Mathics |
Ja, ich möchte P berechnen und P soll möglichst den geringsten Abstand zu Q haben. Außerdem liegt P auf der Tangente sowie auf den Graphen.
Muss ich die Tanentengleichung und die e-Funktion gleichsetzen und sie nach x auflösen? Und anschließend x in die e-Funktion einsetzen und y berechnen? Aber wie mache ich die Bedingung deutlich, dass es der kürzeste Abstand von P zu Q sein soll?
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Hallo nochmal,
> Ja, ich möchte P berechnen und P soll möglichst den
> geringsten Abstand zu Q haben. Außerdem liegt P auf der
> Tangente sowie auf den Graphen.
Genau. P ist der Berührpunkt der Tangente und des Graphen.
> Muss ich die Tanentengleichung und die e-Funktion
> gleichsetzen und sie nach x auflösen?
Nein, das geht auch gar nicht.
Du sollst für einen allgemeinen Punkt P, der ja die Koordinaten [mm] (x,e^x+1) [/mm] hat, die Tangente bestimmen und den Abstand des Punkts P (der automatisch der Berührpunkt der Tangente ist) zum Punkt Q bestimmen. Dazu musst Du nicht nur die Tangente allgemein bestimmen, sondern auch den Punkt Q in Abhängigkeit davon.
Wie Du Dir denken kannst, brauchst Du dazu die Ableitung der Funktion, wegen der Tangentensteigung.
> Und anschließend x
> in die e-Funktion einsetzen und y berechnen? Aber wie mache
> ich die Bedingung deutlich, dass es der kürzeste Abstand
> von P zu Q sein soll?
Stelle eine Funktion g(x) auf, die den Abstand von P(x) und Q(x) angibt. Diese Funktion musst Du dann untersuchen.
Also: bestimme erst einmal Q(x). P(x) steht ja schon oben.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Mathics |
Die Ableitung von f(x)=e^(x) + 1 ist ja f'(x)=e^(x)
Also wär das doch Q(x)=e^(x)*x + c , oder?
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Hallo,
> Die Ableitung von f(x)=e^(x) + 1 ist ja f'(x)=e^(x)
Ja.
> Also wär das doch Q(x)=e^(x)*x + c , oder?
Hier lauert eine Falle, wenn du alles x nennst.
Wir betrachten einen Punkt P mit den Koordinaten [mm] (x_0, e^{x_0}+1).
[/mm]
Die Ableitung dort ist [mm] f'(x_0)=e^{x_0}.
[/mm]
Dann hat die Tangente [mm] t_P [/mm] die Gleichung [mm] t_P(x)=e^{\blue{x_0}}*x [/mm] +c
Hier muss man jetzt noch c bestimmen.
Beachte, dass [mm] e^{x_0} [/mm] nun eine feste Zahl ist, die nichts mit dem x der Tangentengleichung zu tun hat.
Wenn Du c bestimmt hast, ist der nächste Schritt der, den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse zu bestimmen, also ihre Nullstelle. Das ist ja der Punkt Q.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Mathics |
Wie berechne ich denn aber c? Ich hab doch keine festen Zahlen die ich für x0 und x einsetzen kann. Und hatten wir nicht gesagt, dass Q (0|2) ist und die Tangentengleichung t(x)= x+ 2
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Hallo Mathics,
> Wie berechne ich denn aber c? Ich hab doch keine festen
> Zahlen die ich für x0 und x einsetzen kann. Und hatten wir
> nicht gesagt, dass Q (0|2) ist und die Tangentengleichung
> t(x)= x+ 2
Nun, der Punkt [mm]\left( \ x_{0}|f\left(x_{0}\right) \ \right)[/mm] liegt auf der Tangente.
Damit kannst Du c bestimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Mathics |
Dann kommt für c doch c=-x*e^x0 + e^x0 + 1 raus, oder?
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Hallo Mathics,
> Dann kommt für c doch c=-x*e^x0 + e^x0 + 1 raus, oder?
>
Auch hier:
[mm]c=-x_{\blue{0}}*e^{x_{0}} + e^{x_{0}} + 1[/mm]
Gruss
MathePower
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